2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)專(zhuān)題訓(xùn)練含解析北師大版必修第二冊(cè)

PAGE專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練(一)三角函數(shù)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．sin(－60°)的值是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)C[sin(－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).]2．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．πB[T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，所以?xún)蓷l相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離eq\f(1,2)T＝eq\f(π,4).]3．函數(shù)y＝sin3x的圖象可以由函數(shù)y＝cos3x的圖象()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位得到B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位得到C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位得到D．向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位得到D[∵sin3x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－3x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))))).∴函數(shù)y＝cos3x的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位即可得到函數(shù)y＝sin3x的圖象，故選D．]4．函數(shù)f(x)＝cos(3x＋φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則φ等于()A．－eq\f(π,2) B．2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)C．kπ(k∈Z) D．kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)D[若函數(shù)f(x)＝cos(3x＋φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．]5．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))圖象上的點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，t))向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y＝sin2x的圖象上，則()A．t＝eq\f(1,2)，s的最小值為eq\f(π,6)B．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值為eq\f(π,6)C．t＝eq\f(1,2)，s的最小值為eq\f(π,3)D．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值為eq\f(π,3)A[由題意得，t＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·\f(π,4)－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，故此時(shí)P′所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(1,2)))，此時(shí)向左平移eq\f(π,4)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)個(gè)單位，故選A．]二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))的最小正周期為π，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝________.1[由題設(shè)知eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,2)＝1.]7．函數(shù)y＝tan2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．[0，eq\r(3)][函數(shù)y＝tan2x在區(qū)間x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上單調(diào)遞增，所以值域是[0，eq\r(3)]．]8.如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx(ω＞0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且∠AOB＝eq\f(π,2)，則該函數(shù)的最小正周期是________．4[連接AB(圖略)，設(shè)AB與x軸的交點(diǎn)為C，則由∠AOB＝eq\f(π,2)，得CO＝CA＝CB．又OA＝CA，所以△AOC是高為eq\r(3)的正三角形，從而OC＝2，所以該函數(shù)的最小正周期是4.]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2)的相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為eq\f(π,2)，且該函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2)).(1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．[解](1)由題意有：A＝2，T＝π，即ω＝eq\f(2π,T)＝2，由當(dāng)x＝eq\f(π,12)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，即2×eq\f(π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，解得φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，即f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，(k∈Z)故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈[1,2]，故函數(shù)f(x)的最大值為2，最小值為1.10．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x滿(mǎn)意f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞減，而α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，求證：f(sinα)>f(cosβ)．[證明]∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)的周期為2.∴f(x)在[－1,0]與[－3，－2]上的單調(diào)性相同．∴f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減．∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上的單調(diào)性與[－1,0]上的單調(diào)性相反．∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．①∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴α＋β>eq\f(π,2)，∴α>eq\f(π,2)－β，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).又∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，∴sinα>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝cosβ，即sinα>cosβ.②由①②，得f(sinα)>f(cosβ)．11．若將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為()A．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)B．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)C．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)D．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)B[函數(shù)y＝2sin2x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，因此平移后函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，即x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．]12．函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))A[設(shè)t＝2x－eq\f(π,6)，即f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint))，t的取值須要滿(mǎn)意兩個(gè)條件，一是保證sint>0，二是保證f(x)＝sint單調(diào)遞增，所以，0＋2kπ<t<eq\f(π,2)＋2kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，即0＋2kπ<2x－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)＋2kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z))，解得eq\f(π,12)＋kπ<x<eq\f(π,3)＋kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)).]13．(多選)函數(shù)y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))內(nèi)，則滿(mǎn)意此條件的一個(gè)φ值為()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,9)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,6)AB[令2x＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)(k∈Z)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))內(nèi)，所以令eq\f(π,6)<eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)<eq\f(π,3)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,6)<φ<kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，四個(gè)選項(xiàng)中AB符合，故選AB．]14．若函數(shù)f(x)＝sinωxeq(\a\vs4\al\co1(ω>0))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω＝________.eq\f(3,2)[由于函數(shù)f(x)＝sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，由已知并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，eq\f(π,3)為函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的eq\f(1,4)周期，故eq\f(2π,ω)＝eq\f(4π,3)，解得ω＝eq\f(3,2).]15．如圖