2025年春北師版九年級數(shù)學(xué)下冊 第三章綜合測試卷

年春北師版九年級數(shù)學(xué)下冊第三章綜合測試卷限時(shí):90分鐘滿分:120分一、選擇題(每題3分，共30分)1．在平面內(nèi)與點(diǎn)P的距離為1cm的點(diǎn)有()A．無數(shù)個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．如圖，E，F(xiàn)，G為圓上的三點(diǎn)，∠FEG＝50°，P點(diǎn)是圓心的為()3．[2024石家莊模擬]如圖，已知⊙O的半徑為3，PC切⊙O于點(diǎn)C，PO交⊙O于點(diǎn)A，PA＝2，那么PC的長等于()A．4 B．16 C．2eq\r(10) D．eq\r(34)4．[2024瀘州月考]如圖，在已知線段AB上按下列步驟作圖：(1)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB長為半徑作弧交于C，D兩點(diǎn)，直線CD與AB交于點(diǎn)E，連接AC，BC，(2)以點(diǎn)E為圓心，以AE長為半徑作弧交AC于點(diǎn)F，連接EF和FB.若∠ACB＝80°，則∠CBF＝()A．5° B．10° C．12° D．15°5．[2024南京六合區(qū)期中]如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB＝14，BC＝13，CA＝9，則AD的長是()A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如圖，AD，AE和BC分別切⊙O于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如果AD＝18，則△ABC的周長為()A．18 B．27 C．36 D．547．[2024西寧期末]如圖，∠ABC＝70°，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，eq\f(1,2)OB長為半徑作⊙O，要使射線BA與⊙O相切，應(yīng)將射線繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)()A．35°或70°B．40°或100°C．40°或90°D．50°或110°8．[2024杭州蕭山區(qū)月考]如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠B＝60°，BC≠AB，點(diǎn)M，N分別為AB，BC上的點(diǎn)，且OM＝ON.甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：∠MON＝120°；乙：四邊形OMBN的面積為定值；丙：當(dāng)MN⊥BC時(shí)，△MON的周長有最小值．則下列說法正確的是()A．只有甲正確 B．只有乙錯(cuò)誤C．乙、丙都正確 D．只有丙錯(cuò)誤9．[2024泉州期中]如圖所示的是可調(diào)節(jié)弧形衣架，它可以近似地看成一段劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))，其中螺母B的位置是該劣弧的中點(diǎn)，連接AB，過點(diǎn)B作BM⊥AC，垂足為M，其中AC＝29.4cm，BM＝10.3cm，則∠BAM的度數(shù)約為(參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.6947，cos46°≈0.6947，tan35°≈0.7002，tan19°≈0.3443)()A．19° B．35° C．46° D．44°10．[2024成都金牛區(qū)三模]如圖，把圓分成六等份，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形是這個(gè)圓的外切正六邊形，⊙O的半徑是eq\r(3)，它的外切正六邊形的邊長為()A．2 B．1 C．2eq\r(3) D．eq\r(3)二、填空題(每題3分，共15分)11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OB，OC，若∠A＝45°，OC＝2，則BC的長為________．12．如圖，直線AB，AD與⊙O分別相切于點(diǎn)B，D，C為⊙O上一點(diǎn)，且∠BCD＝140°，則∠A的度數(shù)是________．13．為了促進(jìn)城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃修建公路．如圖，eq\o(AB,\s\up8(︵))與eq\o(CD,\s\up8(︵))是公路彎道的外、內(nèi)側(cè)邊線，它們有共同的圓心O，所對的圓心角都是72°，點(diǎn)A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36m，則公路寬AC的長約是________m．(π取3.14，計(jì)算結(jié)果精確到0.1)14．[2024青島模擬]如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，半徑OA＝8，將扇形AOB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在eq\o(AB,\s\up8(︵))上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積是________．(結(jié)果保留π)15．[2024杭州余杭區(qū)二模]如圖，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對圓周角的度數(shù)為________．三、解答題(共75分)16．(10分)[2024溫州月考]如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，OC.若∠AOC＝50°，求∠ACD的度數(shù)．17．(12分)[2024杭州上城區(qū)月考]如圖是一塊破碎車輪的一部分．(1)請你找到該車輪的圓心O(保留作圖痕跡)；(2)過圓心O作AB的垂線，交AB于點(diǎn)P，若這個(gè)圓的半徑為10cm，OP＝5cm，求AB的長．18．(12分)[2024商丘月考]堆雪人是下雪天才能享受的一項(xiàng)有趣的活動，既可以放松心情，又可以鍛煉身體．某同學(xué)在課余時(shí)間堆的雪人的頭部可抽象成如圖所示的圖形，點(diǎn)A表示鼻子，帽子與雪人頭部的交點(diǎn)分別為點(diǎn)B，D，連接OD，BD，AB，且AB過圓心O，CD與⊙O相切，BC⊥BD.(1)求證：∠BCD＝∠ABD；(2)若⊙O的半徑為3，∠AOD＝60°，求BC的長度．19．(12分)[2024南通月考]如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB，AC的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD，OD.(1)求證：AF∥OD；(2)填空：①已知AB＝4，當(dāng)BE＝________時(shí)，AC＝CF；②連接BD，CD，OC.當(dāng)∠E的度數(shù)為________時(shí)，四邊形OBDC是菱形．20．(14分)如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，D恰好是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若∠BAC＝60°，OA＝4，求陰影部分的面積．21．(15分)[2024石家莊月考]如圖①，已知AB是半圓O的直徑，AB＝4，點(diǎn)D是線段AB延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，直線DF垂直射線AB于點(diǎn)D，在直線DF上選取一點(diǎn)C(點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方)，使CD＝OA，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α≤90°)．(1)當(dāng)射線DC與半圓O相切于點(diǎn)C時(shí)，求劣弧BC的長度；(2)如圖②，當(dāng)射線DC與半圓O相交于點(diǎn)C，另一交點(diǎn)為E時(shí)，連接AE，OC，若AE∥OC.①猜想AE與OD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

答案一、1．A2．C3．A4．B【點(diǎn)撥】由題可知，作法(1)是作線段AB的垂直平分線，故AE＝BE，結(jié)合作法(2)可知，AE＝BE＝EF，故點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，∴∠AFB＝90°，∴∠ACB＋∠CBF＝90°.又∵∠ACB＝80°，∴∠CBF＝10°.故選B.5．D【點(diǎn)撥】設(shè)AD＝x，由題意知AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∴AF＝x，BD＝BE＝14－x，∴CF＝CE＝9－x.又∵CE＋BE＝BC，∴9－x＋14－x＝13，解得x＝5.故選D.6．C【點(diǎn)撥】根據(jù)切線長定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF，則△ABC的周長＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋CF＋AC＝AB＋BE＋AC＋CD＝2AD＝36.故選C.7．B【點(diǎn)撥】如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OD，∵OD＝eq\f(1,2)OB，∴∠OBD＝30°.分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的上方時(shí)，∠ABD＝∠ABC－∠OBD＝70°－30°＝40°；②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的下方時(shí)，∠ABD＝∠ABC＋∠OBD＝70°＋30°＝100°.綜上，應(yīng)將射線繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°或100°.8．D【點(diǎn)撥】如圖①，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，∴∠ODN＝∠OEM＝90°.∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∴BO是∠ABC的平分線．∴OD＝OE.在Rt△DON和Rt△EOM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OE，,ON＝OM，))∴Rt△DON≌Rt△EOM(HL)．∴∠DON＝∠EOM.∵∠ABC＝60°，∴∠DOE＝120°.∴∠MON＝∠EOM＋∠EON＝∠DON＋∠EON＝∠DOE＝120°.故甲的判斷正確；∵Rt△DON≌Rt△EOM，∴四邊形OMBN的面積＝2S△BOD.∵點(diǎn)D的位置固定，∴四邊形OMBN的面積是定值．故乙的判斷正確；如圖②，過點(diǎn)O作OF⊥MN于點(diǎn)F，∵ON＝OM，∠MON＝120°，∴∠ONM＝30°.∴MN＝2NF＝2ON·cos∠ONM＝2ON·cos30°＝eq\r(3)ON.∴△MON的周長＝MN＋2ON＝eq\r(3)ON＋2ON＝(eq\r(3)＋2)ON.∴當(dāng)ON最小，即ON⊥BC時(shí)，△MON的周長取最小值．故丙的判斷錯(cuò)誤．綜上所述，判斷正確的是甲、乙，判斷錯(cuò)誤的是丙．故選D.9．B【點(diǎn)撥】連接BC，如圖，由題意得B為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴AB＝BC.又∵BM⊥AC，∴∠AMB＝90°，AM＝eq\f(1,2)AC＝14.7cm.∴tan∠BAM＝eq\f(BM,AM)≈0.7007.∴∠BAM≈35°.故選B.10．A【點(diǎn)撥】如圖，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)C，連接OA，OB，OC，則∠AOB＝eq\f(360°,6)＝60°，OC⊥AB，OA＝OB，OC＝eq\r(3)，∴△AOB為等邊三角形．∴∠OAB＝60°，OA＝OB＝AB.∴OA＝OC÷sin60°＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.∴AB＝2.故選A.二、11．2eq\r(2)12．100°【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)B作直徑BE，連接OD，DE.∵B，C，D，E四點(diǎn)共圓，∠BCD＝140°，∴∠E＝180°－140°＝40°.∴∠BOD＝80°.∵AB，AD與⊙O分別相切于點(diǎn)B，D，∴∠OBA＝∠ODA＝90°.∴∠A＝360°－90°－90°－80°＝100°.13．28.7【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，得leq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(72π·OA,180)，leq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\f(72π·OC,180).∵公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36m，∴eq\f(72π·OA,180)－eq\f(72π·OC,180)＝36m，∴eq\f(72π·(OA－OC),180)＝36m，即eq\f(72π·AC,180)＝36m，解得AC＝eq\f(90,π)≈eq\f(90,3.14)≈28.7(m)．14．eq\f(56π,3)－16－16eq\r(3)【點(diǎn)撥】連接OD，如圖．∵△CBD由△CBO翻折而成，∴CD＝CO，BD＝BO.∴∠COD＝∠CDO.∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形．∴∠BOD＝60°.∵∠AOB＝105°，∴∠COD＝∠CDO＝45°，∴∠OCD＝90°.∴△OCD是等腰直角三角形．∵OA＝OD＝OB＝8，∴OC＝DC＝4eq\r(2)，∴S陰影＝S扇形AOB－S△OCD－S△OBD＝eq\f(105π×82,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)－eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(3),2)×8＝eq\f(56π,3)－16－16eq\r(3).15．15°或165°【點(diǎn)撥】如圖，連接BO，AO，GO，∵四邊形AGDH是正方形，∴∠AOG＝360°÷4＝90°.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∴∠BOG＝∠AOG－∠AOB＝90°－60°＝30°.∴弦BG所對圓周角的度數(shù)為eq\f(30°,2)＝15°或eq\f(360°－30°,2)＝165°.三、16．【解】∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB.∴∠OCA＝90°.∵OC＝OD，∠AOC＝50°，∴∠OCD＝∠ODC＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°.∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝90°－65°＝25°.17．【解】(1)如圖，圓心O即為所求．(2)如圖，連接OA，∵OP⊥AB，∴AP＝BP.∵這個(gè)圓的半徑為10cm，∴OA＝10cm.在Rt△AOP中，由勾股定理得AP＝eq\r(OA2－OP2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm)．∴AB＝2AP＝10eq\r(3)cm.18．(1)【證明】∵CD與⊙O相切，∴∠ODC＝90°＝∠ODB＋∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CDB＋∠OBD＝90°.∵CB⊥BD，∴∠C＋∠CDB＝90°.∴∠BCD＝∠ABD.(2)【解】如圖，連接AD，∵∠AOD＝60°，OA＝OD＝OB＝3，∴AB＝6，△AOD為等邊三角形．∴∠A＝60°，AD＝OA＝3.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴BD＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，∠ABD＝90°－60°＝30°.∴結(jié)合(1)可得∠C＝∠ABD＝30°.∴BC＝eq\f(BD,tan30°)＝9.19．(1)【證明】∵點(diǎn)D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴∠CAD＝∠DAB.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠CAD＝∠ADO.∴AF∥OD.(2)①4②30°【點(diǎn)撥】①連接OC，過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，如圖．若AC＝CF，則AC＝eq\f(1,2)AF.∵OG⊥AC，OA＝OC，∴AG＝eq\f(1,2)AC.∴AG＝eq\f(1,4)AF.∴GF＝eq\f(3,4)AF.∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF，由(1)得OD∥AF，∴AF⊥EF.又∵OG⊥AF，∴四邊形OGFD為矩形．∴GF＝OD＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2.∴eq\f(3,4)AF＝2，∴AF＝eq\f(8,3).由OD∥AF，易知△EOD∽△EAF.∴eq\f(OD,AF)＝eq\f(EO,EA).∴eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(EB＋OB,EB＋AB)，即eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(EB＋2,EB＋4)，解得BE＝4.②∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥DE.∴∠ODE＝90°.若四邊形OBDC是菱形，則OB＝BD.∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD.∴△OBD為等邊三角形．∴∠DOB＝60°.∴∠E＝180°－∠ODE－∠DOB＝180°－90°－60°＝30°.20．(1)【證明】如圖，連接OD，∵D恰好是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∵OA