2024年北京一零一中學(xué)高三（上）統(tǒng)練四數(shù)學(xué)試題及答案

試卷編號(hào)：11215?北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四班級(jí)：＿＿＿＿＿學(xué)號(hào)：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成績(jī)：＿＿＿＿＿選擇題共101.已知集合M={x|?3<x<1},N={x|?16x<4},則M∪N=(???)(A){x|?16x<1}(B){x|x>?3}(C){x|?3<x<4}(D){x|x<4}2.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是(???)√(A)f(x)=sinx(B)f(x)=cosx(C)f(x)=x(D)f(x)=x33.已知a=20.3,b=log0.32,c=0.50.3,則(???)(A)c>a>b(B)c>b>a(C)a>b>c(D)a>c>b4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α以O(shè)x為始邊,點(diǎn)P(?3,4)在角α終邊上,則錯(cuò)誤的是(???)4572515α(A)sinα=(B)cos2α=(C)sinα+cosα=(D)tan=22π5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P(cosθ,sinθ),θ∈[0,],A(1,1),則OA·OP的取值范圍2是(???)√√√√(D)[2,2](A)[1,2](B)[0,2](C)[?2,2]6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,a=1,lga+lga=lg2n,n∈N?,則nn1nn+1S9=(???)(A)511(B)61(C)41(D)97.已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量,那么“a∥b”是“存在λ,0,使得|a+λb|=|a|+|λb|”的(???)(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件128.假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力f滿足公式f=CSv2,其中ρ是空氣密度,S是該飛行器的迎風(fēng)面積,v是該飛行器相對(duì)于空氣的速度,C是空氣阻力系數(shù)(其大小取決于多種其他因素),反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P=fv.北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第1頁(yè)（共8頁(yè)）當(dāng)ρ,S不變,v比原來(lái)提高10%時(shí),下列說(shuō)法正確的是(???)(A)若C不變,則P比原來(lái)提高不超過(guò)30%(B)若C不變,則P比原來(lái)提高超過(guò)40%(C)為使P不變,則C比原來(lái)降低不超過(guò)30%(D)為使P不變,則C比原來(lái)降低超過(guò)40%1a1b1c9.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件a>b>c且a+b+c=0,abc>0,則++的值(???)(A)一定是正數(shù)(B)一定是負(fù)數(shù)(C)可能是0(D)正負(fù)不確定xx1x61||?,,10.已知函數(shù)f(x)=g(x)=xlnx,若關(guān)于x的方程(f(x)?2)(g(x)?m)=01>,logx+,1x2恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(???)11e(A)(?,0)(B)(?,1)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)e填空題共511.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,|z?i|=1,則z的虛部為＿＿＿＿＿.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若ππα∈[,],則cosβ的最大值為＿＿＿＿＿.6313.使lga+lgb=lg(a+b)成立的一組a,b的值為a=＿＿＿＿＿,b=＿＿＿＿＿.14.已知在Rt△AOB中,AO=1,=2,如圖,動(dòng)點(diǎn)P是在以O(shè)點(diǎn)為圓心,OB為半徑的扇形內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)且∠=90?;設(shè)OP=xOA+yOB,則x+y的取值范圍是＿＿＿＿＿.15.目前發(fā)射人造天體,多采用多級(jí)火箭作為運(yùn)載工具.其做法是在前一級(jí)火箭燃料燃燒完后,連同其殼體一起拋掉,讓后一級(jí)火箭開(kāi)始工作,使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道.現(xiàn)有材料科技條件下,對(duì)于一個(gè)n級(jí)火箭,在第n級(jí)火箭的燃料耗10naa···a12n盡時(shí),火箭的速度可以近似表示為v=3ln,(9+a)(9+a)···(9+a)12nnmp+mjj=i其中ai=(i=1,2,···,n).nmp+m?mjij=i注:m表示人造天體質(zhì)量,m表示第j(j=1,2,···,n)級(jí)火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.pj北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第2頁(yè)（共8頁(yè)）給出下列三個(gè)結(jié)論:√12①aa···a<1;②當(dāng)n=1時(shí),v<3ln10;③當(dāng)n=2時(shí),若v=12ln2,則aa>6.12n其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是＿＿＿＿＿.解答題共6√16.已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx?cos2x(x∈R).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)的最小正周期、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心;π(3)設(shè)x∈[0,],求f(x)的值域.3北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第3頁(yè)（共8頁(yè)）17.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a}中,S為其前n項(xiàng)和,且a?a=3,S=7.nn313(1)求a和S;nn(2)設(shè)b=log(S+1),記T=b+b+···+b,求T.n2nn12nn北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第4頁(yè)（共8頁(yè)）18.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+2)ln(x+1)?ax,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1.(1)求a的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)求證:xf(x)>0.北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第5頁(yè)（共8頁(yè)）cosCcosA2b?c19.在△ABC中,角A,,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且=.a(1)求角A的大小;√(2)若a=23,b=2,D為邊上的一點(diǎn),∠BAD=CAD,求△ABD的面積.北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第6頁(yè)（共8頁(yè)）aex20.已知函數(shù)f(x)=x+.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;(3)若a>0,當(dāng)x>0時(shí),求證:f(lna?x)>f(lna+x).北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第7頁(yè)（共8頁(yè)）aa1,2···aa1,11,maa···21222m,,,21.已知A=(m>2)是m2個(gè)正整數(shù)組成的m行m列的數(shù)表,當(dāng)m............am,1am,2···am,m16i<s6m,16j<t6m時(shí),記d(a,a)=|a?a|+|a?a|.設(shè)n∈N?,若A滿i,js,ti,js,js,js,tm足如下兩個(gè)性質(zhì):①ai,j∈{1,2,3,···,n}(i=1,2,···,m;j=1,2,···,m);②對(duì)任意k∈{1,2,3,···,n},存在i∈{1,2,···,m},j∈{1,2,···,m},使得a=k,i,j則稱A為Γ數(shù)表.mn12313(1)判斷A=21是否為Γ數(shù)表,并求d(a,a)+d(a,a)的值;331,12,22,23,332(2)若Γ數(shù)表A滿足d(a,ai+1,j+1)=1(i=1,2,3;j=1,2,3),求A4中各數(shù)之和的最小值;24i,j(3)證明:對(duì)任意Γ數(shù)表A,存在16i<s610,16j<t610,使得d(a,a)=0.410i,js,t北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四?第8頁(yè)（共8頁(yè)）北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案1.(2024高考北京1)C2.(2024朝陽(yáng)二模2)D3.(2024通州高一上期末5)D因?yàn)閍=20.3>20=1,所以a>1;b=log0.32<log0.31=0,b<0;0<c=0.50.3<0.50=1,0<c<1.所以a>c>b.4.(2023大興高三上期中6)B445?3344由題意可知:sinα==,cosα==?,tanα==?,故3√√5?3(?3)2+42(?3)2+42725453515A正確;且cos2α=cos2α?sin2α=?,故B錯(cuò)誤;sinα+cosα=+(?)=,故Cα22tan4α2α2α2正確;因?yàn)閠anα==?,整理得2tan2?3tan?2=0,解得tan=2α231?tan2α1π2π4απ或tan=?,且2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,則kπ+<<kπ+,k∈Z,可2222ααα2知k為奇數(shù)時(shí),為第三象限角;k為偶數(shù)時(shí),為第一象限角,綜上所述:tan>0,即22α2tan=2,故D正確.5.(2024西城高一下期末6)A6.(2024順義一模5)B7.(2023海淀二模9)C8.(2024朝陽(yáng)二模8)C9.B因?yàn)閍>b>c且a+b+c=0,abc>0,所以a>0,b<0,c<0,且a=?(b+c),所以√11111111++=?++,因?yàn)閎<0,c<0,所以b+c6?2bc,所以?6√,abcb+cbcb+c2bc√√1b1c1bc11b1c11bc3又+6?2,所以?++6√?2=?√<0,故選B.2bcb+c2bc10.(2024通州一模10)A1211..北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案?第1頁(yè)（共7頁(yè)）1212.(2024高考北京12)?.ππ3由題意β=α+π+2kπ,k∈Z,從而cosβ=cos(α+π+2kπ)=?cosα,因?yàn)棣痢蔥,],6√2√3212312π所以cosα的取值范圍是[4π,],cosβ的取值范圍是[?,?],當(dāng)且僅當(dāng)α=,即31β=+2kπ,k∈Z時(shí),cosβ取得最大值,且最大值為?.3213.2,2(答案不唯一).14.[?2,1].15.(2024豐臺(tái)一模15)②③.①顯然a>1;i()a19+a1②v=3ln10<3ln10;()a1a2100a1a2③v=3ln100=12ln2,解得=16,即7a1a?12(a1+2(9+a)(9+a)(9+a)(9+a)1212√√1a)?108=0;又a,a>0,從而a+a>2aa,令aa=t,則7t2?24t?108>0,解得t>6或t6?21187212122(舍).√√π16.(1)f(x)=23sinxcosx?cos2x=3sin2x?cos2x=2sin(2x?),6πππππ令2kπ?62x?62kπ+,k∈Z,解得kπ?6x6kπ+,k∈Z,32626π6π3所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?,kπ+](k∈Z).2π2(2)f(x)的最小正周期為=π.π6π6πkπ2π12πkππ令2x?令2x?=kπ+,k∈Z得x=+,k∈Z,故f(x)的對(duì)稱軸為x=kπ+,k∈Z.2323kπ2π=kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,故f(x)的對(duì)稱中心為(+,0)(k∈Z).212π3π6π6π212π(3)因?yàn)?6x6,所以?62x?所以?162sin(2x?)62,即?16f(x)62,所以f(x)在[0,]上的值域?yàn)閇?1,2].6,所以?6sin(2x?)61,6π6π317.(2023豐臺(tái)高三上期中17)(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).由已知得aq2?a=3,①11a+aq+aq2=7,②111q2?11+q+q253由①÷②得=(a1,0),即4q2?3q?10=0.7解得q=2或q=?(舍).4代入①或②得a1=1,北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案?第2頁(yè)（共7頁(yè)）所以an=2n?1,1?qnS=a·=2n?1.n11?q(2)由已知得b=log2n=n,n2(1+n)n所以Tn=1+2+···+n=18.(2024平谷一模20).2x+2x+1(1)由題意得f(x)的定義域?yàn)??1,+∞),f′(x)=ln(x+1)+?a,因?yàn)閒′(0)=1.所以f′(x)=ln1+2?a=1,解得a=1.x+2(2)因?yàn)間(x)=f′(x)=ln(x+1)+?1,g(x)的定義域?yàn)??1,+∞),x+111xg′(x)=?=,x+1(x1)2+(x1)2+令g′(x)=0,得x=0,g(x)與g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上的情況如下:x(?1,0)?↘00(0,+∞)g′(x)g(x)+極小值↗所以g(x)在的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);(3)由(2)得,在x=0時(shí),g(x)取得最小值1,所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(?1,+∞)為增函數(shù),又因?yàn)閒(0)=0,當(dāng)?1<x<0時(shí),f(x)<0,所以xf(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,所以xf(x)>0,綜上,xf(x)>0.cosCcosA2b?c19.(1)因?yàn)?,acosCcosA2sinB?sinCsinA所以由正弦定理可得=,即sinAcosC=2cosAsinB?cosAsinC.所以sinAcosC+cosAsinC=2cosAsin.所以sin(A+C)=2cosAsin.因?yàn)閟in(A+C)=sin(π?)=sin,所以sinB=2cosAsin.12因?yàn)锽∈(0,π),所以sinB,0.所以cosA=.π因?yàn)锳∈(0,π),所以A=.3北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案?第3頁(yè)（共7頁(yè)）π(2)因?yàn)椤螧AD=CAD,所以∠BAD=CAD=.6√π3因?yàn)閍=23,b=2,A=,12所以由余弦定理得12=4+c2?2×2·c·,即c2?2c?8=0.所以c=4.因?yàn)閍2+b2=c2,所以△ABC為直角三角形.π所以B=.所以AD=BD=CD.6√√121243312433所以S=×AB×BDsin∠B=×4××=.△ABD√433所以△ABD的面積是.20.(2024昌平二模20)a(1)因?yàn)閒(x)=x+,exa所以f′(x)=1?.ex所以f′(0)=1?a,f(0)=a.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=(1?a)x+a.aexex?a(2)由題知,f′(x)=1?=.ex①當(dāng)a60時(shí),f′(x)>0在區(qū)間[0,1]上恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù).所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)min=a.②當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,即ex?a=0,所以x=lna.(A)當(dāng)lna60,即0<a61時(shí),f′(x)>0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù).所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)min=a.(B)當(dāng)0<lna<1,即1<a<e時(shí),f′(x)與f(x)的情況如下:x(0,lna)lna0(lna,1)f′(x)f(x)?↘+極小值↗所以當(dāng)x=lna時(shí),f(x)min=lna+1.(C)當(dāng)lna>1,即a>e時(shí),f′(x)<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù).北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案?第4頁(yè)（共7頁(yè)）a所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=1+.eaa61,,綜上,f(x)min=lna+1,1<a<e,a1a>e.+,e(3)方法一:設(shè)g(x)=f(lna?x)?f(lna+x)aa1ex=lna?x+?(lna+x+)=?2x+ex?,elna?xelna+x1所以g′(x)=?2+ex+.ex1ex1令h(x)=?2+ex+,則h′(x)=ex?.ex1因?yàn)閤>0,所以ex>1,0<<1.ex所以h′(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(x)>h(0)=0,所以g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增.所以g(x)>g(0)=0.所以g(x)=f(lna?x)?f(lna+x)>0.所以f(lna?x)>f(lna+x).方法二:設(shè)g(x)=f(lna?x)?f(lna+x)aa1ex=lna?x+?(lna+x+)=?2x+ex?,elna?xelna+x1所以g′(x)=?2+ex+.ex1ex1因?yàn)閤>0,所以ex>0,>0,且ex,,ex√1ex1ex所以?2+ex+所以g′(x)>0.>2ex·?2=0.所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).所以g(x)>g(0)=0.min所以g(x)=f(lna?x)?f(lna+x)>0.所以f(lna?x)>f(lna+x).21.(2023朝陽(yáng)高三上期中21)北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練四參考答案?第5頁(yè)（共7頁(yè)）12313(1)A=21是Γ數(shù)表,3332d(a,a)+d(a,a)=2+3=5.1,12,22,23,3(2)由題可知d(ai,j,ai+1,j+1)=|ai,j?ai+1,j|+|ai+1,j?ai+1,j+1|=1(i=1,2,3;j=1,2,3).當(dāng)ai+1,j=1時(shí),有d(ai,j,ai+1,j+1)=(ai,j?1)+(ai+1,j+1?1)=1,所以ai,j+ai+1,j+1=3.當(dāng)ai+1,j=2時(shí),有d(ai,j,ai+1,j+1)=(2?ai,j)+(2?ai+1,j+1)=1,所以a+a=3.i,ji+1,j+1所以ai,j+ai+1,j+1=