專題4.3 函數(shù)的應(yīng)用（二）（原卷版）

專題4.3函數(shù)的應(yīng)用（二）1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn)．2．函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程的根.3．函數(shù)零點(diǎn)的常用結(jié)論（1）若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；（2）連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；（3）函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；（4）函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).4．函數(shù)零點(diǎn)的判定方法（1）定義法（定理法）：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．（2）方程法：判斷方程是否有實(shí)數(shù)解．（3）圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).5．判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)．（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).6．函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用（1）已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時(shí)，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用．（2）已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，把此問題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．（3）借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小或直接比較函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大小．若直接比較函數(shù)零點(diǎn)的大小，則可有以下三種常用方法：①求出零點(diǎn)，直接比較大??；②確定零點(diǎn)所在區(qū)間；③同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象，由零點(diǎn)位置關(guān)系確定大小.一、單選題1．果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢降低新鮮度．已知某種水果降低的新鮮度y與其采摘后時(shí)間x（天）滿足的函數(shù)關(guān)系式為．若采摘2天后，這種水果降低的新鮮度為20%；采摘3天后，這種水果降低的新鮮度為40%．則采摘下來(lái)的這種水果降低的新鮮度為70%需要經(jīng)過A．4天 B．4.5天C．5天 D．5.5天2．二次函數(shù)的零點(diǎn)是A．， B．，1C．， D．，3．在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是，則第三次所取的區(qū)間可能是A． B．C． D．4．若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上滿足，則在區(qū)間（a，b）上A．有且僅有一個(gè)零點(diǎn) B．至少有一個(gè)零點(diǎn)C．至多有一個(gè)零點(diǎn) D．可能沒有零點(diǎn)5．已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．6．若數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．8．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A． B．C． D．9．“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動(dòng)很多，某同學(xué)借助于已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動(dòng)進(jìn)行研究．已知2021年“雙11”期間某商品原價(jià)為元，商家準(zhǔn)備在節(jié)前連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行提價(jià)且每次提價(jià)，然后在“雙11”活動(dòng)期間連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行降價(jià)且每次降價(jià)．該同學(xué)得到結(jié)論：最后該商品的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格元相比A．相等 B．略有提高C．略有降低 D．無(wú)法確定10．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的函數(shù)是A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則“函數(shù)在上有零點(diǎn)”是“”的條件A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．即不充分也不必要12．已知方程有兩根，一根在，而另一根在，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．13．Logistic模型是常用的數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布的數(shù)據(jù)建立某地區(qū)流感累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)，為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值為A． B．C． D．14．已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為A．1 B．－1C．0 D．－215．某物體飛行的軌跡是拋物線，上升高度h（單位：米）與時(shí)刻t（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b，c是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到高度最高時(shí)的時(shí)刻為A．3.50秒 B．3.75秒C．4.00秒 D．4.25秒16．某工廠生產(chǎn)的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）的關(guān)系為（，是正的常數(shù)）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物減少50%需要花多少時(shí)間（精確到1h，參考數(shù)據(jù)lg2≈0．301，lg3≈0．477）A．31h B．33hC．35h D．37h17．某種藥物需要2個(gè)小時(shí)才能全部注射進(jìn)患者的血液中．在注射期間，血液中的藥物含量以每小時(shí)的速度呈直線上升；注射結(jié)束后，血液中的藥物含量每小時(shí)以的衰減率呈指數(shù)衰減．若該藥物在病人血液中的含量保持在以上時(shí)才有療效，則該藥物對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．2小時(shí) B．3小時(shí)C．4小時(shí) D．5小時(shí)18．已知方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．19．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)所公布的數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A．35 B．36C．60 D．4020．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足：，已知某同學(xué)視力的五分記錄法數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法最接近的數(shù)據(jù)為A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.621．若對(duì)于定義在上的函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個(gè)非零自變量，使得，則稱為類偶函數(shù)，若函數(shù)為類偶函數(shù)，則的取值范圍為A． B．C． D．22．已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是A． B．C． D．23．已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則A．1 B．2C．3 D．424．下列函數(shù)中能說明“若函數(shù)滿足，則在內(nèi)不存在零點(diǎn)”為假命題的函數(shù)是A． B．C． D．25．設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A． B．C． D．26．三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，其出土文物是寶貴的人類文化遺產(chǎn)，在人類文明發(fā)展史上占有重要地位．2021年，“沉睡三千年，一醒驚天下”的三星堆遺址的重大考古發(fā)現(xiàn)再一次驚艷世界．為推測(cè)文物年代，考古學(xué)者通常用碳測(cè)年法推算（碳測(cè)年法是根據(jù)碳的衰變程度計(jì)算出樣品的大概年代的一種測(cè)量方法）．2021年，考古專家對(duì)某次考古的文物樣本上提取的遺存材料進(jìn)行碳年代測(cè)定，檢測(cè)出碳的殘留量約為初始量的，已知碳的半衰期是5730年（即每經(jīng)過5730年，遺存材料的碳含量衰減為原來(lái)的一半）．以此推算出該文物大致年代是（參考數(shù)據(jù)：，）A．公元前1600年到公元前1500年 B．公元前1500年到公元前1400年C．公元前1400年到公元前1300年 D．公元前1300年到公元前1200年27．，若，且，則的取值范圍A． B．C． D．28．鮮花店鮮花的售價(jià)隨進(jìn)價(jià)的變化而變化．已知某鮮花店鮮花A在第一天的進(jìn)價(jià)為4元/枝．售價(jià)為10元/枝，并規(guī)定從第二天起，該鮮花當(dāng)日售價(jià)的漲跌幅是當(dāng)日進(jìn)價(jià)的漲跌幅的50%．注：，當(dāng)日售價(jià)的漲跌幅．每枝花的當(dāng)日差價(jià)=當(dāng)日出價(jià)-當(dāng)日進(jìn)價(jià)．鮮花A進(jìn)價(jià)與售價(jià)表第一天第二天第三天第四天第五天進(jìn)價(jià)（元/枝）489.64.86.72售價(jià)（元/枝）101516.5xy以下結(jié)論正確的是A． B．C．這5天內(nèi)鮮花A第二天的當(dāng)日差價(jià)最大 D．這5天內(nèi)鮮花A第一天的當(dāng)日差價(jià)最小29．設(shè)函數(shù)，若，且，則的取值范圍是A． B．C． D．30．若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．31．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程（）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的值為A． B．C． D．32．下列命題正確的為①；②集合子集的個(gè)數(shù)為4；③方程有2個(gè)解；④A．①② B．②③④C．①③ D．②④33．若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[0，1） B．[1，2）C．[1，+∞） D．（2，+∞）34．已知，，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有在區(qū)間上至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，則A．，且 B．，且C．，且 D．，且35．設(shè)函數(shù)，有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是A． B．C． D．二、多選題1．下列說法中正確的是A．函數(shù)，的零點(diǎn)為B．函數(shù)的零點(diǎn)為0C．函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)D．函數(shù)的零點(diǎn)即方程的實(shí)數(shù)根2．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L．E．J．Brouwer）．簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，那么我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．下列函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是A． B．C． D．3．關(guān)于函數(shù)，正確的說法是A．方程僅有一個(gè)解 B．的定義域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4．為預(yù)防流感病毒，我校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒．當(dāng)教室內(nèi)每立方米藥物含量超時(shí)能有效殺滅病毒．已知教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：）隨時(shí)間x（單位：h）的變化情況如圖所示：在藥物釋放過程中，y與x成正比：藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），則下列說法正確的是A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．教室內(nèi)持續(xù)有效殺滅病毒時(shí)間為0.85小時(shí) D．噴灑藥物3分鐘后才開始有效滅殺病毒5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A．B．C． D．6．已知函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不間斷，x，f(x)的對(duì)應(yīng)值如下表：x12345f(x)13615-310-52則含有函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間有A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值有A．4 B．C． D．8．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，若實(shí)數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論可能成立的是A． B．C． D．9．函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)的充分條件是A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的值可以是A． B．C． D．0三、填空題1．若函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)是2，則函數(shù)的零點(diǎn)是____________．2．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且共有3個(gè)零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)之和為____________．3．若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．4．如果在實(shí)數(shù)運(yùn)算中定義新運(yùn)算“”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．那么函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____________．5．小程入職時(shí)的年薪為10萬(wàn)元，若他在崗位上表現(xiàn)優(yōu)異，則每年他的年薪可以獲得最多15%的漲幅．為了使自己的年薪超過20萬(wàn)元，小程最少需要奮斗____________年．6．函數(shù)的零點(diǎn)為____________．7．已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．8．已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．9．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____________．10．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________．11．已知函數(shù)，如果關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．12．若函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍____________．13．某一處的聲強(qiáng)級(jí)，是指該處的聲強(qiáng)度I（單位：）與基準(zhǔn)值的比值的常用對(duì)數(shù)，其單位為貝爾（B）．實(shí)際生活中一般用1貝爾的十分之一，即分貝（dB）來(lái)作為聲強(qiáng)級(jí)的單位．公式為聲強(qiáng)級(jí)．如果某工廠安靜環(huán)境中一臺(tái)機(jī)器（聲源）單獨(dú)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，發(fā)出的噪聲聲強(qiáng)級(jí)為80分貝，那么兩臺(tái)相同的機(jī)器一同運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)（聲強(qiáng)度為原來(lái)的2倍），發(fā)出的噪聲聲強(qiáng)級(jí)為____________分貝．（精確到0.1分貝）14．若函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)____________．15．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是____________．四、解答題1．求下列函數(shù)的零點(diǎn)：（1）；（2）；（3）．2．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（3）如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，證明：．3．函數(shù)僅有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范