2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學試卷（解析版）

第1頁（共1頁）2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共有12小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個正確選項，請將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。1．（3分）（2021?包頭）據(jù)交通運輸部報道，截至2020年底，全國共有城市新能源公交車46.61萬輛，將46.61萬用科學記數(shù)法表示為4.661×10n，則n等于（）A．6 B．5 C．4 D．32．（3分）（2021?包頭）下列運算結果中，絕對值最大的是（）A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．3．（3分）（2021?包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，則線段AD的長為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或34．（3分）（2021?包頭）柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機地取出2只，那么取出的鞋是同一雙的概率為（）A． B． C． D．5．（3分）（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，以點A為圓心，交AB于點D，交AC于點C，AC的長為半徑畫弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積為（）A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣6．（3分）（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣27．（3分）（2021?包頭）定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．（3分）（2021?包頭）如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點A，交l2于點B，過點B的直線l4交l1于點C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°9．（3分）（2021?包頭）下列命題正確的是（）A．在函數(shù)y＝﹣中，當x＞0時，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則1+a＞1﹣a C．垂直于半徑的直線是圓的切線 D．各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形10．（3分）（2021?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過第一象限的點（1，﹣b），則一次函數(shù)y＝bx﹣ac的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（3分）（2021?包頭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，連接AD，與BC相交于點O，垂足為C，與AD相交于點E，BC＝6，則的值為（）A． B． C． D．12．（3分）（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，點B的坐標為（4，2），反比例函數(shù)y＝（x＞0），與對角線OB交于點E，與AB交于點F，DE，EF①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題：本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請把答案填在答題卡上對應的橫線上。13．（3分）（2021?包頭）因式分解：+ax+a＝．14．（3分）（2021?包頭）化簡：＝．15．（3分）（2021?包頭）一個正數(shù)a的兩個平方根是2b﹣1和b+4，則a+b的立方根為．16．（3分）（2021?包頭）某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5，10，7，x，10．若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8．17．（3分）（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為B，且BD＝3，與AB相交于點M，過點M作MN⊥CB，則MN的長為．18．（3分）（2021?包頭）如圖，在?ABCD中，AD＝12，連接OC．若OC＝AB，則?ABCD的周長為．19．（3分）（2021?包頭）如圖，BD是正方形ABCD的一條對角線，E是BD上一點，連接CE，EF，EF＝EC，則∠BAF的度數(shù)為．20．（3分）（2021?包頭）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，△ACE的面積為．三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應位置。21．（8分）（2021?包頭）為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了學黨史知識競賽．參加知識競賽的學生分為甲乙兩組，每組學生均為20名（如圖），已知競賽成績滿分為100分，統(tǒng)計表中a，解答下列問題：甲組20名學生競賽成績統(tǒng)計表成績（分）708090100人數(shù)3ab5（1）求統(tǒng)計表中a，b的值；（2）小明按以下方法計算甲組20名學生競賽成績的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根據(jù)所學統(tǒng)計知識判斷小明的計算是否正確，請寫出正確的算式并計算出結果；（3）如果依據(jù)平均成績確定競賽結果，那么競賽成績較好的是哪個組？請說明理由．22．（8分）（2021?包頭）某工程隊準備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側選定C，D兩個觀測點km，CD長為（+），BD長為km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面內(nèi)）．（1）求A、D兩點之間的距離；（2）求隧道AB的長度．23．（10分）（2021?包頭）小剛家到學校的距離是1800米．某天早上，小剛到學校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學校．已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小剛跑步的平均速度；（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學校？請說明理由．24．（10分）（2021?包頭）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，交AC于點F，過點F作FG⊥AB，交于點G，交AD于點M，DE，DF．（1）求證：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝225．（12分）（2021?包頭）如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點，CP．（1）如圖1，以BC為直徑的半圓O交AB于點Q，交AC于點R上時，連接AP，CD＝AP，連接DP；（2）如圖2，E是BC邊上一點，且EC＝3BE，連接EP并延長，交AC于點F，若，求證：4EF＝3AB；（3）如圖3，M是AC邊上一點，當AM＝2MC時，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面積為S2，求S1﹣S2的值（用含a的代數(shù)式表示）．26．（12分）（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+4x經(jīng)過坐標原點，與x軸正半軸交于點A，點M（m，n）（1）如圖1，當m＞0，n＞0，①求點M的坐標；②若點B（，y）在該拋物線上，連接OM，C是線段BM上一動點（點C與點M，B不重合），過點C作CD∥MO，線段OD與MC是否相等？請說明理由；（2）如圖2，該拋物線的對稱軸交x軸于點K，點E（x，），當m＞2，n＞0，過點A作x軸的垂線，交直線EM于點N，點G的坐標為（0，），連接GF．若EF+NF＝2MF

2021年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共有12小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個正確選項，請將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。1．（3分）（2021?包頭）據(jù)交通運輸部報道，截至2020年底，全國共有城市新能源公交車46.61萬輛，將46.61萬用科學記數(shù)法表示為4.661×10n，則n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：因為46.61萬＝466100＝4.661×105，所以將46.61萬用科學記數(shù)法表示為7.661×10n，則n等于5．故選：B．2．（3分）（2021?包頭）下列運算結果中，絕對值最大的是（）A．1+（﹣4） B．（﹣1）4 C．（﹣5）﹣1 D．【解答】解：因為|1+（﹣4）|＝|﹣8|＝3，|（﹣1）5|＝|1|＝1，|（﹣6）﹣1|＝|﹣|＝，|，且＜6＜2＜3，所以絕對值最大的是選項A．故選：A．3．（3分）（2021?包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，則線段AD的長為（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【解答】解：根據(jù)題意分兩種情況，①如圖1，∵AB＝4，BC＝5，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是線段AC的中點，∴AD＝＝；②如圖2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是線段AC的中點，∴AD＝＝×6＝3．∴線段AD的長為2或3．故選：C．4．（3分）（2021?包頭）柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機地取出2只，那么取出的鞋是同一雙的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：兩雙不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一雙鞋，B，畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中取出的鞋是同一雙的結果數(shù)為4，所以取出的鞋是同一雙的概率＝＝．故選：A．5．（3分）（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，以點A為圓心，交AB于點D，交AC于點C，AC的長為半徑畫弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積為（）A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣【解答】解：根據(jù)題意可知AC＝＝＝1，設∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S陰影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（＝1﹣，故選：D．6．（3分）（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣4＝，∴（x﹣1）8＝2，即x2﹣7x+1＝2，∴x6﹣2x＝1，∴x5﹣2x+2＝8+2＝3．故選：C．7．（3分）（2021?包頭）定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解∵a?b＝a﹣2b，∴x?m═x﹣2m．∵x?m＞2，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣3，∴2m+3＝﹣2，∴m＝﹣2．故選：B．8．（3分）（2021?包頭）如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點A，交l2于點B，過點B的直線l4交l1于點C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：如圖，∵l1∥l2，∴∠7+∠3＝180°，∵∠1+∠7+∠3＝240°，∴∠2＝240°﹣（∠5+∠3）＝60°，∵∠3+∠6+∠5＝180°，∠3＝50°，∴∠7＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，∵l7∥l2，∴∠4＝∠4＝70°，故選：B．9．（3分）（2021?包頭）下列命題正確的是（）A．在函數(shù)y＝﹣中，當x＞0時，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則1+a＞1﹣a C．垂直于半徑的直線是圓的切線 D．各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形【解答】解：A、在函數(shù)y＝﹣＜0，y隨x的增大而增大，不符合題意；B、若a＜6，故原命題錯誤；C、垂直于半徑且經(jīng)過半徑的外端的直線是圓的切線，不符合題意；D、各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形，是真命題，故選：D．10．（3分）（2021?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過第一象限的點（1，﹣b），則一次函數(shù)y＝bx﹣ac的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵點（1，﹣b）在第一象限．∴﹣b＞0．∴b＜7．∵二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過第一象限的點（3，﹣b）．∴﹣b＝a﹣b+c．∴a+c＝0．∵a≠0．∴ac＜6．∴一次函數(shù)y＝bx﹣ac的圖象經(jīng)過一、二、四象限．故選：C．11．（3分）（2021?包頭）如圖，在△ABC中，AB＝AC，連接AD，與BC相交于點O，垂足為C，與AD相交于點E，BC＝6，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵△DBC和△ABC關于直線BC對稱，∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四邊形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，∴BD＝＝＝5，∵CE⊥CD，∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，∴∠CAO＝∠ECO，∴tan∠ECO＝＝，∴，∴EO＝，∴AE＝，∴＝＝，方法二，也可以通過證明△DCE∽△DOB．故選：D．12．（3分）（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，點B的坐標為（4，2），反比例函數(shù)y＝（x＞0），與對角線OB交于點E，與AB交于點F，DE，EF①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：①矩形OABC中，∵B（4，2），∴OA＝8，OC＝2，由勾股定理得：OB＝＝4，當y＝2時，8＝，∴x＝1，∴D（4，2），∴CD＝1，由勾股定理得：OD＝＝，∴sin∠DOC＝＝＝，cos∠BOC＝＝，∴sin∠DOC＝cos∠BOC，故①正確；②設OB的解析式為：y＝kx（k≠0），把（7，2）代入得：4k＝3，∴k＝，∴y＝x，當x＝時，∴E（2，3），∴E是OB的中點，∴OE＝BE，故②正確；③當x＝4時，y＝，∴F（4，），∴BF＝2﹣＝，∴S△BEF＝（4﹣2）＝，S△DOE＝﹣﹣＝4﹣4﹣＝，∴S△DOE＝S△BEF，故③正確；④由勾股定理得：DF＝＝，∵OD＝，∴＝，即OD：DF＝2：3．故④正確；其中正確的結論有①②③④，共4個．故選：A．二、填空題：本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請把答案填在答題卡上對應的橫線上。13．（3分）（2021?包頭）因式分解：+ax+a＝a（x+1）2．【解答】解：原式＝a（x4+x+1）＝a（x+1）2，故答案為：a（x+1）6．14．（3分）（2021?包頭）化簡：＝1．【解答】解：原式＝?（m+2）＝＝1．故答案為2．15．（3分）（2021?包頭）一個正數(shù)a的兩個平方根是2b﹣1和b+4，則a+b的立方根為2．【解答】解：∵一個正數(shù)a的兩個平方根是2b﹣1和b+7，∴2b﹣1+b+2＝0，∴b＝﹣1．∴b+6＝﹣1+4＝4，∴a＝9．∴a+b＝9+（﹣6）＝8，∵8的立方根為4，∴a+b的立方根為2．故答案為：2．16．（3分）（2021?包頭）某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5，10，7，x，10．若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為83.6．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)5，7，x，10的中位數(shù)為8，則有x＝8，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（5+10+7+3+10）＝8，則這組數(shù)據(jù)的方差S2＝[（5﹣4）2+（10﹣8）7+（7﹣8）4+（8﹣8）4+（10﹣8）2]＝3.6，故答案為：3.5．17．（3分）（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為B，且BD＝3，與AB相交于點M，過點M作MN⊥CB，則MN的長為．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案為：．18．（3分）（2021?包頭）如圖，在?ABCD中，AD＝12，連接OC．若OC＝AB，則?ABCD的周長為24+6．【解答】解：連接OE，過點C作CF⊥AD交AD于點F，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴∠EOD+∠OEC＝180°，∵⊙O與BC相切于點E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四邊形OECF為矩形，∴FC＝OE，∵AD為直徑，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝5，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝5，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2+FC2＝32+42＝45，∴AB＝OC＝3，∴?ABCD的周長為12+12+3+6，故答案為：24+8．19．（3分）（2021?包頭）如圖，BD是正方形ABCD的一條對角線，E是BD上一點，連接CE，EF，EF＝EC，則∠BAF的度數(shù)為22.5°．【解答】解：如右圖，連接AE，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠BDC＝45°，∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.3°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.3°＝135°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠BEF＝135°﹣112.7°＝22.5°，∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝＝67.6°，∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，在△ADE和△EDC中，，∴△ADE≌△EDC（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF為等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.6°＝67.5°，∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.7°，故答案為：22.5°．20．（3分）（2021?包頭）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，△ACE的面積為4．【解答】解：當y＝0時，x2﹣4x﹣3＝0，解得x2＝﹣1，x2＝4，則A（﹣1，B（3，拋物線的對稱軸為直線x＝4，當x＝0時，y＝x2﹣4x﹣3＝﹣3，則C（6，當x＝4時，y＝x2﹣3x﹣3＝5，則D（2，連接AD交直線x＝1于E，交y軸于F點，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此時BE+DE的值最小，設直線AD的解析式為y＝kx+b，把A（﹣1，7），5）代入得，∴直線AD的解析式為y＝x+1，當x＝1時，y＝x+5＝2，2），當x＝4時，y＝x+1＝1，5），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×8×1+．故答案為4．三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應位置。21．（8分）（2021?包頭）為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了學黨史知識競賽．參加知識競賽的學生分為甲乙兩組，每組學生均為20名（如圖），已知競賽成績滿分為100分，統(tǒng)計表中a，解答下列問題：甲組20名學生競賽成績統(tǒng)計表成績（分）708090100人數(shù)3ab5（1）求統(tǒng)計表中a，b的值；（2）小明按以下方法計算甲組20名學生競賽成績的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根據(jù)所學統(tǒng)計知識判斷小明的計算是否正確，請寫出正確的算式并計算出結果；（3）如果依據(jù)平均成績確定競賽結果，那么競賽成績較好的是哪個組？請說明理由．【解答】解：（1）∵每組學生均為20名，∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），∵b＝5a，∴a＝4，b＝8；（2）小明的計算不正確，正確的計算為：＝87.5（分）；（3）競賽成績較好的是甲組，理由：乙組20名學生競賽成績的平均分：100×+90×+70×，80.5＜87.7，∴競賽成績較好的是甲組．22．（8分）（2021?包頭）某工程隊準備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側選定C，D兩個觀測點km，CD長為（+），BD長為km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面內(nèi)）．（1）求A、D兩點之間的距離；（2）求隧道AB的長度．【解答】解：（1）過A作AE⊥CD于E，如圖所示：則∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AC＝，AE＝（km），∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝×＝；（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝，∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB＝＝＝3（km），即隧道AB的長度為3km．23．（10分）（2021?包頭）小剛家到學校的距離是1800米．某天早上，小剛到學校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學校．已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小剛跑步的平均速度；（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學校？請說明理由．【解答】解：（1）設小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/分，根據(jù)題意，得，解得：x＝150，經(jīng)檢驗，x＝150是所列方程的根，所以小剛跑步的平均速度為150米/分．（2）他不能在上課前趕回學校，理由如下：由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，則小剛跑步所用時間為1800÷150＝12（分），騎自行車所用時間為12﹣4.5＝7.5（分），∵在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，∴小剛從開始跑步回家到趕回學校需要12+4.5+3＝22.7（分）．又∵22.5＞20，所以小剛不能在上課前趕回學校．24．（10分）（2021?包頭）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，交AC于點F，過點F作FG⊥AB，交于點G，交AD于點M，DE，DF．（1）求證：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2【解答】（1）證明：由題可知∠AGF＝∠ADF（同弧所對的圓周角相等），∵GF⊥AB，AD為圓的直徑，∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，∴∠GAE＝∠FAD，∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，∵四邊形AEDF是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∴∠GAD+∠EDF＝180°．（2）解：如圖，連接OF，∵AD是圓的直徑，且AD是△ABC的高，∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴＝，∵tan∠ABC＝＝2，∴＝2，∵∠ACB＝45°，∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，∴∠AOF＝90°，∵在Rt△AHM與Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（對頂角），∴△AHM∽△FOM，∴＝＝5，∵AD＝4，∴OF＝OA＝2，∴＝5，AM＝OA﹣OM＝1，設HM＝x，則AH＝2x，在Rt△AHM中有：AH8+HM2＝AM2，即（7x）2+x2＝8，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴AH＝，∵OF＝OA＝2，∴AF＝2，在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF8，即（）2+HF2＝（5）2，解得HF＝，或HF＝﹣，故HF的長為．25．（12分）（2021?包頭）如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點，CP．（1）如圖1，以BC為直徑的半圓O交AB于點Q，交AC于點R上時，連接AP，CD＝AP，連接DP；（2）如圖2，E是BC邊上一點，且EC＝3BE，連接EP并延長，交AC于點F，若，求證：4EF＝3AB；（3）如圖3，M是AC邊上一點，當AM＝2MC時，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面積為S2，求S1﹣S2的值（用含a的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）如圖1，連接BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，在△BAP和△BCD中，，∴△BAP≌△BCD（SAS），∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，∵∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠CBD+∠PBC＝60°，即∠PBD＝60°，∴△BDP是等邊三角形，∴∠BPD＝60°，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BPC＝90°，∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；（2）如圖2，連接AP交BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BP＝CP，∴AD⊥BC，BD＝CD＝AB，∴AD＝AB?sin∠ABC＝AB?sin60°＝AB，∵AB＝4BP，∴BP＝AB，∴PD＝＝＝AB，∴PD＝AD，∵EC＝3BE，∴BE＝BC，∵BD＝BC，∴BE＝BD，∴EP是△ABD的中位線，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝＝＝，∴6EF＝3AB；（3）如圖3，過點A作AD⊥BC于點D，交AC于點F，由（2）得：AD＝AB＝3a，BC＝AC＝AB＝6a，∵∠CMP＝150°，∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，∵∠CHP＝90°，∴PH＝PM?sin∠PMF＝a?sin30°＝a，MH＝PM?cos∠PMF＝a?cos30°＝