專題22計數(shù)原理概率隨機變量及其分布（選填壓軸題）-2022年高考數(shù)學(xué)高分必刷必過題

專題22計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（選填壓軸題）一、單選題1．（2021·湖南省岳陽縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達?處為止.則下列說法正確的是（）

A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為【答案】C【詳解】A選項，甲從M到達N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達N處的方法有種，A選項錯誤；B選項，甲經(jīng)過到達N處，可分為兩步：第一步，甲從M經(jīng)過需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種.∴甲經(jīng)過到達N的方法數(shù)為種，B選項錯誤；C選項，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，甲?乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；D選項，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；若甲?乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為81種；若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；故甲?乙兩人相遇的概率，D選項錯誤.故選：D.2．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））定義數(shù)列如下：存在，滿足，且存在，滿足，已知數(shù)列共4項，若且，則數(shù)列共有（）A．190個 B．214個 C．228個 D．252個【答案】A【詳解】解：由題意，滿足條件的數(shù)列中的4項有四種情況：（1）4項中每一項都不同，共有個；（2）4項中有2項相同（如x,y,z,x）,共有個；（3）4項中有3項相同（如x,x,y,x）,共有個；（4）4項中兩兩相同（如x,y,x,y）,共有個；所以數(shù)列共有個.故選：A.3．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知展開式的常數(shù)項的取值范圍為，且恒成立.則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】展開式的通項為，令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項為，解得或，令，其中，可得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，由可得，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，.所以，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.4．（2021·河南高三月考（理））2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序為，由題意知，年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年齡最大者為，第三批年齡最大者為：剩下的醫(yī)務(wù)人員一個在第二批，兩個在第三批有種方法，2、第一批派，第二批年齡最大者為或，第三批年齡最大者為：當?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，共種方法；3、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當?shù)诙畲笳邽?，則有1種方法，共種方法；4、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當?shù)诙畲笳邽?，則有1種方法，共種方法；∴種方法，而總派遣方法有種，∴滿足的分配方案的概率為.故選：A.5．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）隨機變量的概率分布列如下：012……12……其中，則（）A． B． C．6 D．12【答案】C【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，得，①，②，由①②得，所以．故選：．6．（2021·河南南陽·高三期末（理））眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”.整個圖形是一個圓形.其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，給出以下命題:①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率是；②當時，直線與白色部分有公共點；③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點，則的最大值為；④若點，為圓過點的直徑，線段是圓所有過點的弦中最短的弦，則的值為.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【詳解】對于①，設(shè)黑色部分區(qū)域的面積為，整個圓的面積為，由對稱性可知，，所以，在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率為，故①正確；對于②，當時，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，下方白色小圓的方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，如下圖所示：由圖可知，直線與與白色部分無公共點，故②錯誤；對于③，黑色陰影部分小圓的方程為，設(shè)，如下圖所示：當直線與圓相切時，取得最大值，且圓的圓心坐標為，半徑為，可得，解得，由圖可知，，故，故③正確；對于④，由于是圓中過點的直徑，則、為圓與軸的兩個交點，可設(shè)、，當軸時，取最小值，則直線的方程為，可設(shè)點、，所以，，，，，所以，，故④正確.故選：C.7．（2021·珠海市第二中學(xué)高三模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，若，數(shù)列的首項，則（）A． B． C．2021 D．【答案】A【詳解】令，得.又因為，所以.由，得，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8．（2021·西工大附中分校高三模擬預(yù)測（理））設(shè)是常數(shù)，對于，都有，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，則令可得.又對兩邊求導(dǎo)可得：，令，則，所以，所以故，所以.故選：A.9．（2021·沙坪壩·重慶一中高三模擬預(yù)測）羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯數(shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標志著一種古代文明的進步.羅馬數(shù)字的表示法如下：數(shù)字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示.（如123表示為，405表示為）如果把6根火柴以適當?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不同的三位?shù)的個數(shù)為（）A．87 B．95 C．100 D．103【答案】D【詳解】用6根火柴表示數(shù)字，所有搭配情況如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的數(shù)為1；5根火柴可表示的數(shù)為8，和0一起，能表示的數(shù)共有4個（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的數(shù)為2、5；4根火柴可表示的數(shù)為7，和0一起，能表示的數(shù)有個.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的數(shù)為3、4、6、9，和0一起，能表示的數(shù)分為2類：除0外的兩個數(shù)字相同，可表示的數(shù)有個；除0外的兩個數(shù)字不同，則有個，所以共有個.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7組成的數(shù)，共有3個（117,171,711）.1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一個，3、4、6、9中的一個數(shù)字組成的三位數(shù)，共有個.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5組成的三位數(shù)，分為兩類：三個數(shù)字都相同，共有2個（222,555）；三個數(shù)字中的兩個數(shù)字相同，則有個，共有個.綜上可知，可組成的三位數(shù)共有個.故選：D.10．（2021·上海市大同中學(xué)高三月考）已知，，為中不同數(shù)字的種類，如，求所有的個的排列所得的的平均值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知：當時，；當時，；當時，；當時，，綜上所述，所有的個的排列所得的的平均值為：，故選D．11．（2021·全國高三專題練習(xí)）如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，事件共有=120個基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個，含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個，含4，3，2的同理也有2個.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個，含5，3，1的也有上述4個，共24個，=.故選C.12．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））甲盒子裝有3個紅球，1個黃球，乙盒中裝有1個紅球，3個黃球，同時從甲乙兩盒中取出個球交換，分別記甲乙兩個盒子中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則以下結(jié)論錯誤的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】用表示交換后甲盒子中的紅球數(shù)，表示交換后乙盒子中的紅球數(shù)，

當時，

則，，．

故A正確，C正確，

當時，故B正確．

當時，

，故D錯誤．

故選D．13．（2020·重慶高三月考）定義“有增有減”數(shù)列如下：，滿足，且，滿足.已知“有增有減”數(shù)列共4項，若，且，則數(shù)列共有A．64個 B．57個 C．56個 D．54個【答案】D【詳解】（法一）：由題意不妨設(shè)記則滿足條件的有：（1）中有兩個元素時：選元素：種；排循序：（減去：全相同2種，順序3種，倒序3種）；共有種；（2）中有三個元素時：選元素：種；排循序：（減去：順序1種，倒序1種）；共有種；所以共有種.（法二）：當四個數(shù)中只有兩個數(shù)相同或只有兩對數(shù)時，共有種，當四個數(shù)中有三個數(shù)相同時，共有種，所以總方法數(shù)有．14．（2020·全國高三專題練習(xí)）圓的任何一對平行切線間的距離總是相等的，即圓在任意方向都有相同的寬度，具有這種性質(zhì)的曲線叫做“等寬曲線”．事實上存在著大量的非圓等寬曲線，以工藝學(xué)家魯列斯（Reuleaux）命名的魯列斯曲邊三角形，就是著名的非圓等寬曲線.它的畫法（如圖1）：畫一個等邊三角形為圓心，邊長為半徑，作圓弧,這三段圓弧圍成的圖形就是魯列斯曲邊三角形.它的寬度等于原來等邊三角形的邊長.等寬曲線都可以放在邊長等于曲線寬度的正方形內(nèi)（如圖2）.在圖2中的正方形內(nèi)隨機取一點，則這點落在魯列斯曲邊三角形內(nèi)的概率是A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，魯列斯曲邊三角形的面積為，故選A.二、填空題15．（2021·山東濟南·高三月考）數(shù)列共項，且，，關(guān)于的函數(shù)，，若是函數(shù)的極值點，且曲線的在點處的切線的斜率為，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為__________．【答案】【詳解】因為，則，由已知可得，則.由題意可得，可得，，可得或.①當時，，得的值有個，個，，得的值有個，個，此時，數(shù)列的個數(shù)為個；②當時，，得的值有個，個，，得的值有個，個，此時，數(shù)列的個數(shù)為個.綜上所述，數(shù)列的個數(shù)為.故答案為：.16．（2021·上海高三模擬預(yù)測）考察等式：(*)，其中，且.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中件是次品，其余為正品.現(xiàn)從中隨機取出件產(chǎn)品，記事件{取到的件產(chǎn)品中恰有件次品}，則，，1，2，…，.顯然，，…，為互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.對此，有的同學(xué)認為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一；但有的同學(xué)對上述證明方法的科學(xué)性與嚴謹性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個判斷：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③證明正確，④證明不正確，試寫出所有正確判斷的序號___________.【答案】①③【詳解】設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中件是次品，其余件為正品.現(xiàn)從中隨機取出件產(chǎn)品，記事件{取到的產(chǎn)品中恰有件次品}，則取到的產(chǎn)品中恰有件次品共有種情況，又從中隨機取出件產(chǎn)品，共有種情況，，1，…，，故其概率為，，1，…，.∵，，…，為互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.從而可知正確的序號為：①③.故答案為：①③.17．（2021·山東淄博·高三三模）如圖，在的點陣中，依次隨機地選出、、三個點，則選出的三點滿足的概率是______．【答案】【分析】先將個點標號，對點的位置進行分類討論，結(jié)合古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知、、三個點是有序的，討論點為主元，對點分三種情況討論，如下圖所示：（1）第一類為號點.①若，三點共線有條直線，此時有種；②若，如點在號位，則點在號位或號位，即確定第二號點有種方法，確定第三號點有種方法，此時有種；（2）第二類為、、、號點，此時，不存在這樣的點；（3）第三類為、、、號點，以號點為例，有三種情況如下圖所示：故有種.綜上所述，滿足共有種.因此，所求概率為.故答案為：.18．（2021·江蘇高三開學(xué)考試）格點是指平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點.一格點沿坐標線到原點的最短路程為該點到原點的“格點距離”（如：，則點到原點的格點距離為）.格點距離為定值的點的軌跡稱為“格點圓”，該定值稱為格點圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當格點半徑為6時，格點圓的半徑有______條（用數(shù)字作答）.【答案】252【詳解】設(shè)格點為，格點半徑為6，則，∴對應(yīng)格點圓圖象如下，每條邊上有(不含端點)5個格點，以第一象限為例，格點有，其中的半徑有6條，的半徑有15條，的半徑有20條，的半徑有15條，的半徑有6條，∴共有62條，即對于任意格點，其半徑條數(shù)有條，∴由上，四個象限共有條半徑，另外數(shù)軸上有四個點，半徑共有條，綜上，格點半徑為6時，格點圓的半徑有條.故答案為：.19．（2021·全國高三專題練習(xí)）在生物學(xué)研究過程中，常用高倍顯微鏡觀察生物體細胞．已知某研究小組利用高倍顯微鏡觀察某葉片的組織細胞，獲得顯微鏡下局部的葉片細胞圖片，如圖所示，為了方便研究，現(xiàn)在利用甲、乙等四種不同的試劑對、、、、、這六個細胞進行染色，其中相鄰的細胞不能用同種試劑染色，且甲試劑不能對細胞染色，則共有______種不同的染色方法（用數(shù)字作答）．【答案】【詳解】不考慮甲試劑不能對細胞染色，則細胞的染色試劑有種選擇.①若、細胞的染色試劑相同，有種選擇，、細胞可以用剩余種試劑進行染色，有種方法，則細胞的染色試劑有種選擇，此時，共有種不同的染色方法；②若、細胞的染色試劑不同，有種不同的染色方法，細胞的染色方法只有種，若、細胞的染色試劑不同，則細胞的染色試劑只有種，細胞的染色試劑只有種；若、細胞的染色試劑相同，則細胞的染色試劑有種.此時，共有種不同的染色方法；綜上所述，不考慮甲試劑不能對細胞染色，染色方法種數(shù)為種；現(xiàn)在考慮用甲試劑對細胞染色，則細胞的染色試劑有種選擇.①若、細胞的染色試劑相同，則、細胞可以用剩余種試劑進行染色，有種方法，細胞的染色試劑有種，此時，共有種不同的染色方法；②若、細胞的染色試劑不同，則細胞的染色試劑有種選擇，細胞的染色試劑只有種.若、細胞的染色試劑不同，則細胞的染色試劑只有種，細胞的染色試劑只有種，若、細胞的染色試劑相同，則細胞的染色試劑有種.此時，共有種不同的染色方法.綜上所述，當用甲試劑對細胞染色時，染色方法種數(shù)為種.因此，符合條件的染色方法種數(shù)為種.故答案為：.20．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）如圖，在的點陣中，依次隨機地選出，，三個點，則選出的三點滿足的概率是___________.【答案】【詳解】由題意可知，，三個點是有序的，從反面的角度做，討論的是為主元，故對分三種情況討論，如圖：第一類為5號點；第二類為1，3，7，9號點；第三類為2，4，6，8號點；（1）當為5號點時，則（i），三點共線有四條直線，故，（ii），則，如在1號位，和，即確定第二個點的位置有四種方法，第三個點的位置有兩種方法，然后排列，即方法數(shù)為：，共有種.

（2）當為第二類點不存在這樣的點；（3）當為第三類點，以2號點為例，有三種如圖所示：

故有，綜上共有64中，故.故答案為：.21．（2021·全國高三專題練習(xí)）定義域為集合上的函數(shù)滿足：①；②（）；③、、成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)的個數(shù)為________【答案】【詳解】解：經(jīng)分析，f（x）的取值的最大值為x，最小值為2﹣x，并且成以2為公差的等差數(shù)列，故f（6）的取值為6，4，2，0，﹣2，﹣4．f（12）的取值為12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比數(shù)列時，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有兩種情況：①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1．（1）當f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4時；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為10種．從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應(yīng)的方法數(shù)為15種．根據(jù)分步乘法原理，共有10×15＝150種方法．（2）當f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4時，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數(shù)值從1變化到﹣2，故應(yīng)從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應(yīng)的方法數(shù)為5種．從f（6