2024年北京昌平區(qū)初三二模數學試卷和答案解析

2024年昌平區(qū)初中學業(yè)水平考試第二次模擬練習

數學試卷

本試卷共8頁，共100分,考試時長為120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，

在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題（每小題2分，共16分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項

只有一個.

1.2024年2月5日至25日，人民網連續(xù)第23次開展全國兩會調查，調查圍繞10個領域設

其49個候選熱詞.本次調查廣納民情民意，吸引約6150000人次參與，其e6150000用

科學記數法可以表示為（）

A.6.15X105B.6.15x10。C.0.615xl06D.

0.6I5X107

2.卜.列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

3.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由

于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，Z1=45。./2=120°,

4.實數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

,...........b、「

-4-3-2-10I234

A.b=5/7B.av—bC.網<_aD.

a+b>0

5.正多邊形的一個外角是60°,那么這個正多邊形是（）

A.正四邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

6.已知關于x的一元二次方程/一2工+〃?=0有兩個實數根，則〃，的取值范圍是（)

A.m<\B.>1C.w￡1D.ni>1

7.在不透明的袋子里有三個除顏色外其它都相同的小球，兩個紅球，?個黃球，從中隨機

同時取出兩個小球，其中取到一個紅球一個黃球的概率為（）

A—B.-C.!D.I

362

8.如圖，AA為半圓O的直徑，C,0是直徑上兩點，且AC=8O,過點。作A8的

垂線交半圓于點￡，CD=2DE.設AO="，AC=O，DE=c,給出下而三個結論：

①。一〃=2c；②￡：：：—：③a+b=?無c.所有正確結論的序號是（）

ac

A.①@B.砥）C.②（③D.①②

二、填空題（木題共16分，每小題2分）

9.使代數式行工有意義的x的取值范圍是.

10.分解因式：3x2+6xy+3y2=.

32

H.分式方程士=--解是.

xx-1

12.在平面直角坐標系工沖中，若點（I,⑼和（4.2）在反比例函數丁=勺&。0）圖象上，則

機=.

13.如圖.點。為。。外一點，過點。件OO的兩條切線.切點分別為4△.點C為優(yōu)菰

A8上一點，若NP=800,則/AC8=

----------

P

14.2024年3月12日，是我國笫46個植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共司呵護地球家

園，筑造美麗未來”.下表是某地區(qū)在植樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計結果，

請你估計植樹位期間，種植楊樹的成活率大約為（結果保留兩位小數）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

種植數量200200200200200

成活數量194193192196195

成活頻率0.9700.9650.9600.9800.975

15.圖I是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm,其

它數據如圖所示，喝掉一部分后的數據如圖2所示，此時液面寬度為ctn.

ffll圖2

圖I圖2

16.某學校為豐富學生的課余生活，組織校園籃球賽，初三年級6個班進行單循環(huán)比賽（即

每班都與其他班比賽一場），每天同時在三個場地各進行一場比賽.已知笫一天（2）班與（4）

班比賽，第二天（3）班與（5）班比賽，第三天（4）班與（6）班比賽，笫四天（2）班與

（3）班比賽，那么第三天與（3）班比賽的是班，笫五天與（1）班比賽的是

__________班.

三、解答題（本題共68分，第17?22題，每小題5分，第23?26題，每小題6

分，27?28題，每小題7分）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：我+（目-2sin45°+|l-x/2|.

3X-8>A（I）

18.解不等式組：43.?1?

2

19.已知求代數式（1「I〕+21的值.

lx-1）x--\

20.如圖，在四邊形A8CO中，AB//CD，AB=ADt對角線AC,8。交于。，AC平

”分NBAD.

（I）求證，四邊形ARCD是菱形：

（2）過點C作八8的垂線交其延長線于點E,若80=6，lan/Q4"=23,求CE的長.

4

21.如圖，初三年級準備制作一個長8.5m的橫幅，橫幅內容定為16個字，對橫

場的有關數據作如下規(guī)定：每個字的字寬是相同的，每兩個字之間的字距均相等，邊空寬：

字寬：字距=3:4:1,試求橫幅字距是多少？

邊空寬字柜邊空寬

E3b□□…力

22.在平面點角坐標系x。、'中，一次函數y=k+〃U#0）的圖象是由函數）=2丫的圖象平

移得到，且經過點（I,3）.

（I）求這個一次函數的表達式；

（2）當X>1時，對于x的每一個值，函數尸處（〃岸0）的值大于一次函數尸h+〃（R0）

的值，直接寫出，〃的取值范圍.

23.4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級伴隨機抽取10

名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，并對成績進行「收集、整理，分析.下面給出「部分

信息.

。初一、初二年級學生得分的折線圖

得分/分

2----------------------------------------------------

01AAAAAA1AAi.

012345678910學生6號

〃.初三年級學生得分：

10,9.6,10.8,7,10,7,3,10

c初一、初二、初三，三個年級學生得分的平均數和中位數如下

初初初

年級

平均

88m

數

中位

88.5n

數

根據以上信息，回答下列問題:

（I）由折線圖可知，初一、初二兩個年級學生“航天知識”競賽，成績更稔定的是

（填“初一”或“初二”）:

（2）統(tǒng)計表中加=,"=:

（3）由于數據統(tǒng)計出現失誤，初三年級所調查的10名學生中TT?名學生被記錄為6分，實

際得分為9分，將數據修正后，初三年級所調杳的10名學生中以下統(tǒng)計數據發(fā)生變化的：

（寫出符合題意的序號）.

①平均數：②中位數：③眾數：④方差.

24.如圖，A3是0O的直徑，點C在OO上，若花C。平分/4C6,交A8于點E,過

點C作C。的切線。尸，交八3的延長線于點3

D

(I)求證：/ECF=NFEC：

（2）連接80,若NCZ）8=30。，BF=2,求半徑的長.

25.通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干，但由「?不可能擰凈衣服上的全部污水，所以

還需要用清水進行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量.如：把一件存留1斤污水的衣服

用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留I斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的2.

某小組決定使用20斤清水，對某件存留1斤污水衣服分別進行漂洗，且每次擰干后的衣服

上都存留約1斤的污水.

（I）該小組設計了如下兩個方案，請你完善方案內容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的:

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的；

若在第一次用x（0<x<20）斤清水，第二次用（20-%）斤清水，漂洗后該衣服中存有的污

物是原來的（用含有工的代數式表示）：

通過計算分析，方案（“一”或“二”）的漂洗效果更好.

（2）若采用方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后該衣服中存

有的污物是原來的.

26.在平面直角坐標系xQy中，收伍/力是幗物線丁=公^+6+^?！怠＃┥?/p>

任意兩點，其中王〈天.

（I）若拋物線經過點（4.c）,

①求拋物線的對稱軸；

②當$+9>4時，比較兇,外大小，并說明理由：

（2）設拋物線的對稱軸為直線4=1,若存在實數而當，上切時，M-"2,"2一”"1，

都有卜一對之2,直接寫出。的取值瓶圍.

27.如圖，在55C中，ZB=NC=a，點。是平面內任意一點（不與點A，li,C重合），

將線段AO繞點A逆時針旋轉2a得到線段AE，連接BE，G為BE的中點，連接AG,CD.

A

B

圖I

(l)如圖1.當點。AC邊上時

①根據題意，補全圖1：

CD

②直接寫出：石=——：

(2)如圖2,當點力在/8C內部時，(I)問中工的比值還成立嗎？如果成立，請證明

AG

你的結論，如果不成立，請說明理由.

28.對于平面平角坐標系xOy中的點尸和圖形時,給出如下定義:將圖形財繞尸順時針旋

轉90°得到圖形M當圖形M與圖形N有公共點時，我們稱點P是圖形M的“關聯點”.已

知A(0,2),5(3,1).

(1)如圖1,點P是線段46的“關聯點”，在點4(1.0),)(0,1),4(2,3)中，則滿

足條件的點是:

(2)若直線)，=T+力上存在點P,使點。為線段八8的“關聯點”，直接寫出〃的取值范

圍：

(3)以億0)為圓心，1為半徑的e7，若線段上存在點P，使點P為e7的“關聯點”，

直接寫出/的取值范圍.

2024年昌平區(qū)初中學業(yè)水平考試第二次模擬練習

數學試卷

本試卷共8頁，共100分，考試時長為120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，

在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題（每小題2分，共16分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項

只有一個.

1.2024年2月5日至25日，人民網連續(xù)第23次開展全國兩會調查，調查圍繞10個領域設

置49個候選熱詞.本次調查廣納民情民意，吸引約6150000人次參與，其76150000用

科學記數法可以表示為（）

A.6.15x10'B.6.15X1D6c.0.615X106D.

0.615X107

【答案】B

【解析】

【分析】木潁豐要考杏科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為〃xIO"的形式，

其中〃為整數.確定〃的管時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃

的絕對值與小數點移動的位數相同.

【詳解】解:6150000=6.15x1（/,,

故選：B.

2.下列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題號杳了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖

形的定義是解答本題的關鍵.根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項分析即可.

【詳解】解：A.該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意;

B.該圖不是釉對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意：

C.該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故不符合題意;

D.該圖是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故符合題意；

故選D.

3.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由

于折射率相同，所以在水中平行的光線,在空氣中也是平行的.如圖，Zl=45°,Z2=120°.

C.105°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根據平行線的性質，兩直線平行，同位角相等或同旁內角互補，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，AB//CD,光線在空氣中也平行,

.??/1=4Z2+Z4=180°.

ZI=45°,Z2=120°.

Z3=45°.Z4=180o-120o=60°.

N3+N4=45°+60°=105°.

故選：C.

【點晴】本題考查了平行線的性質的應川，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質.

4.實數ab在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

,,9..............勺，r

—4—3—2—I0I234

A.b=41B.a<-bC.\t\<-aD.

a+b>0

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是實數與數軸和弟術平方根.由數軸可知，-3<。<一2,〃>3,由此

逐一判斷各選項即可.

【詳解】解：由數軸可知，-3<“<一2,b>3,

A、?,、斤<，5=3，二〃>"，故木選項不符合題意：

B、?.?一3<a<—2，Z>>3.:.-b<-3,:.a>-b,故本選項不符合題意：

C.V-3<?<-2,b>3,:.2<-a<3,\b\>3,：\b\>-a,故本選項不符合題意：

D.?,-3<a<-2,/?>3,/.?+/?>0.故本選項符合題意；

故選：D.

5.正多邊形的一個外角是60°,那么這個正多邊形是()

A.正四邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊

形

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了正多邊形的外角，根據多邊形的外角和為3600進行求解即可.

【詳解】解：???正多邊形的一個外角是60。，

360°

這個正多邊形的邊數為〃一=6,

60。

...這個正多邊形為正六邊形.

故選：B.

6.已知關于X的一元二次方程十，〃-0有兩個實數根，則，”的取值范圍是()

A.m<\B.">1C.m￡ID.1

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了根的判別式.根提判別式的意義得到△=(-2)2-4xlxmN0,然后解

關于〃，的不等式即可.

【詳解】解：根據題意，得：A=（-2）--4xlxmN0,

解得切￡1,

故選：C.

7.在不透明的袋子里有三個除顏色外其它都相同的小球，兩個紅球，一個黃球，從中隨機

同時取出兩個小球，其中取到一個紅球一個黃球的概率為（）

【答案】A

【解析】

【分析】本胭考查了列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率，掌握列表法或皿樹狀圖求概率

是解題的關犍.

根據題意，運用列表或畫樹狀圖把所有等可能結果表示出來，再根據概率的計算方法即可求

解.

【詳解】解：列表把所有?等可能結果表示出來，兩個紅球分別表示為紅1,紅2,

紅1紅2黃

紅1—紅1,紅2紅1,黃

紅2紅2,紅1—紅2,黃

黃黃，紅1黃,紅2—

共有6種等可能結果，其中一個紅球一個黃球的結果有4種，

...取到一個紅球一個黃球的概率為3=],

63

故選：A.

8.如圖，A8為半圓0的直徑，C,是直徑A8上兩點，且AC=8O,過點。作AB的

垂線交半圓于點E,8=2QE.設=AC=h，DE=c,給出下面三個結論：

①a—/?=2c：②￡=2：③a+b=2叵o所有正確結論的序號是（）

E

ACODB

A.夠)B.①③C.②(§)D.①②(§)

【答案】D

t解析】

【分析】本題考查r直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質，完全平方公式的

變形.熟練掌握直徑所對的圓周角為百.角，相似三角形的判定與性質，完全平方公式的變形

是解題的關犍.

由題意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-b^山CD=2DE,可得a—〃=2c,

可判斷①止誤；如圖，連接BE,則NAEB=90。，證明AB￡7A\?EW，則

，即￡=2,可判斷②的正設：由(a+%)~=(“一力)~+4a〃=(2c)-+4c2=&，，

可得〃+匕=26、，可判斷③的正誤?

【詳解】解：由題意知，BD=AC=b,CD=AD-AC=a-b，

,:CD=2DE,

：.a-h=2c,①正確，故符合要求；

如圖，連接4EBE,

???AA為半圓O的直徑，

:.ZAZTfi=90°,

,/Z4ED+NBED=90°=ZAED+/EAD.

:?NBED=NEAD，

又???/BDE=90°=NEDA.

LBED^EAD，

即￡=2.②正確,故符合要求：

ADDEac

ah=c2，

(a+〃)"=(a-b\+4?Z?=(2c)2+4c2=&，，

，a+b=2夜c，③正確，故不符合要求：

故選：D.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9,使代數式J73T有意義的x的取信蒞圍是,

【答案】x>l

【解析】

【分析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，要使J7=I在實數范圍內布r意義，

必須x-120,從而可得答案.

【詳解】解：代數式五二？有意義，

\A--1?0,

:.x>1,

故答案為：x>\

10.分解因式：3x?+6xy+3y2=.

【答案】3(x+y)2.

【解析】

【分析】先利用提取公因式法提取數字3,再利用完全平方公式繼續(xù)進行分解.

22

【詳解】3.P+6xy+31y2=3(.F+Zvy+y)=3(x+y).

故答案為3(x+y)2.

【點臍】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公區(qū)式首先提取公

因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

32

H.分式方程士二—；的解是.

xx-1

【答案】A=3

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，正確熟知解分式方程的步驟是解題的關鍵.

解分式方程，先去分母，將其轉化為整式方程，再求解，最后耍槍驗是否有培根.

【詳解】解：去分母得：3（X-1）=2A,

解得：x=3.

當x=3時，x-1^0.

所以原方程的解為x=3.

故答案為：％=3.

12.在平面宜角坐標系屹\，中，若點（1,，〃）和（4,2）在反比例函數），=：代工0）圖象匕則

w=.

【答案】8

【解析】

【分析】本題考行反比例函數圖象上的點的坐標特征.根據比例函數y=A小/0）中的系

X

數女=外得到關于機的方.程，求解即可得到答案.

【詳解】解：點（1,小）和（4⑵在反比例函數、，=與伙工0）圖象上，

x

.4=4x2=，”，

解得機=8,

故答案為：8.

13.如圖，點尸為CO外一點，過點P作。。的兩條切線，切點分別為A，凡點C為優(yōu)孤

48上一點，若/尸=80°,則NACB=

【答案】50

【解析】

【分析】木題考查切線的性質，圓周角定理.連接OA，0B,由切線的性質定理得到

ZPAO=ZPBO=9（r,求出NA08=360°-90°—90°—80°=100。，由畫周角定理得到

ZACB=-ZAOB=50Q.

2

【詳解】解：連接04,0B.

?.叢，P8分別切圓于A、B,

.?半徑O4_LQ4,半徑OA_LP8,

二NPAO=NPBO=9QP,

QZP=80°.

.-.Z4O?=360^-90^-90°-80°=100°

：.ZACB=-ZAOB=50°.

2

故答案為：50.

14.2024年3月】2日，是我國的第46個植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共司呵護地球家

園，筑造美麗未來”.下表是某地區(qū)在楓樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計結果，

請你估計植樹節(jié)期間，種植楊樹的成活率大約為（結果保留兩位小數）.

第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次

種植數量200200200200200

成活數量194193192196195

成活頻率0.9700.9650.9600.9800.975

【答案】0.97

【解析】

【分析】本題考查了頻率.熟練拿握領率的定義是解題的關鍵.

194+193+192+196+195

根4據ri---------——------------計算求解即可.

5x200

【詳解】解：由題意知.種植楊樹的成活率大約為------=——=----------=0.97.

5x200

故答案為：0.97.

15.圖I是裝滿紅泗的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm,其

它數據如圖所示，喝掉一部分后的數據如圖2所示，此時液面寬度為cm.

圖I圖2

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的應用.過點。作OM_LCZ).垂足為M,過點0'作

C/N1AB.垂足為N.根據AB〃C￡).得出再根據相似三角形的性

質解答即可.

【詳解】解：如圖，過點。作OM_LCO,垂足為例，過點。'作OW_L43,垂足為N，

ICDO^-ABO'，

.CDOM

~AB=m/'

?rOM=15-7=8(c/n),OW=1l-7=4(an),

68

~AB4

解得：AB=3,

故答案為：3.

16.某學校為豐富學生的課余牛.活，組織校園籃球賽，初三年級6個班進行單循環(huán)比賽（即

每班都與其他班比賽一場），每天同時在三個場地各進行一場比賽.己知第一大（2）班與（4）

班比賽，第二天（3）班與（5）班比賽，第三天（4）班與（6）班比賽，第四天（2）班與

（3）班比賽，那么第三天與（3）班比賽的是班，第五天與（1）班比賽的是

__________班.

【答案】①.（I）②.⑵

【解析】

【分析】本題考查邏輯推理能力.木趣對學生的邏輯推理能力要求較高.根抄每隊都與其他

隊比賽一場，和已經進行的比賽，進行推斷即可.

【詳解】解：（3）班己知的比賽：第二天（3）班與（5）班比賽，第四天（2）班與（3）班

比賽，而第三天已知進行的是（4）班與（6）班比賽，故第三天只有（1）班與（3）班比賽，

（4）班與（2）班比賽在第一天，（4）班與（6）班比賽在第三天，第二天已知（3）班與（5）

班比賽，故第二天（4）班與（1）班匕賽，（2）班與＜6）班比賽，同理可得：第四天（1）

班與（6）班比賽，（4）班與（5）班匕賽，第一天（3）班與（6）班比賽，（1）班與（5）

班比賽，故最后一天為（I）班與（2）班比賽，（3）班與（4）班比賽，（5）班與（6）班比

賽，如表1

第一第二第三第四第五

天天天天天

場

2-43-54-62-31-2

地1

場

3-61-41-31-63-4

地2

場

1-52-62-54-55-6

地3

同一天場地上的比賽可交換進行.

故答案為：（1）.（2）.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23?26題，每小題6

分，27-28題，每小題7分）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.計算：人+(；)-2sin45°+|l-V2|-

【答案】2日1

【解析】

【分析】本題考查了二次根式、絕對值、負指數軾、特殊角的三角函數值的運算，熟悉運算

法則是解題的關鍵.根據二次根式、絕對值、負指數林、特殊角的三角函數值的運算，化簡

計算即可.

【詳解】解：原式=2&+2-2x[+&-l

=2V2+2-V2+>/2-l

=272+1.

3X-8>XD

18.解不等式組：《3x7?

2

【答案】工之4

【解析】

【分析】本題考查解一元一次不等式組.先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解

集.

3.r-8>jv?

【詳解】解：｛3x-lc?

------>A<2)

2

解不等式①得，XN4：

解不等式②得，X>1,

所以這個不等式的解集為XN4.

19.已知Y+x-ZuO,求代數式K+的值.

31)x--l

【答案】I

【解析】

【分析】本題考查的是分數的混合運算.

將（一、+||+，7化簡為2士.再整體代入.求值.

）%--12

【詳解】解：原式=上2二1+--=’.3竺二12=立e

x-\x2-lx-\22

TA-2+X-2=0.

二Y+x=2，

..原式=1.

20.如圖，在四邊形A3CZ）中，AB//CD，AB=AD，對角線4C,BD交于O,AC平

分NBAD.

（I）求證：四邊形A8CZ）是菱形：

3

（2）過點。作的垂線交其延長線于點E，若30=6，tan/Q48=-.求CE的長.

4

【答案】（I）見解析（2）CE=y

【解析】

【分析】此題主要考查了菱形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握菱

形的判定與性質是解題的關鍵.

（1）先證NC48=NQG4,再證NDAC=NDC4,得C￡）=AO=A8,然后證四邊形

A8CO是平行四邊形，即可得出結論；

（2）根據菱形的性質結合三角函數得出40=4,AC=8,求出A8,在Ric從CE中，

解直用二用形，即可得出結論.

【小問1詳解】

證明：???AC平分N84O，

/.N"C=/8AC，

?-AB//CD,

ZDC4=ZB4C.

：.ZI1\C=ZDCA,

AD—CD-

AB=AD<

：.AB=CD,

?.AB//CD,

，四邊形人BCD是平行四邊形，

AB=AD>

，四邊形ABCD是菱形：

【小問2詳解】

解，四邊形4Am是菱形.

/.AC±BD,OB=OD=—BD=3.AO=OC=—AC,

22

中,-啜］

AO=49AC=8?

--------3

二88=5/32+42=5，sinZ04B=",

過點。作48的垂線交其延長線于點E,

:.ZCEA=90°.

CE3

?.RtZ\ACE中，s\nZOAB=--=-,

AC5

21.如圖，初三年級準備制作?個長8.5m的橫幅，橫帽內容定為16個字，對橫

幅的有關數據作如下規(guī)定：每個字的字寬是相同的，每兩個字之間的字距均相等，邊空寬:

字窕：字距=3:4:1,試求橫幅字距是多少？

邊空寬字距邊空寬

【答案】0.1m

【解析】

【分析】此題考查了一元一次方程的應用，根據空寬：字寬：字距=3:4:1設邊空寬為3.vm，

字寬為4.vm，字距為.再根據長8.5m的橫幅列方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解:因為邊空寬:字寬：字距=3:4:1,

所以設邊空寬為3xm,字寬為字距為師.

由題意可得：2x3x+16x4x+l5x=8.5,

解得x=O.L

答：橫幅字距為0.1m.

22.在平面宜角坐標系xO-v中，一次謔數y=k+〃的圖象是由函數>=2t的圖象平

移得到，且經過點（1,3）.

（I）求這個?次函數的表達式；

（2）當h>1時，對于x的每一個值,函數y=mx（/nR0）的值大于一次函數尸fcr+baXO）

的值，直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】（I）尸2x+l：（2）m>3

【解析】

【分析】（1）據一次函數平移時A不變可知42,再把點（1,3）代入求出力的值，進而可

得出結論.

（2）根據點（1,3）結合圖象即可求得.

【詳解】解：（I）???一次函數產（厚0）的圖象由函數尸2丫的圖象平移得到，

：.k=2.

???一次函數產2A■+人的圖象過點（1,3）,

，.3=2x|+b.

b=1.

.??這個一次函數的表達式為y=2r+l.

（2）把點（1,3）代入盧znx,求得〃尸3,

?.?當x>l時，對于x的每一個值，函數產的值大于一次函數產2計1的值，

>n>3.

【點睛】本題考查的是?次函數的圖象與幾何變換及一次函數和不等式的關系，熟知?次函

數平移的性質是解答此題的關鍵.

23.4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級各隨機抽取10

名學生，統(tǒng)計這部分學生的競賽成績，并對成績進行了收集、整理，分析.下面給出了部分

信息.

a初?、初二年級學生得分的折線圖

初三年級學生得分:

（1）由折線圖可知，初一、初二兩個年級學生“航天知識”競賽，成績更穩(wěn)定的是

（填“初一”或“初二”）：

（2）統(tǒng)計表中機=,n=:

（3）由于數據統(tǒng)計出現失誤，初三年級所調查的10名學生中有一名學生被記錄為6分，實

際得分為9分，將數據修正后，初三年級所調查的10名學生中以下統(tǒng)計數據發(fā)生變化的：

（寫出符合題意的序號）.

①平均數：②中位數；③眾數：④方差.

【答案】（I）初一（2）〃?=8,，?=8.5

（3）①（g）（3）

【解析】

【分析】本題考查折線統(tǒng)計圖，平均數、中位數、眾數和方差，理解相關統(tǒng)計量意義和計

算方法是正確解答的前提.

(I)根據方差的意義解答即可：

(2)根據算術平均數的意義可得，〃的值：根據中位數的定義可得”的值：

(3)分別根據平均數、中位數、眾數和方差的定義和計算方法判斷即可.

【小問I詳解】

解：由折線圖可知，初一學生得分的波動比初二的小，所以成績更稔定的是初一.

故答案為，初一：

【小問2詳解】

解：由題意得，，〃=%x(IOx4+9+6+8+7x2+3)=8,

把初三年級學生得分從小到大排列，排在中間的兩個數分別是8、9,

故中位數〃=2芫=8.5,

故答案為：8,8.5：

【小問3詳解】

解：將其中的數據6改為9,則數據變?yōu)椋?0,9,9.10.8,7.10,7,3,10

數據變化，

???平均數、方差改變，

?,中位數為：-=9*8.5,

2

???中位數改變，

眾數依然是10,

???眾數不變.

故答案為：①②④.

24.如圖，A8是。O的直徑，點C在上，若弦C。平分/ACB,交A8于點￡過

點C作CO的切線Cb，交AA的延長線于點凡

AIEIB

D

(I)求證：NECF=NFEC：

(2)連接80,若NC7用=30。，BF=2,求。0半徑的長.

【答案】(1)見解析(2)2

【解析】

【分析】此題考查了切線的性質、圓后角定理、解直角三角形等知識，熟練掌握切線的性質

和銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

(I)連接OZ),OC.證明NODE=NOCE,/OED=NFCE,又由NOED=NFEC.

即可得到/尸CE=NF￡C：

(2)證明△ORC為等邊二角形.則/HOC=NOCE=NABC=60°.在RfZSCO"中.

得到0?/(70尸=生=~!■設OC=OH=R，則?！?r+2,則‘一=」，解方程即可

OF2r+22

得到答案.

【小問I詳解】

證明：連接ODOC.

?.CO平分/4CE

:.ZACD=/BCD

；?AD=BD

?.AB是直徑，AD=BD

:.ZAOD=^BOD=90°

??在中，ZODE+ZOED=90°

?.C”是。O切線

NOCF=ZOCE+NFCE=90°

\OD=OC

ZODE=ZOCE

:.ZOED=ZFCE

二ZFCE=ZFEC

【小問2詳解】

解：連接30，

?.AB直徑，

ZAC5=90°,

BC=BC

：.NCQB=NC4B=30°

/.ZABC=60°

?：OB=OC，

.??aOBC為等邊三魚形,

NBOC=ZOCI3=ZABC=60°

OC1

?.?RtZ\CO"中，cosZC0F=——=—

OF2

設OC=OB=r,則。尸=/+2

r_1

r+22

.”=2，

經檢驗，〃=2是分式方程的解且符合題意，

即。半徑的長為2.

25.通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進行擰干，但由于不可能擰冷衣服上的全部污水，所以

還需要用清水進行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含玨.如：把一件存留I斤污水的衣服

用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的土.

某小組決定使用20斤清水，對某件存留1斤污水衣服分別進行漂洗，且每次擰干后的衣服

上都存留約1斤的污水.

（1）該小組設計了如下兩個方案，請你完善方案內容：

方案一：采用一次漂洗的方式.

將20斤清水一次用掉，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的:

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第?次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存存的污物是原來的:

若在第一次用x（0<x<20）斤清水，第二次用（20—x）斤清水，漂洗后該衣服中存存的污

物是原來的（用含有工的代數式表示）：

通過計算分析，方案__________<"一"或"二”）的漂洗效果更好.

（2）若米川方案二，第一次用斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后該衣服中存

有的污物是原來的

1

【答案】（1）—

21；105r-20x-21

(2)10；——

121

【解析】

【分析】本題考查分式的計算及應用，理解題意，列出算式，并準確計算是解題的關鍵.

（I）數據計算：分別計算出兩種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來的污物關系即可解答:

實驗結論：比較數據計兌得出的數據，即可作出判斷：

（2）先利用二次函數求出最值，確定出漂洗后衣服中存有的污物與原來污物間的最小值即

可解決問題.

【小問1詳解】

解：方案一：采用一次漂洗的方式.

將2。斤清水?次用掉，漂洗后該衣服中存rr的污物是原來的一「=一；

20+121

方案二：采用兩次漂洗的方式.

若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物是原來的

[=

14+1X6+T-105'

若在笫一次用M0<.M<20）斤清水，第二次用（20-此斤清水，漂洗后該衣服中存有的污物

是原來的,20-.V+I=（x+1）（21-X）="X2-20.V-2I

；二+'方案二效果更好:

故答案為：!

，T05'~x2-20x-2l'

【小問2詳解】

解：x(20-x)=-(x2-20A)=-(x-IO)2+I(X),

當x=10時布.最大值，分母越大，分數值最小，漂洗效果最好,

第一次用10斤清水,漂洗效果最好,

二次漂洗后該衣服中存有污物是原來的y—Xk-=一「

10+110+1121

故答案為：二,——.

121

26.在平面直角坐標系X。,中，A7（N，yJ,2（七,y2）是拋物線），=依2+協+?">0）上

任意兩點，其中王<占.

（I）若拋物線經過點（4c）,

①求拋物線的對稱軸：

②當x,+x,>4時.比較y,,心的人小，并說明理由：

（2）設拋物線的對稱軸為直線x=，，若存在實數〃?，當〃時，x,=nt,+

都有瓜一凡|之2,直接寫出。的取值范圍.

【答案】⑴①x=2：②乂<%，理由見解析

（2）a>2

【解析】

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，運用數形結合與分類討論思想解題適解題的關鍵.

（I）①利用拋物線經過點（4,。）和點（0,c）,函數值相等的兩點連線的垂直平分線即為對稱

軸，即可得解：

②分當天22時和當外>2>為時兩種情況討論，證明點”（N，y）比點離

對稱軸更近即可得解；

⑵利用t<m<rn+\,開口向上得出y\<y2,從而得到b［一刃=2am+a+b,結合“存

在實數機.當Y”?時.都有舊一刃>2"得到|凹一），2110ta.根據當/=一得=，”時.

ly-gl有最小值，得出|凹一%Ln=2〃[一/）+?+8=〃22,從而得解.

【小問I詳解】

解：①；拋物線經過點（4,c）和點（0"）,

，拋物線的對稱軸是：直線X=Y=2,

②y<>2，理由如下：

V?>0.

.??離對稱軸越近，函數值越小，

*/Xy<X2,8+”2>4,

2%>外+占>4,

X2>2,

當天>為22時，x,-2>X）-2,

即點M（玉,凹）比點Ng/）離對稱軸更近，

???y<乃，

當為>2>用時，

Vx}+x2>4

；?x?-2>2-X]9

即點A?M，y）比點"（應，刈）離對稱軸更近，

???y<丹，

綜上所述：y<y2.

【小問2詳解】

\*t<m<m+1B|J/<%)<x2,開門向上,

???y<必，

小一)』二%-x

=(or；+bx2+c)-(avf+如+c)

=a(〃?+l)~+/>(〃?+l)+c-(a〃?2+歷〃+c)

=a(〃?+l)~-am2+b(ni+l)-bm+c-c

=a(2〃?+l)+〃

=2am+?+/).

2a>0，

???|X-%|隨著，”的增大而增大，

要使得存在實數小，當T，〃時，都有回一為|22,

只需保證之2,

即當f=一~時，|y-義|.=2a\--\+a-￥b=a>2,

2aI2a)

???”的取值范困是〃22.

27.如圖，在95C中，/8=NC=a，點。是平面內任意一點(不與點A，3,C重合)，

將線段八。繞點A逆時針旋轉2a得到線段AE,連接BE，G為的的中點，連接AG，CD.

圖1圖2

(I)如圖1.當點。在AC邊上時，

①根據題意，補全圖1：

CD

②宜接寫出：--=；

AG

CD

(2)如圖2,當點D在.ABC內部時，(1)問中——的比值還成立嗎？如果成立，請證明

AG

你的結論，如果不成立，請說明理由.

【答案】（1）①補圖見解析；

②?=2

AG

（2）仍成立,證明見解析

【解析】

【分析】（1）①根據N4的外角為2a,得到點E在直線上，以A為國心，4。長為

半徑畫弧，交BA的延長線于點E，作比;的垂直平分線，與片￡交于點G，即可作出圖形：

②設A3=AC=x，AD=AE=y,再表示出CD、AG即可解題：

（2）延長胡，取48=/V7,連接EH，證明AA￡“0CAQC（SAS）,得到石”=C/），

再根據中位線定理得到切=24G，最后利用等量代換即可解題.

【小問1詳解】

解：①根據題意補全圖形如下：

②設八3=AC=x,AD=AE=y,

BE=x+y,CD=x-y,

G￡=—(x+y),

AG=GE-AE=g(x+=g(x-y),

?,0=2：

AG

【小問2詳解】

解：成立，

延長K4,取=連接￡〃，

了

?.ZHAC=ZABC+ZACB=2a./DAE=2a，

ZDAC=ZHAE,

vAH=AB=AC，AE=AD>

."E"，/IDC(SAS),

；.EH=CD,

點A為8”的中點，點G為BE的口點，

:.AG//EH,EH=2AG,

:.CD=2AG,

.02.

AG

【點睛】本題主要考查了三角形綜合題，熟練掌握旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、

三角形外