2024學(xué)年許昌市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷及答案解析

學(xué)年許昌市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷考試時間：120分鐘，試卷滿分150分2024.11一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.圓：與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離3.在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A B.C. D.4.直線過點(diǎn)，且與圓相切，則直線的方程為（）A. B.C. D.或5.在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.6.在棱長為2的正方體中，E是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.已知P是圓上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線距離的取值范圍為（）A.B.C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓，直線．則以下幾個結(jié)論正確的有（）A.直線l與圓C相交B.圓C被y軸截得的弦長為C.點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D.直線l被圓C截得弦長最短時，直線l的方程為10.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有11.正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則錯誤的有（）A.平面B.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)C.的最小值為D.當(dāng)時，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則______．13已知向量，，，若三個向量共面，則______．14.已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的三個頂點(diǎn)，，，求：（1）邊上的高所在直線方程；（2）AC邊上的中線所在直線方程及中線的長度．16.如圖，在四棱臺中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．17.已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．18.已知橢圓C：的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓C上找一點(diǎn)P，使它到直線l：的距離最短，并求出最短距離.19.已知為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.2024學(xué)年許昌市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，且，可知直線的斜率所以的傾斜角為．故選：D．2.圓：與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】A【解析】【分析】求出兩圓的圓心距，則有，即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為；，則圓的圓心為，半徑為.兩圓心之間的距離，且滿足，可知兩圓相交.故選：A.3.在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】用基底分別表示向量，再利用空間向量的減法可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，.故選：C4.直線過點(diǎn)，且與圓相切，則直線的方程為（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算即得.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時與圓不相切，則直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程為，化簡得，依題意，圓心到直線的距離為1，即，解得或，所以直線的方程為或.故選：D5.在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,【詳解】因?yàn)?，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,y1,B又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)弦所在的直線方程為，即.故選：C6.在棱長為2的正方體中，E是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以.故選：D7.已知P是圓上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到過定點(diǎn)，得到點(diǎn)在圓上，且，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，可化為，由，解得，所以l過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，又由圓，可得圓心為，半徑，當(dāng)時，點(diǎn)P到的距離最大，最大距離為，此時，所以直線的斜率為1，此時無解，故直線l不存在，所以距離；當(dāng)直線與圓O相交時，點(diǎn)P到l的距離最小，最小距離為0，故點(diǎn)P到的距離的取值范圍為.故選：D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得到垂直平分線段，則，再根據(jù)橢圓的定義式和勾股定理即可求解．【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，所以，，，又線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因?yàn)?，所以，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上轉(zhuǎn)化為垂直平分線段，再結(jié)合橢圓定義求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓，直線．則以下幾個結(jié)論正確的有（）A.直線l與圓C相交B.圓C被y軸截得的弦長為C.點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D.直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，，聯(lián)立求定點(diǎn),根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可求解；對于B，令求軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得弦長；對于C，根據(jù)定點(diǎn)到圓心距離即可求解最值，對于D，根據(jù)直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，求直線斜率，進(jìn)而求出參數(shù)，即可得方程．【詳解】由，則，得，即恒過定點(diǎn)，由到圓心的距離，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心到定點(diǎn)的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．10.下列命題為真命題的是（）A.若空間向量，，滿足，則B.若三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，必定共面C.若空間向量，，則D.對于任意空間向量，，必有【答案】BD【解析】【分析】令為零向量即可判斷A、C；由基底的概念判斷B；應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義判斷D.【詳解】若為零向量，有，但不一定成立，A錯：三個非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則它們必共面，B對；若為零向量，，，但不一定成立，C錯：由，，而，所以，D對故選：BD11.正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則錯誤的有（）A.平面B.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)C.的最小值為D.當(dāng)時，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形【答案】BCD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，證得，可判定A正確；證得平面，結(jié)合的面積為定值，可得判定B錯誤；利用兩點(diǎn)間距離公式，求得的最小值，可判定C錯誤；連接，取中點(diǎn)為，當(dāng)與交點(diǎn)為點(diǎn)時，利用三角形的性質(zhì)，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，所以，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以A正確；對于B中，因?yàn)檎襟w中，且，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以棱上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等，又因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，所以三棱錐的體積始終為定值，所以B錯誤；對于C中，由，因?yàn)?，所以，則，可得，當(dāng)時，有最小值，最小值，所以C錯誤；對于D中，連接，取中點(diǎn)為，此時與交點(diǎn)為點(diǎn)，如圖（1）所示過點(diǎn)作，可得，可得，所以，即，此時平面截正方體截面圖形為四邊形，所以D不正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：對于立體幾何中的截面問題的求解策略：1、立體幾何中的截面問題主要包括：空間動點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點(diǎn)的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動點(diǎn)的軌跡方程；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算和模長公式求解.【詳解】由題意，，于是.故答案為：13.已知向量，，，若三個向量共面，則______．【答案】【解析】【分析】由向量共面的性質(zhì)可得，列出方程組解出即可.【詳解】因?yàn)槿蛄抗裁?，所以可設(shè)，即，所以，解得，，所以.故答案為：-414.已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意表示出兩圓的圓心半徑，進(jìn)一步結(jié)合兩圓外離列出不等式即可求解.【詳解】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的三個頂點(diǎn)，，，求：（1）邊上高所在直線方程；（2）AC邊上的中線所在直線方程及中線的長度．【答案】（1）（2）；中線的長度為5.【解析】【分析】（1）先求的斜率，進(jìn)而可得邊上的高的斜率，結(jié)合斜截式即可求解；（2）先求出邊上的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出邊上的中線所在直線方程；再利用兩點(diǎn)間的距離公式求得邊上的中線的長度的值．【小問1詳解】設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，，則，由斜截式知邊上的高所在直線方程為：，即邊上的高所在直線方程為：.【小問2詳解】的三個頂點(diǎn)，，，故邊上的中點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，即.邊上的中線的長度.16.如圖，在四棱臺中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.【小問2詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.17.已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立直線和的直線方程，求得交點(diǎn)，進(jìn)而求得半徑，即可得解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線的距離，討論直線l的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，即可得解.【小問1詳解】首先由可得，所以直線和相交于點(diǎn)，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為，代入圓C方程為可得，此時，符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，根據(jù)題意圓心到直線的距離為，所以，解得，此時直線方程為，所以直線l的方程為或.18.已知橢圓C：的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓C上找一點(diǎn)P，使它到直線l：的距離最短，并求出最短距離.【答案】（1）（2），【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）方法一：設(shè)與直線l：平行的直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判