2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-半角模型

半角模型

前言?如果說(shuō)手拉手側(cè)重在旋轉(zhuǎn)本身，三垂直側(cè)重在模型構(gòu)造，半角模型則更多地體現(xiàn)在題型變化半角模型一般條件如下:

(1)角含半角；(2)鄰邊相等；(3)對(duì)角互補(bǔ).其中鄰邊相等與對(duì)角互補(bǔ)，以正方形為背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模

型，可替換為其他條件，模型條件的等價(jià)條件，亦是模型的重點(diǎn).

1模型認(rèn)識(shí)

如圖，在四邊形ABCD中,/BAD+NBCD=l8Qo,AB=ADj^E、F分別在BC、CD上,且KE"=|zF/10.

求證:EF=BE+DF.

c

證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G使得DG=BE,VZBAD+ZBCD=180\ZB+ZADC=1ZADC+ZADG=180°./.NB=NADG,在

△ABE和4ADG中，

AB=AD

ZABE=ZADG,工AABEgAADG(SAS)

BE=DG

.,.ZBAE=ZDAG.

---AEAF=^/.BAD,

AZ.BAE+乙DAFcBAE+Z.DAF=\LBAD=ZEA",即NGAF：=/EAF,又AE=AD.

.?.△EAF烏△GAF(SAS)

，EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.

2正方形中的半角

如凰在正方形ABCD中,E、F分別在BC、CD上，且zTEAFN卜5c.連接EF.

I3

EC

結(jié)論1:EF=BE+DF.

若E、F分別在CB、DC延長(zhǎng)線上時(shí),則EF=DF-BE.

總結(jié)反思

作輔助線時(shí)，時(shí)而截長(zhǎng)，時(shí)而補(bǔ)短，截長(zhǎng)、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個(gè)半角，此

處通過(guò)旋轉(zhuǎn)即可得另一半角.

若想要將一個(gè)三角形恰好地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ).正方形可滿足要求.

結(jié)論2:連接AD,與AE、AF分別交于M、N.ljjyMN2=BM2+DN2.

K—G

3模型進(jìn)階

結(jié)論3:若BE=7C,則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn).反之亦然.

引例1：如圖I,已知四邊形ABCD是正方形，將△DAE/DCF分別沿DE、DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時(shí)DA與DC重合A、C都落在G點(diǎn)）,

若GF=4,EG=6,則DG的長(zhǎng)為—.

解析:從/EDF=45?？紤]到半角模型從4和6之間的關(guān)系考慮結(jié)果：4=12x：,6=12x/顯然正方形邊長(zhǎng)為12./.DG=I2.

弓I傷!I2:如圖,在△ABC^.tanZBAC-1,AD1BC于點(diǎn)D,若BD—6,CD-爾貝！ABC的面積B,

解析：，4。=12,SADC=Ix10x12=60,4BC面積為60.

結(jié)論4:AE平分ZBEF,AF平分ZDFE.

引例3：如圖，在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0(0.0)、A(0.4).B(3,0)為頂，點(diǎn)的RSAOB,其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角角平分線相交于點(diǎn)

P,且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=￡的圖像上，則k的值為()

A.36B.48C.49D.64

解析:過(guò)點(diǎn)P分別作PM、PN、PQ垂直于y軸、x軸、AB,則^PMA且aRQA,NNB烏△PQB.，NAPB=45。，AB=AM+BN、又O

M=ON-.AM=2.BN=1OM=ON=6.；.k=36..'.選A.

結(jié)論6:M、N、F、E四點(diǎn)共圓.

證明?.,/MEF=NMFN,...M、N、F、E四點(diǎn)共圓.

結(jié)論7:AMAN^AMDA,ANAM^ANBA.

結(jié)論9:ZiAFE^AAMN.且.==坐=黑=VI由結(jié)論6可得/ANM=/AEF,ZAMN=ZAFE.

AMANMN

/.△AFE^AAMN.

由結(jié)論8可得：生=企.

真題演練

I.如圖.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上若NEBF=45。.則4EDF的周長(zhǎng)等于.

2.如圖.在正方形ABCD內(nèi)作/EAF=45：AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F.連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AH1EF,垂足為H.將aADF繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,若BE=2,DF=3,則AH的長(zhǎng)為—.

3.）如圖，正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中點(diǎn).將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG,延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.如圖.在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點(diǎn),BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE折疊到AF,延長(zhǎng)EF交DC于G,連接AG、FC,現(xiàn)在

有如下4個(gè)結(jié)論:①NEAG=45。;②FG=FC;③FC〃AG;④SaGFc=14.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.IB,2C.3D,4

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接

AG,CF.

給出下列判斷:①NEAG=45。；②若DE=押AG〃CF;⑤若E為CD的中點(diǎn)，5JJAGFC的面積為已*④若CF=FG,則DE=（yfZ-l）a;

（§）BGDE+AFGE=a2.

其中正確的是_」（寫出所有正確判斷的序號(hào)）

6.如圖.在正方形ABCD中.E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且NEAF=45。,AE、AF分別交BD于M、N,連按EN、EF、有以下結(jié)論:

①AN=EN;②當(dāng)AAF時(shí)、,=2-e;③BE+DF=EF;④存在點(diǎn)E、F.使得NF>DF.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

7.如圖,在矩形ABC中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,若AE=再,NEAF=45。廁AF的長(zhǎng)為

8.如圖.四邊形ABCD中.AD〃BC,NBCD=9Qo,AB=BC+AD,NDAC=45。,E為CD上一點(diǎn).且NBAE=45。,若CD=4.則^ABE的面積為（

A.HB.Cf0.7

9.已知如圖.在正方形中,AD=4.E、F分別是CD、BC上的一點(diǎn),且/EAF=45。,EC=1,將△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后與"BG

裝.正確的是

重合，連接EF,過(guò)點(diǎn)B作BM〃AG,交AF于點(diǎn)M,則以下結(jié)論:①DE+BF=EF,circleZBF=circledAF=y,circle4SAf)F=

()

A.館③B.②③④

c.(D?④D.匿④

10.如圖1.在正方形ABCD內(nèi)作NEAF=45。AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F.連接EF.過(guò)點(diǎn)A作AH_LEF,垂足為H.

⑴如圖2,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.

①求證:AAGE^AAFE;

②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng).

(2)如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM、MN、ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

圖3