332拋物線的簡單幾何性質(zhì)-2

3．3．2拋物線的簡單幾何性質(zhì)【題型歸納目錄】題型一：拋物線的幾何性質(zhì)題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系題型三：中點(diǎn)弦問題題型四：焦半徑問題題型五：弦長問題題型六：定點(diǎn)定值問題題型七：最值問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線（）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線（）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．離心率：．拋物線（）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因為通過拋物線（）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．知識點(diǎn)二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑知識點(diǎn)詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點(diǎn)、一個頂點(diǎn)、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．知識點(diǎn)三、焦半徑公式設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】知識點(diǎn)四、直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)）；相切（有一個公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）．2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn)．（2）直線的斜率存在．設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù)．①若，則當(dāng)時，直線與拋物線相交，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與拋物線相切，有個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點(diǎn)．知識點(diǎn)五、直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【方法技巧與總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為．焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上【典型例題】題型一：拋物線的幾何性質(zhì)例1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．故選：C．例2．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，若，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由，可得，由題意如圖所示：在中，可得，，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故選：D．例3．（多選題）（2022·全國·高二課時練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時，D．的最小值為6【答案】ACD【解析】由拋物線方程知，準(zhǔn)線方程為，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)：，設(shè)，．對于選項A，易知，∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，∴以線段為直徑的圓與直線相切，A正確；對于B，由，得，，，，∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，∵不恒成立，∴以線段為直徑的圓與軸未必相切，B錯誤；對于C，若，則，不妨設(shè)，，∵，∴，，則，，∴，C正確；對于D，∵，∴當(dāng)時，，D正確．故選:ACD．變式1．（2022·四川資陽·高二期末（文））拋物線上一點(diǎn)P和焦點(diǎn)F的距離等于6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，到焦點(diǎn)的距離等于，故.故選：B.變式2．（2022·福建廈門·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為：設(shè)，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.變式3．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）對拋物線，下列描述正確的是

()A．開口向上，焦點(diǎn)為(0，2) B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為(2，0) D．開口向上，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】拋物線方程，化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可得其開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A項.變式4．（多選題）（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)到定點(diǎn)比它到定直線：的距離小1的動點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關(guān)于軸對稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時， D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時，點(diǎn)到直線的距離【答案】AB【解析】由題意可知：動點(diǎn)到定點(diǎn)與它到定直線：的距離相等，由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，所以A，B正確；由知，點(diǎn)到直線的距離，所以C，D錯誤．故選：AB．變式5．（多選題）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A選項，對于曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于軸對稱的點(diǎn)滿足方程，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)也滿足方程，故滿足條件；對于B選項，即為，表示焦點(diǎn)在軸正半軸的拋物線，關(guān)于軸對稱，但不關(guān)于軸對稱，故不滿足；對于C選項，即為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，滿足既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，故滿足條件；對于D選項，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關(guān)于軸對稱，不關(guān)于軸對稱，故不滿足條件.故選：AC變式6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列拋物線.（1）；（2）；（3）．通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關(guān)系．【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出拋物線，如圖，通過圖象可以看出來，當(dāng)x的系數(shù)為正數(shù)且越大時，拋物線的開口向右且開口越大.題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【答案】A【解析】圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標(biāo)為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，聯(lián)立，消整理得，，所以直線l與拋物線C3相交，故選：A．例5．（2022·浙江溫州·高二期末）已知拋物線，過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有（

）條．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點(diǎn)P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與拋物線C只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點(diǎn)與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點(diǎn)的直線有一條，所以過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有3條.故選：D例6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若過點(diǎn)的直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線共有（

）條數(shù)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，與拋物線只有一個交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，當(dāng)時，可得過點(diǎn)的直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)時，過點(diǎn)的直線與拋物線相切，此時有且只有一個交點(diǎn)，綜上可得滿足條件的直線有三條故選：D．變式7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（

）A． B．，C．， D．或【答案】D【解析】當(dāng)時，直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.變式8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3，0)D．(－2，0)【答案】A【解析】因為直線與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.故選：A變式9．（2022·全國·高二）已知拋物線：，直線過點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，由得，，當(dāng)時，,此時直線方程為：，與拋物線有且只有一個公共點(diǎn),符合題意；當(dāng)時，由于直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，所以對于方程，，，，此時直線方程為：或.綜上所述：直線的方程為或或,故滿足條件的直線共3條.故答案為：B題型三：中點(diǎn)弦問題例7．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B例8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線y2＝4x，直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為（）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】設(shè)直線l的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與拋物線方程，化簡可得，y2﹣4my﹣4n＝0，由韋達(dá)定理可得，y1+y2＝4m，∵，∴4m＝4，即m＝1，∴直線l的方程為y＝x﹣n，∴k＝1．故選：D例9．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高二期中）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，兩式相減得，，因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，所以，，故斜率為符合題意，因此直線的方程為，故選：D.變式10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)，則拋物線C的方程為（

）A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8xC．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x【答案】B【解析】由題可得直線l的方程為，與拋物線方程C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，得k2x2－k2px－2px＋＝0．∵AB的中點(diǎn)為M(3，2)，∴，解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝8x．故選：B．變式11．（2022·全國·高二單元測試）點(diǎn)?點(diǎn)為拋物線上不同的兩動點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，的中點(diǎn)，設(shè)的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，則，所以，所以，因此.故選：B.變式12．（2022·黑龍江實(shí)驗中學(xué)高二階段練習(xí)（文））在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可得，，兩式作差可得，，所以因此所求直線的方程為，整理得.故選：C.變式13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線與圓在x軸上方的兩個交點(diǎn)分別記為A、B，若線段AB的中點(diǎn)在直線y＝x上，則p的值為______．【答案】【解析】設(shè)，聯(lián)立與可得，由韋達(dá)定理得，的中點(diǎn)，由條件可知，即，故，將代入化簡得，又，故，從而故答案為：變式14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點(diǎn)作拋物線的弦，若弦恰好被點(diǎn)平分，則弦所在直線的方程為______．【答案】【解析】顯然不垂直于軸，故，設(shè)，，則，兩式相減得．∵點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，∴，于是，即直線的斜率，故弦所在直線的方程為，即．故答案為：變式15．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線l對稱，求a的取值范圍.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，時，直線，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，則，．，點(diǎn)到直線的距離距離，的面積．（2）∵點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，∴直線的斜率為，∴可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，設(shè)，，，，則，故的中點(diǎn)為，∵點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，∴的中點(diǎn)，在直線上，∴，得，∵，∴．綜上，的取值范圍為．變式16．（2022·浙江邵外高二階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).（1）若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)；【解析】（1）若直線l過拋物線C的焦點(diǎn),直線方程為：x－y－2＝0故焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故故拋物線方程為：（2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)由點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對稱，則直線l的垂直平分線段PQ，則直線PQ的斜率為1設(shè)方程為：，與拋物線聯(lián)立因P，Q為拋物線上不同的兩點(diǎn)，故從而，代入直線可得：故線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為：題型四：焦半徑問題例10．（2022·全國·高二單元測試）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，由，得，則．又，即．故選：A．例11．（2022·河南開封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還宲有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點(diǎn)，處的切線交于占，稱為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時，具有以下特征：（1）點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）為直角二角形，且；（3）．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，頁點(diǎn)，過點(diǎn)，處的切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由題意知，為“阿基米德三角形”，可得點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)，直線的斜率為，又因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即,故選：C．例12．（2022·四川·攀枝花市第三高級中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））如圖所示，已知拋物線過點(diǎn)，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，則焦點(diǎn)F(2,0)，由直線PQ過拋物線的焦點(diǎn)，則，圓C2：圓心為(2,0)，半徑1，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為13.故選：D變式17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若拋物線過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成長為m和n兩部分，則m與n的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令過焦點(diǎn)的弦為，與拋物線交點(diǎn)分別為A、B，聯(lián)立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：C變式18．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（文））過拋物線：焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，設(shè)滿足，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線焦點(diǎn)為，直線方程為，設(shè)，由得，，，，，，則，，，所以，解得．故選：C．變式19．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，由軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：D.變式20．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：，點(diǎn)是的準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖所示，,準(zhǔn)線的方程為，設(shè)，，，由得，∴切線的方程為，而，即，又切線過點(diǎn)，∴，即，同理切線的方程為，∴直線的方程為,則直線過定點(diǎn)，當(dāng)AB平行于x軸時,此時|AB|為拋物線的通徑，此時，∴，當(dāng)且僅當(dāng)直線軸時取等號,故選：A．變式21．（2022·吉林遼源·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在第一象限），與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P.若，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)A作，垂足為D，過點(diǎn)B作，垂足為C，由拋物線的定義可知，，不妨設(shè)，因為，所以，因為，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故選：B.變式22．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（文））設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)方程為，由，消去得，則有①，由得，即②，由①②解得，故選：A變式23．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)N．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則平分C．若，則 D．若，延長AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線【答案】D【解析】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項D正確；故選：D.變式24．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時，具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點(diǎn)，若，則拋物線的“阿基米德三角形”頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，由題意，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，，，解得，∴，當(dāng)時，，所以直線PF方程為：，因為為“阿基米德三角形”，所以點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)，由拋物線對稱性可知，當(dāng)時，，故選：B．變式25．（2022·河南·林州一中高二開學(xué)考試（文））如圖所示，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)與交于點(diǎn).設(shè)，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A變式26．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，已知拋物線，圓，過C點(diǎn)的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】圓，點(diǎn)C與拋物線的焦點(diǎn)重合，設(shè)，，所以，，∴．①當(dāng)直線l的斜率不存在時，，∴；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為(),與拋物線方程聯(lián)立消y，得，∴．綜上，.故選：A．題型五：弦長問題例13．（2022·廣東東莞·高二期末）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C例14．（2022·云南玉溪·高二期末）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為在直線上，故是拋物線的焦點(diǎn)弦，則由得：，所以，，所以，故選：D.例15．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線，點(diǎn)，是曲線W上兩點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A．10 B．14 C．12 D．16【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則,焦準(zhǔn)距,準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義得，．又，所以．因為，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線時等號成立，即，所以的最大值為12，故選：C變式27．（2022·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．24 B．22 C．20 D．16【答案】A【解析】設(shè)直線，的斜率分別為，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.變式28．（2022·遼寧·高二期末）過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設(shè)，，，則，同理設(shè)可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，故選：B變式29．（2022·甘肅省臨洮中學(xué)高二階段練習(xí)（理））拋物線有如下的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點(diǎn)P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q反射后射出，則（

）A． B．13 C． D．14【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，由，直線的方程為，由解得或，所以，所以.故選：A變式30．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高二期末）若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長為（

）A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】由題得.由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B變式31．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（

）A．36 B．24 C．12 D．6【答案】C【解析】設(shè)拋物線方程為：，因為直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C變式32．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二期末）過拋物線的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線與A、B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，所以，故選：B變式33．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，若直線l過F，且與拋物線C交于A，B，過點(diǎn)A作直線y=1的垂線，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)N在y軸上，AF，MN互相垂直平分，則|AB|=（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】如圖所示，因為AF，MN互相垂直平分，所以四邊形AMFN為菱形.又由拋物線定義可知，，故△AMF為正三角形，從而∠FMC=30°，所以在Rt△FMC中，，又=2，所以.設(shè)，所以，由題得直線的傾斜角為，所以直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得，所以，所以.所以，所以所以.故選：B變式34．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.題型六：定點(diǎn)定值問題例16．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知曲線C：x2=2y，點(diǎn)D為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，求這兩條切線的方程；(2)證明：直線AB過定點(diǎn).【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率∴切線的方程為：又切線過點(diǎn)，∴，解得或，故切線的方程為：或.(2)設(shè)，則.由于，所以切線的斜率為，故.整理得設(shè)，同理可得.故直線的方程為.所以直線過定點(diǎn).例17．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.(1)求拋物線的方程；(2)若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，到焦點(diǎn)的距離為6，即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即解得，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設(shè)為,與拋物線聯(lián)立得

，消去得,設(shè)，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點(diǎn).例18．（2022·河南·夏邑第一高級中學(xué)高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.【解析】(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入，得，所以點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)為，.所以，所以，所以（舍去）.所以的方程為.(2)證明：由（1）知，，由于直線，均與交于兩點(diǎn)，所以直線，斜率存在且不為0.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，恒成立.所以，所以.因為，所以將換成，得，所以，所以為定值.變式35．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線，直線交C于A，B兩點(diǎn)．(1)若弦AB的中點(diǎn)是，求直線l的方程；(2)設(shè)，，若，求證：直線過定點(diǎn)．【解析】(1)由于在拋物線開口之內(nèi)，且不在軸上，直線的斜率存在，設(shè)為，且設(shè)，可得，兩式相減可得，即，則直線的方程為，即，檢驗直線存在，且方程為；(2)證明：若直線的斜率不存在，可得（其中），將代入拋物線方程，可得，則，即，直線過；若直線的斜率存在，設(shè)為，當(dāng)時，設(shè)的方程為，將代入拋物線的方程消去可得，所以，即有，所以，所以直線的方程為，則直線恒過定點(diǎn)．當(dāng)時，直線的方程為，又，即，此時不存在直線滿足題意；綜上，直線恒過定點(diǎn)．變式36．（2022·福建泉州·高二期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】(1)∵拋物線過點(diǎn)，．．∴動點(diǎn)的軌跡的方程為．(2)設(shè)，，由得，，．，．，或．，舍去．，滿足．∴直線的方程為．∴直線必經(jīng)過定點(diǎn)．變式37．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，且向量，，證明：為定值．【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立方程，得，則，從而，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)，，且點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，則，同理得，因為向量，，所以，兩式相加得，即，由于，所以．所以為定值．題型七：最值問題例19．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是含拋物線頂點(diǎn)的弧上一點(diǎn)，求的最大面積.【解析】設(shè)，，，，所在的直線方程為，將其代入拋物線，得，，，當(dāng)過的直線平行于且與拋物線相切時的面積有最大值.設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，由，得，這時，它到的距離為，的最大面積為.例20．（2022·上?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€，是軸上一點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn).（1）若，求的最小值；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，A（1，0）為拋物線的焦點(diǎn)，此時=到準(zhǔn)線的距離，∴當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時，到準(zhǔn)線的距離最小為1，即的最小值為1.（2）的最小值為，即當(dāng)時取得最小值，所以，即.例21．（2022·四川成都·高二期中（理））已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為.（1）求的最小值，并求此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，求的最小值.【解析】（1）設(shè)，則，當(dāng)時，，此時，∴當(dāng)時，.（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，且，∴，它的最小值為點(diǎn)到直線的距離.∴.變式38．（2022·廣東·鹽田高中高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點(diǎn)，，E為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的最小值．【解析】（1）由題設(shè)，且，則，所以拋物線C的方程.（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線可得，所以，即，，，則，故，又，可得，所以且，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)，時，在上遞增，則最小；當(dāng)，時，在上遞減，在上遞增，則最??；綜上，時最?。粫r最小.變式39．（2022·福建廈門·高二期末（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)，交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若P為中點(diǎn)，求l的方程；（2）求的最小值.【解析】（1）方法一：設(shè)，，，則，，，化簡得，因為的中點(diǎn)為，，，∴l(xiāng)的方程為，即.經(jīng)檢驗，符合題意.方法二：設(shè)，，當(dāng)斜率不存在時，顯然不成立.當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得易知，，因為的中點(diǎn)為，，即，解得，∴l(xiāng)的方程為（2）方法一：由拋物線的定義可知當(dāng)斜率不存在時，直線l：，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l：，顯然，由得，易知，，時，的最小值為綜上，的最小值為方法二：由拋物線的定義可知顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，由得，易知，，，時，的最小值為【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由拋物線方程知：為拋物線焦點(diǎn)，所求距離.故選：D.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】由拋物線方程知：為拋物線的焦點(diǎn)，，解得：.故選：B.3．（2022·四川省資陽中學(xué)高二開學(xué)考試（理））拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C4．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高二期末（文））設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因為的面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.5．（2022·浙江舟山·高二期末）已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】因為點(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D6．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高二期末（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為N.若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，根據(jù)拋物線定義，可知PF=PN，OF=AO=2，又因為，所以三角形PNF為等邊三角形，點(diǎn)F作FM⊥PN于點(diǎn)M，則M為PN的中點(diǎn)，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面積為.故選：C7．（2022·北京西城·高二期末）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過的直線交拋物線于點(diǎn)，則以為直徑的圓（

）A．必過原點(diǎn) B．必與軸相切C．必與軸相切 D．必與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】C【解析】如圖，取中點(diǎn)，以為圓心，為直徑作圓，與相切于點(diǎn)，連接，證明如下：因為為，中點(diǎn)，所以，又，所以，由拋物線定義可知，，所以為圓的半徑，即以為直徑的圓與軸相切.故選：C8．（2022·四川南充·高二期末（文））拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．－5 B．－3 C．3 D．5【答案】B【解析】設(shè)，，由題意，直線的斜率存在，因為拋物線的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.二、多選題9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）(多選)經(jīng)過拋物線(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說法中正確的是（）A．當(dāng)AB與x軸垂直時，|AB|最小 B．＋＝C．以弦AB為直徑的圓與直線相離 D．y1y2＝－p2【答案】AD【解析】設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為：，代入得，，則，，，當(dāng)直線AB與x軸垂直時，，|AB|最小，∴A正確；，∴B錯；以AB為直徑的圓：圓心，半徑為圓心與準(zhǔn)線的距離圓與準(zhǔn)線相切，∴C錯，，∴D正確；故選：AD.10．（2022·全國·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為（

）A．x2＝4y B．x2＝－4yC．x2＝2y D．x2＝－2y【答案】CD【解析】由，解得：或，則交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，解得：，則拋物線的方程，故選：CD．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動點(diǎn)的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關(guān)于軸對稱C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時，D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時，點(diǎn)到直線的距離【答案】AB【解析】由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，故A正確；若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對稱，故B正確；由知，故C錯誤；點(diǎn)到直線的距離，所以D錯誤故選：AB12．（2022·江蘇省寶楠國際學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】如圖所示：連接，，的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，為拋物線上一點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，，垂直于點(diǎn)，，，則選項A正確；，為等邊三角形，，則選項C正確；，四邊形為矩形，則選項B錯誤；四邊形為平行四邊形，，則選項D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高二階段練習(xí)）過拋物線）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)F，C之間），且則直線AB的斜截式方程為__________【答案】或【解析】分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為G設(shè)，則，，∴，即直線AB的斜率為則可得，，在ACE中可得：，則，即，又，則，解得，即．所以直線AB的斜截式方程為或故答案為：或.14．（2022·湖南省岳陽縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若拋物線上一點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為8，則該拋物線的方程為________．【答案】【解析】由題意可知,則，故拋物線的方程為.15．（2022·安徽·六安一中東校區(qū)高二開學(xué)考試）已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，則