專題25不定方程（原卷）2

20222023學(xué)年小學(xué)六年級(jí)思維拓展舉一反三精編講義專題25不定方程知識(shí)精講知識(shí)精講當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少時(shí)，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無(wú)數(shù)個(gè)；如果附加一些限制條件，那么它的解的個(gè)數(shù)就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定x、y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x＝3，Y＝2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對(duì)解的影響。解不定方程時(shí)一般要將原方程適當(dāng)變形，把其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示，然后再一定范圍內(nèi)試驗(yàn)求解。解題時(shí)要注意觀察未知數(shù)的特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)。對(duì)于有3個(gè)未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程再求解。典例分析典例分析【典例分析01】求3x+4y＝23的自然數(shù)解。先將原方程變形，y＝EQ\F(23－3x,4)?？闪斜碓囼?yàn)求解：X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y＝23的自然數(shù)解為X=1x=5Y=5y=2【典例分析02】求下列方程組的正整數(shù)解5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2這是一個(gè)三元一次不定方程組。解答的實(shí)話，要先設(shè)法消去其中的一個(gè)未知數(shù)，將方程組簡(jiǎn)化成例1那樣的不定方程。5x+7y+3z＝25=1\*GB3①3x－y－6z＝2=2\*GB3②由=1\*GB3①×2+=2\*GB3②，得13x+13y＝52X+y＝4=3\*GB3③把=3\*GB3③式變形，得y＝4－x。因?yàn)閤、y、z都是正整數(shù)，所以x只能取1、2、3.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1把上面的結(jié)果再分別代入=1\*GB3①或=2\*GB3②，得x＝1，y＝3時(shí)，z無(wú)正整數(shù)解。x＝2，y＝2時(shí)，z也無(wú)正整數(shù)解。x＝3時(shí)，y＝1時(shí)，z＝1.所以，原方程組的正整數(shù)解為x＝1y＝1z＝1【典例分析03】一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒子裝5個(gè)，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問(wèn)兩種盒子各有多少個(gè)？?jī)煞N盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)，則12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）y＝（99－12y）÷5經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件的解有：x＝2x＝7y＝15y＝3所以，大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)，或大盒子有7個(gè)，小盒子有3個(gè)?！镜淅治?4】買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問(wèn)三種水果各買了多少千克？設(shè)蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30－x－y）千克。根據(jù)題意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x＝10－EQ\F(y,2)由式子可知：y<20，則y必須是2的倍數(shù)，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211【典例分析05】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)6枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)4枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)1枝。問(wèn)：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？設(shè)一等獎(jiǎng)有x人，二等獎(jiǎng)有y人，三等獎(jiǎng)有z人。則6x+3y+2z＝22=1\*GB3①9x+4y+z＝22=2\*GB3②由=2\*GB3②×2－=1\*GB3①，得12x+5y＝22y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1。Y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解為y＝2z＝5所以，一等獎(jiǎng)的學(xué)生有1人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有2人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有5人。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022?永濟(jì)市）有一些6厘米和7厘米長(zhǎng)的小棒，從中取出一些接在一起不能得到的長(zhǎng)度（）A．29厘米 B．30厘米 C．31厘米2．（2分）（2020秋?烏蘭察布期末）一個(gè)28人的旅游團(tuán)到租車公司租車。小汽車限坐4人，商務(wù)車限坐6人，如果每輛車都坐滿，那么旅游團(tuán)要租（）A．5輛小汽車和2輛商務(wù)車 B．4輛小汽車和2輛商務(wù)車 C．3輛小汽車和3輛商務(wù)車3．（2分）（2020秋?雨花區(qū)校級(jí)期中）用一輛載質(zhì)量2噸和一輛質(zhì)量3噸的卡車運(yùn)沙石，如果每次每輛車都裝滿，怎樣可以恰好運(yùn)完8噸？（）A．載質(zhì)量2噸的車運(yùn)4次 B．載質(zhì)量2噸的車運(yùn)1次，載質(zhì)量3噸的車運(yùn)2次 C．A或B都行4．（2分）（2013?寶山區(qū)模擬）已知與都是方程y＝kx+b的解，則k與b的值為（）A．，b＝﹣4 B．，b＝4 C．，b＝4 D．，b＝﹣45．（2分）（2021秋?萊陽(yáng)市期末）超市有4支裝和6支裝不同包裝的碳素筆，小明想買36支，有（）種不同的買法。A．3 B．4 C．5二．填空題（共7小題，滿分14分，每小題2分）6．（2分）（2021秋?即墨區(qū)期末）學(xué)校組織學(xué)生去實(shí)踐基地。五年級(jí)有360人，大客車每輛坐45人，小客車每輛坐30人，恰好沒(méi)有空位，有種不同的安排方法。7．（2分）（2022秋?萊山區(qū)期末）31人住旅館，有3人間和2人間若干。如果每間房都要住滿，有種不同的安排方案。8．（2分）（2022?高淳區(qū)）某蛋糕店采用發(fā)放號(hào)牌的方式銷售蛋糕，同一批次只發(fā)放4個(gè)號(hào)牌（每人限領(lǐng)1個(gè)號(hào)牌），每個(gè)號(hào)牌最多購(gòu)買3盒蛋糕、最少購(gòu)買1盒蛋糕（每盒里有3個(gè)蛋糕）。要保證同一批次的人都能買到所需要的蛋糕，蛋糕店每批次至少要準(zhǔn)備個(gè)蛋糕。9．（2分）（2022秋?濰坊期末）一種巧克力有4塊裝和6塊裝兩種包裝方式，要購(gòu)買這種巧克力26塊，有種不同的買法。10．（2分）（2021秋?濱城區(qū)期末）元旦聯(lián)歡會(huì)需要購(gòu)買48米長(zhǎng)的彩帶裝飾教室?，F(xiàn)有4米一根和6米一根的彩帶兩種，共有種不同的買法。如果4米的買3根，6米的就應(yīng)該買根。11．（2分）（2021秋?涿鹿縣校級(jí)期末）王老師要買56支鋼筆做獎(jiǎng)品，同樣的鋼筆有4支裝和6只裝兩種不同的包裝，王老師共有種不同買法。12．（2分）（2021秋?棲霞市期末）29人住旅館，有3人間和2人間若干，每間房住滿，有種不同的安排。三．應(yīng)用題（共16小題，滿分76分）13．（4分）（2021?和平區(qū)）用載重5噸和3噸的大小卡車往城市運(yùn)39噸蔬菜。大卡車和小卡車各用幾輛正好一次運(yùn)完？14．（4分）（2019秋?順慶區(qū)期末）學(xué)校有26位老師周末開轎車下鄉(xiāng)扶貧，轎車準(zhǔn)載人數(shù)有7座和5座兩款．如果每輛車都坐滿，7座和5座的車各需要幾輛？15．（4分）（2022秋?長(zhǎng)沙縣期末）參加青少年冬令營(yíng)的43名同學(xué)入住賓館，賓館有三人間和兩人間（不能空床）。怎樣給同學(xué)們安排房間最合適？請(qǐng)你寫出至少兩種方案。16．（4分）（2022秋?東城區(qū)期末）20人去公園劃船。每條大船限坐5人，每條小船限坐3人。一共有幾種租船方案？請(qǐng)你在表格中填一填、算一算。方案大船/條小船/條可坐人數(shù)①②③④⑤如果每條船都坐滿，沒(méi)有空位，有種租船方案。17．（5分）（2021秋?蕭山區(qū)期末）一堆重45噸的沙子，安排兩種載質(zhì)量的貨車運(yùn)送。大車每次運(yùn)9噸，小車每次運(yùn)6噸。如果每次運(yùn)沙的車子都裝滿，怎樣安排恰好運(yùn)完？（寫出所有符合條件的方案）18．（5分）（2021?寧波模擬）學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，分別需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排住下？19．（5分）（2019春?上海月考）單位職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶了一個(gè)孩子參加．男職工每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個(gè)孩子都種6棵樹，他們一共種了216棵樹．那么其中有多少名男職工？20．（5分）（2021秋?青云譜區(qū)期末）有50人去劃船，大船每條可坐6人，小船每條可坐4人。如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？（寫出一種符合條件的方案即可）21．（5分）（2020秋?吳興區(qū)期末）兩種盒子都可以用來(lái)裝牛奶。如果要把28瓶牛奶都裝到盒子中，而且每盒都裝滿，可以怎樣裝？（寫出所有符合要求的裝法）22．（5分）（2021秋?合陽(yáng)縣期中）15名同學(xué)組織國(guó)慶節(jié)放假期間去游樂(lè)園劃船。游樂(lè)園有大小兩種船型，大船限坐5人，小船限坐3人。如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？23．（5分）（2019秋?澗西區(qū)期末）你玩過(guò)抱團(tuán)游戲嗎？游戲規(guī)則：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．如果有38人，怎樣抱團(tuán)剛好一人也不剩下．請(qǐng)用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重復(fù)、不遺漏．24．（5分）（2022?沈陽(yáng)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，在對(duì)稱中心O處有一釘子。動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A～B～C～D方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止；點(diǎn)Q沿A～D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止。P、Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋連接，設(shè)x秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為ycm2。（1）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求x的值。（2）求當(dāng)x＝時(shí)y的值。（3）在橡皮筋從觸及釘子到運(yùn)動(dòng)停止的過(guò)程中，直接寫出∠POQ為直角時(shí)x的數(shù)值。25．（5分）（2021秋?威寧縣期末）一次夏令營(yíng)活動(dòng)有21位學(xué)生參加，請(qǐng)你安排住宿，住3人間和2人間（每個(gè)房間不能有空床位