2024-2025學年北京市西城區(qū)高二上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學年北京市西城區(qū)高二上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測試題本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.直線的傾斜角是，則斜率是（）A. B. C. D.2.已知點P在橢圓上，點，，則（）A.2 B. C. D.3.已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A.－2 B.－1 C.1 D.24.以點為圓心，且與x軸相切的圓的標準方程為（）A. B.C. D.5.已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點到的距離均為 D.是兩條平行直線6.如圖，三棱錐中，平面，，且ΔABC為邊長等于2的正三角形，則與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.7.點M是直線上的動點，O是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（）．A.和 B.和C.和 D.和8.“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件9.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點P到平面QGC的距離是（）A. B. C. D.110.如圖，已知正方體的棱長為1，點M為棱AB的中點，點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動．以下四個結論中錯誤的是（）A.存點P滿足B.存在點P滿足C.滿足的點P的軌跡長度為D.滿足的點P的軌跡長度為第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.橢圓的離心率是_________．12.已知直線：，：．若，則實數(shù)m的值為______．13.在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．14.已知點P是圓上動點，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），（1）的最大值為______；（2）若當點P在圓上運動時，為定值，則m取值范圍是______．15.伯努利雙紐線（簡稱雙紐線）是瑞士數(shù)學家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個定點距離之積為定值的點的軌跡是雙紐線．在平面直角坐標系xOy中，到定點，的距離之積為的點的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號∞，若點是軌跡C上一點，給出下列四個結論：①曲線C關于原點中心對稱；②恒成立；③曲線C上任一點到原點的距離不超過；④當時，取得最大值或最小值．其中所有正確結論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明、驗算步驟或證明過程．16.已知直線l：，．（1）當直線l與直線垂直時，求的值；（2）設直線l恒過定點P，求P的坐標；（3）若對任意的實數(shù)，直線l與圓總有公共點，直接寫出r的取值范圍．17.已知經(jīng)過點，，并且圓心C在直線上，（1）求的方程；（2）設過點的直線l與交于M，N兩點，若，求l的方程．18.已知橢圓C：的左、右焦點分別為和，長軸長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設P為橢圓C上一點，．若存在實數(shù)使得，求的取值范圍．19.如圖，在三棱臺中，若平面，為中點，為棱上一動點（不包含端點）.（1）若為的中點，求證：平面.（2）是否存在點，使得平面與平面所成角余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由.20.平面直角坐標系xOy中，點M到點的距離比它到x軸的距離多1，記點M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）設斜率為k的直線l過定點，若直線l與軌跡C恰好有一個公共點，求實數(shù)k的取值范圍．21.用一個矩形鐵皮制作成一個直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個圓柱體（如圖2），再用一個與圓柱底面所成的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形彎管．現(xiàn)使用長為，寬為的矩形鐵皮制作一個直角圓形彎管，當?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時（不計拼接損耗部分），解答下列問題．（1）求該直角圓形彎管的體積；（2）已知在制造直角圓形彎管時截得的截口是一個橢圓，求該橢圓的離心率；（3）如圖3，若將圓柱被截開的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如圖4），證明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)的最小正周期與振幅．2024-2025學年北京市西城區(qū)高二上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測試題本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.直線的傾斜角是，則斜率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由直線的傾斜角與斜率的關系即得.【詳解】∵直線的傾斜角是，∴直線的斜率為.故選：C.2.已知點P在橢圓上，點，，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意由橢圓標準方程以及橢圓定義即可得出結果.【詳解】由橢圓方程為可知，則，即為橢圓的左、右焦點，由橢圓定義可得.故選：C3.已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)圓關于直線對稱即圓心在直線上得到答案.【詳解】將化成標準方程為，圓心為，半徑為，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，即，解得.故選：D.4.以點為圓心，且與x軸相切的圓的標準方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】以點為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1．故圓的標準方程是．故選:A．5.已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點到的距離均為 D.是兩條平行直線【正確答案】C【分析】設，由可得點坐標，由在直線上，故可將點代入坐標，即可得軌跡，結合選項即可得出正確答案.【詳解】設，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選：C.6.如圖，三棱錐中，平面，，且ΔABC為邊長等于2的正三角形，則與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先過A點作出高線，利用等體積法先求高線，再計算線面角．【詳解】過點作垂直于平面的直線，垂足為O，利用等體積法求解．，由此解得，與平面所成角為，所以,故選B本題考查了等體積法和線面角的基本求法，綜合性強，在三棱錐中求高線，利用等體積法是一種常見處理手段，計算線面角，先找線面角，要找線面角必找垂線，而求解垂線的基本方法為等體積法或者點到平面的距離公式．7.點M是直線上的動點，O是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（）．A.和 B.和C.和 D.和【正確答案】D【分析】過點作垂直于直線，根據(jù)圓的性質(zhì)可得以為直徑的圓過定點和，得解.【詳解】如圖，過點作垂直于直線，垂足為，則以為直徑的圓過定點和，易知直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和.故選：D8.“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的離心率為求出m，進而求得答案.【詳解】橢圓的離心率為，當時，，得；當時，，得．即“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件．故選：A.9.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點P到平面QGC的距離是（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結合向量法求解點到面的距離，即可得到結果.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設平面的一個法向量為，則，取，得，所以點P到平面QGC的距離是.故選：B10.如圖，已知正方體的棱長為1，點M為棱AB的中點，點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動．以下四個結論中錯誤的是（）A.存在點P滿足B.存在點P滿足C.滿足的點P的軌跡長度為D.滿足的點P的軌跡長度為【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量解決此題，對于A，利用兩個特殊點求出的值，判斷在此范圍內(nèi)即可；對于B，利用向量垂直數(shù)量積等于零解方程即可求點坐標；對于C，D利用向量垂直數(shù)量積等于零可求點的軌跡方程，根據(jù)圖形找到點的軌跡求長度即可．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系，則,0,，,0,，，,1,，動點設為,1,，對于A，點關于平面的對稱點為，當動點在點時，此時，當動點在點時，此時，所以存在點滿足，所以A正確；對于B，，，若，則，化簡得：，解得，即，滿足題意，所以B正確；對于C，，，若，則，即，取中點，中點，則點的軌跡為線段，長度為，所以C錯誤；對于D，，，若，則，即，取中點，中點，則點的軌跡為線段，長度為，所以D正確．故選：C．第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.橢圓的離心率是_________．【正確答案】【分析】利用標準方程，求出a，b，然后求解c，即可求解離心率．【詳解】橢圓的長半軸為a＝3，短半軸為b＝2，則半焦距為c．所以橢圓的離心率為：e．故答案為．本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，離心率的求法，是基礎題．12.已知直線：，：．若，則實數(shù)m的值為______．【正確答案】－3【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.【詳解】若，則，解得或，當時，直線：與：重合，不符合題意；當時，直線：與：，符合題意，綜上，故－3.13.在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．【正確答案】【分析】利用異面直線夾角的向量求法建立空間直角坐標系計算可得結果.【詳解】分別取的中點，連接，由正三柱性質(zhì)可知，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：由，可得，所以，又，且；所以.故14.已知點P是圓上的動點，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），（1）的最大值為______；（2）若當點P在圓上運動時，為定值，則m的取值范圍是______．【正確答案】①.3②.【分析】（1）根據(jù)圓上點到直線的距離最大值為圓心到直線的距離加半徑求解即可；（2）根據(jù)為定值，分析得到圓的位置，結合直線與圓的位置關系求解.【詳解】（1）圓，圓心1,0，半徑為，圓心到直線的距離，所以P到直線的距離的最大值為；（2）當時，兩直線重合，不符題意；當時，直線，平行，若當點P在圓上運動時，為定值，所以圓在兩平行線之間，此時直線與圓相離，所以，解得或，又因為當時，直線，在圓同側(cè)，不符合題意，所以，故3，.15.伯努利雙紐線（簡稱雙紐線）是瑞士數(shù)學家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個定點距離之積為定值的點的軌跡是雙紐線．在平面直角坐標系xOy中，到定點，的距離之積為的點的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號∞，若點是軌跡C上一點，給出下列四個結論：①曲線C關于原點中心對稱；②恒成立；③曲線C上任一點到原點的距離不超過；④當時，取得最大值或最小值．其中所有正確結論的序號是______．【正確答案】①②③【分析】根據(jù)曲線的方程，結合對稱性的判定方法，聯(lián)立方程組，以及不等式和三角形面積，逐項判定，即可求解.【詳解】在曲線上任取一點，關于原點的對稱點為，代入曲線的方程，可知在曲線上，所以曲線C關于原點中心對稱，故①正確；因為點軌跡C上一點，所以，因為，所以，即，所以，故②正確；因為，所以，所以，所以曲線C上任一點到原點的距離不超過，故③正確；因為，所以，又，所以，即，所以，當時等號成立，故④錯誤，故①②③方法點睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問題，同時需要結合解三角形的方法對所給信息進行辨析.三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明、驗算步驟或證明過程．16.已知直線l：，．（1）當直線l與直線垂直時，求的值；（2）設直線l恒過定點P，求P的坐標；（3）若對任意的實數(shù)，直線l與圓總有公共點，直接寫出r的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)直線與直線垂直關系列方程即可求得的值；（2）將直線方程轉(zhuǎn)化為，列方程組解得定點坐標即可；（3）根據(jù)直線與圓位置關系結合點與圓位置關系求解即可.【小問1詳解】當直線l：與直線垂直時，可得，解得；【小問2詳解】直線l：方程整理得，令，解得即直線l恒過定點；【小問3詳解】對任意的實數(shù)，直線l與圓總有公共點，則直線l恒過定點在圓上或者圓內(nèi)，則，即.17.已知經(jīng)過點，，并且圓心C在直線上，（1）求的方程；（2）設過點的直線l與交于M，N兩點，若，求l的方程．【正確答案】（1）（2）或．【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定線段的垂直平分線方程，從而聯(lián)立直線可得圓心坐標，根據(jù)圓的定義得半徑，從而得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相交弦長公式，分直線斜率存在與不存在兩種情況驗證求解直線方程即可.【小問1詳解】因為，，則，且線段AB中點為，則線段AB的垂直平分線的斜率為，故其方程為，即，由圓的對稱性知點C在AB的垂直平分線上，因此聯(lián)立解得即點，又因為，所以圓C：．【小問2詳解】圓心，半徑當?shù)男甭什淮嬖跁r，：，則圓心到直線的距離為，此時相交弦長，滿足題意；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設：，即，因為相交弦長，所以C到的距離為，解得，此時，直線：，綜上，直線的方程為或．18.已知橢圓C：的左、右焦點分別為和，長軸長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設P為橢圓C上一點，．若存在實數(shù)使得，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的關系列方程組求得的值，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的定義可得，再根據(jù)兩點距離公式結合點在橢圓上求解的取值范圍，即可得所求.【小問1詳解】由題知解得所以，C方程為．【小問2詳解】由橢圓的定義可知，設點Px0,y0所以，因為，所以，即當且僅當時，，時，，因為，則，所以．綜上所述，的取值范圍是．19.如圖，在三棱臺中，若平面，為中點，為棱上一動點（不包含端點）.（1）若為中點，求證：平面.（2）是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用三角形中位線定理，結合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】連接，因為為中點，為的中點，所以，因為是正三棱臺，，所以，于是有，因此四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面【小問2詳解】假設存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，因為平面平面，所以，而，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，，設，設平面的法向量為，，所以有，因為，，，所以平面，所以平面的法向量為，所以，解得，舍去，即，，即長度.20.平面直角坐標系xOy中，點M到點的距離比它到x軸的距離多1，記點M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）設斜率為k的直線l過定點，若直線l與軌跡C恰好有一個公共點，求實數(shù)k的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)題意列出等量關系并整理即可得出軌跡C的方程；（2）分情況將曲線C與直線方程聯(lián)立，根據(jù)方程根的個數(shù)求得實數(shù)k的取值范圍．【小問1詳解】設點Mx,y，由題知，兩邊平方，并整理得,所以軌跡C的方程為.【小問2詳解】易知直線，當時，如下圖所示：聯(lián)立，消去y得，，當，即或時，有且僅有一個公共點且滿足題意；當，即時，無公共點；當時，令，，當時，無公共點；當時，有一個公共點；綜合以上可知當時，有且僅有一個公共點，故k的取值范圍是．21.用一個矩形鐵皮制作成一個直角圓形