專題11導數中的同構問題（原卷版）

專題11導數中的同構問題【考點預測】知識點一、常見的同構函數圖像函數表達式圖像函數表達式圖像函數極值點函數極值點函數極值點函數極值點過定點函數極值點函數極值點函數極值點函數極值點知識點二：同構式的基本概念與導數壓軸題1、同構式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構式的應用：（1）在方程中的應用：如果方程和呈現同構特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而和函數的單調性找到聯系?？杀容^大小或解不等式。<同構小套路>①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”：，；尋找“親戚函數”是關鍵；③信手拈來湊同構，湊常數、、參數；④復合函數（親戚函數）比大小，利用單調性求參數范圍.（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數列便于求解3、常見的指數放縮：4、常見的對數放縮：5、常見三角函數的放縮：6、學習指對數的運算性質時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：（1）且時，有（2）當且時，有再結合指數運算和對數運算的法則，可以得到下述結論（其中）（3）（4）（5）（6）再結合常用的切線不等式lnxx1，等，可以得到更多的結論，這里僅以第（3）條為例進行引申：（7）；（8）；【題型歸納目錄】題型一：不等式同構題型二：同構變形題型三：零點同構題型四：利用同構解決不等式恒成立問題題型五：利用同構求最值題型六：利用同構證明不等式【典例例題】題型一：不等式同構例1．（2022·陜西·西安中學模擬預測（理））已知，且，，，則（

）A． B．C． D．例2．（2022·河南焦作·三模（理））設，，，則（

）A． B．C． D．例3．（2022·四川·廣安二中模擬預測（理））已知，且，其中e為自然對數的底數，則下列選項中一定成立的是（

）A． B．C． D．題型二：同構變形例4．（2022·全國·高三專題練習）對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．題型三：零點同構例5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數有兩個零點，則a的最小整數值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（2021·全國·模擬預測）在數學中，我們把僅有變量不同，而結構、形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式．若關于的方程和關于的方程（，，）可化為同構方程，則________，________．例7．（2021·安徽安慶·高三階段練習（理））在數學中，我們把僅有變量不同，而結構?形式相同的兩個式子稱為同構式，相應的方程稱為同構方程，相應的不等式稱為同構不等式.若關于的方程和關于的方程可化為同構方程.（1）求的值；（2）已知函數.若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.例8．（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學模擬預測）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)設函數，若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍．題型四：利用同構解決不等式恒成立問題例9．（2022·陜西·長安一中模擬預測（理））若對任意，恒有，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．例10．（2022·河南·高三期末（理））若關于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是______．例11．（2022·全國·高三專題練習）已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.例12．（2022·全國·高三專題練習）若關于x的不等式恒成立，則實數a的取值范圍為__________．例13．（2022·全國·高三專題練習）已知不等式對恒成立，則實數m的最小值為__________.例14．（2022·全國·高三專題練習）設，若存在正實數，使得不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，不等式對任意恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例16．（2022·河南·高三階段練習（文））若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數，對，恒有，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數，當時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若時，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式對恒成立（為自然對數的底數），則實數a的最大值為（

）A． B． C． D．例21.（2022·全國·高三專題練習）已知不等式對恒成立，則實數a的最小值為（

）A． B． C． D．題型五：利用同構求最值例22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，，若，，則的最小值為（

）．A． B． C． D．例23．（2022·全國·高三專題練習（理））設大于1的兩個實數a，b滿足，則正整數n的最大值為（

）．A．7 B．9 C．11 D．12題型六：利用同構證明不等式例24．（2022·福建南平·三模）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若，求證：函數有兩個零點，且.例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)證明：當時，.例26．（2022·河北·高三階段練習）已知函數．(1)討論的單調性；(2)設a，b為兩個不