專題02平面向量的數(shù)量積運算（原卷版）

專題02平面向量的數(shù)量積運算1．平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的________(或內(nèi)積)，記作________,即，其中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為________投影向量：①定義：如圖，設是兩個非零向量，，作如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的________②計算：設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量是________2．平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則交換律；數(shù)乘結合律________分配律.3.平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質設非零向量，是與的夾角，（1）數(shù)量積：；（2）模：________（3）夾角：________（4）垂直與平行：；________【注】當與同向時,；當與反向時，.（5）性質：(當且僅當________時等號成立)考點一向量數(shù)量積概念辨析考點二向量數(shù)量積的運算1.向量數(shù)量積的簡單計算2.平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積考點三共線向量定理的應用1.向量的模2.向量的夾角問題3.向量的垂直問題4.向量的投影問題考點一向量數(shù)量積概念辨析例1．（2023·全國·高一專題練習）下列說法中正確的是（

）A．向量滿足B．若向量滿足，則C．若向量，則D．對任意兩向量，則與是相反向量練習1．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）（多選）如果都是非零向量，則下列判斷正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，則D．若同向，則練習2．（2023·高一課時練習）給出以下結論：①；②；③；④或；⑤．其中正確的序號是____________．考點二向量數(shù)量積的運算1.向量數(shù)量積的簡單計算例2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量和的夾角為，，，則________________.練習1．（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，均為單位向量，且它們兩兩的夾角均為，其中，，則的值為____________.練習2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知平面向量，滿足，它們的夾角為，則____________________．練習3．（2022春·河南三門峽·高一?？茧A段練習）已知，求分別在下列條件下的值.(1)；(2)；(3).2.平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）在邊長為1的正中，，，則（

）A．1 B． C． D．練習1．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學考試）已知是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（

）A． B． C． D．1練習2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，則__________________．練習3．（2022·河北·模擬預測）已知為的外心，，，則______________________．考點二共線向量定理的應用1.向量的模例4．（湖北省八市2023屆高三下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題）已知兩個非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．3練習1．（2021春·河北·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B．4 C． D．練習2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）設向量滿足，，，則______________．練習3.（2023·全國·高一專題練習）在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．2.向量的夾角問題例5．（2023·新疆·統(tǒng)考一模）已知平面向量滿足與的夾角為（

）A． B． C． D．練習1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（

）A．30° B．45° C．135° D．150°練習2．（2022秋·福建泉州·高三校考階段練習）已知都是單位向量，滿足則＝（

）A． B． C． D．3.向量的垂直問題例6．（2021春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知向量與的夾角為，，則實數(shù)______________________.練習1．（2022秋·安徽亳州·高二校聯(lián)考期末）已知非零向量，，與互相垂直，則____________．練習2．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）若，，且，則____________．4.向量的投影問題例7．（2023春·福建南平·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習1．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┮阎蛄繚M足，，，則向量在向量上的投影為____________．練習2.（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谥校┮阎蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄繛?，且，則____．(結果用數(shù)值表示)練習3．（2023·全國·高一專題練習）已知，求在上的投影向量．一、單選題1．（2023·高一單元測試）已知向量，，若，則（

）A．，中至少有一個為非零向量 B．，垂直C．，反向 D．2．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┮阎瑒t在方向上的投影為（

）A． B． C．4 D．83．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影為（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．1 B． C． D．25．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的中線，且，，則（

）A． B．5 C． D．86．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學校考期末）在平行四邊形中，，，，，且，則平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，P為正六邊形邊上的動點，則的值可能為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．22．（2022秋·重慶北碚·高三西南大學附中?？茧A段練習）設非零向量，的夾角為，定義運算.下列敘述正確的是（

）A．若，則B．若，則C．設在中，，，則D．（為任意非零向量）三、填空題1．（2004·全國·高考真題）向量滿足，且，則與夾角的余弦值等于______________________．2．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習）已知向量，滿足，，與的夾角為，，則______________.3．（2023·全國·高一專題