專題14二次函數(shù)與菱形存在性問(wèn)題（原卷版）

專題14二次函數(shù)與菱形存在性問(wèn)題解題點(diǎn)撥【基本概念】菱形作為一種特殊的平行四邊形，可以從以下幾種方式得到：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．【解題技巧】坐標(biāo)系中的菱形存在性問(wèn)題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．【基本題型】因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)【解題思路】解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．

【例題解析】如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問(wèn)題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．（3）AC=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．以上只是兩種簡(jiǎn)單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問(wèn)題具體分析，或許有更為簡(jiǎn)便的方法．直擊中考1．（四川德陽(yáng)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，其中，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P，Q為直線下方拋物線上任意兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別作y軸的平行線交直線于C點(diǎn)和D點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移2個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)G為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)構(gòu)成以為邊的菱形時(shí)，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．3．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，直線與該拋物線交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)D，連接．當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線上，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)m的值；②是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．6．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段的最大值；②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；(2)設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)，并求出線段的最大值；(3)已知點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸的左側(cè)．(1)求的值及點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線將四邊形分為面積比為的兩部分時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)點(diǎn)位于第一象限時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則以為對(duì)角線的四邊形能否為菱形？若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)①若點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的最大值；②若點(diǎn)P在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市廣全學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，線段，二次函數(shù)與y軸交于A點(diǎn)，與x軸分別交于B點(diǎn)、E點(diǎn)（B點(diǎn)在E點(diǎn)的左側(cè)）(1)分別求A、B、E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接、，請(qǐng)判斷與是否相似并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1