專題02平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（原卷版）

專題02平面向量的數(shù)量積運(yùn)算1．平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的________(或內(nèi)積)，記作________,即，其中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為________投影向量：①定義：如圖，設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的________②計(jì)算：設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量是________2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量和實(shí)數(shù),則交換律；數(shù)乘結(jié)合律________分配律.3.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角，（1）數(shù)量積：；（2）模：________（3）夾角：________（4）垂直與平行：；________【注】當(dāng)與同向時(shí),；當(dāng)與反向時(shí)，.（5）性質(zhì)：(當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)等號(hào)成立)考點(diǎn)一向量數(shù)量積概念辨析考點(diǎn)二向量數(shù)量積的運(yùn)算1.向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算2.平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用1.向量的模2.向量的夾角問題3.向量的垂直問題4.向量的投影問題考點(diǎn)一向量數(shù)量積概念辨析例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．向量滿足B．若向量滿足，則C．若向量，則D．對(duì)任意兩向量，則與是相反向量練習(xí)1．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）如果都是非零向量，則下列判斷正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，則D．若同向，則練習(xí)2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出以下結(jié)論：①；②；③；④或；⑤．其中正確的序號(hào)是____________．考點(diǎn)二向量數(shù)量積的運(yùn)算1.向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算例2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量和的夾角為，，，則________________.練習(xí)1．（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，均為單位向量，且它們兩兩的夾角均為，其中，，則的值為____________.練習(xí)2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知平面向量，滿足，它們的夾角為，則____________________．練習(xí)3．（2022春·河南三門峽·高一?？茧A段練習(xí)）已知，求分別在下列條件下的值.(1)；(2)；(3).2.平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為1的正中，，，則（

）A．1 B． C． D．練習(xí)1．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（

）A． B． C． D．1練習(xí)2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，則__________________．練習(xí)3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知為的外心，，，則______________________．考點(diǎn)二共線向量定理的應(yīng)用1.向量的模例4．（湖北省八市2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．3練習(xí)1．（2021春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B．4 C． D．練習(xí)2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量滿足，，，則______________．練習(xí)3.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．2.向量的夾角問題例5．（2023·新疆·統(tǒng)考一模）已知平面向量滿足與的夾角為（

）A． B． C． D．練習(xí)1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（

）A．30° B．45° C．135° D．150°練習(xí)2．（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知都是單位向量，滿足則＝（

）A． B． C． D．3.向量的垂直問題例6．（2021春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知向量與的夾角為，，則實(shí)數(shù)______________________.練習(xí)1．（2022秋·安徽亳州·高二校聯(lián)考期末）已知非零向量，，與互相垂直，則____________．練習(xí)2．（2023·河南平頂山·葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則____________．4.向量的投影問題例7．（2023春·福建南平·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習(xí)1．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎蛄繚M足，，，則向量在向量上的投影為____________．練習(xí)2.（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谥校┮阎蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄繛?，且，則____．(結(jié)果用數(shù)值表示)練習(xí)3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，求在上的投影向量．一、單選題1．（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，，若，則（

）A．，中至少有一個(gè)為非零向量 B．，垂直C．，反向 D．2．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，則在方向上的投影為（

）A． B． C．4 D．83．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影為（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．1 B． C． D．25．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的中線，且，，則（

）A． B．5 C． D．86．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┰谄叫兴倪呅沃?，，，，，且，則平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，P為正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．22．（2022秋·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）設(shè)非零向量，的夾角為，定義運(yùn)算.下列敘述正確的是（

）A．若，則B．若，則C．設(shè)在中，，，則D．（為任意非零向量）三、填空題1．（2004·全國(guó)·高考真題）向量滿足，且，則與夾角的余弦值等于______________________．2．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，與的夾角為，，則______________.3．（2023·全國(guó)·高一專題