2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.1第1課時(shí)棱柱棱錐棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章8.1第1課時(shí)A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．(2024年拉薩期末)下列幾何體中是棱柱的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】依據(jù)棱柱的定義可知只有①③⑤是棱柱．故選C．2．(多選)下列命題中錯(cuò)誤的是()A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行的幾何體叫棱柱C．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)D．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱【答案】ACD【解析】在A中，如圖的幾何體，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不是棱柱，故A錯(cuò)誤；在B中，由棱柱的定義知B正確；在C中，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故C錯(cuò)誤；在D中，如圖的幾何體，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不是棱柱，故D錯(cuò)誤．故選ACD．3．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體【答案】B【解析】余下部分是四棱錐A′-BCC′B′.4．下列三種敘述，正確的有()①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面相互平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】①中的平面不肯定平行于底面，故①錯(cuò)；②③可用如圖的反例檢驗(yàn)，故②③錯(cuò)．故選A．5．下列圖形中，不能折成三棱柱的是()【答案】C【解析】C中，兩個(gè)底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．6．四棱柱有________條側(cè)棱，________個(gè)頂點(diǎn)．【答案】48【解析】四棱柱有4條側(cè)棱，8個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體視察求得)．7．對(duì)如圖所示的幾何體描述正確的是________(寫出正確結(jié)論的序號(hào))．①這是一個(gè)六面體；②這是一個(gè)四棱臺(tái)；③這是一個(gè)四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到．【答案】①③④⑤【解析】在①中，∵這個(gè)幾何體有六個(gè)面，∴這是個(gè)六面體，故①正確；在②中，∵這個(gè)幾何體的側(cè)棱延長(zhǎng)后不能交于同一點(diǎn)，所以這不是個(gè)四棱臺(tái)，故②錯(cuò)誤；在③中，假如把這個(gè)幾何體的正面或背面作為底面就會(huì)發(fā)覺這是一個(gè)四棱柱，故③正確；在④中，如圖1所示，此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到，故④正確；在⑤中，如圖2所示，此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到，故⑤正確．故選①③④⑤.圖1圖28．如圖，M是棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm.【答案】eq\r(13)【解析】由題意，若以BC為軸綻開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為軸綻開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為1,4，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是eq\r(13)cm.9．如圖，在邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個(gè)幾何體共有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形有何特點(diǎn)？(3)每個(gè)面的三角形面積為多少？解：(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個(gè)幾何體共有4個(gè)面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.10．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？假如是，則該圖形是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？假如是，則該圖形是幾棱柱，并用符號(hào)表示；假如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面是相互平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側(cè)面)，且相鄰側(cè)面的公共邊相互平行，符合棱柱的定義．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.B級(jí)——實(shí)力提升練11．下列命題中，真命題是()A．頂點(diǎn)在底面上的投影究竟面各頂點(diǎn)的距離相等的三棱錐是正三棱錐B．底面是正三角形，各側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐C．頂點(diǎn)在底面上的投影為底面三角形的垂心的三棱錐是正三棱錐D．底面是正三角形，并且側(cè)棱都相等的三棱錐是正三棱錐【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為三角形外心，該三角形不肯定為正三角形，故該命題是假命題；對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，△ABC為正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱錐，故該命題是假命題；對(duì)于選項(xiàng)C，頂點(diǎn)在底面上的投影為底面三角形的垂心，底面為隨意三角形皆可，故該命題是假命題；對(duì)于選項(xiàng)D，頂點(diǎn)在底面上的投影是底面三角形的外心，又因?yàn)榈酌嫒切螢檎切?，所以外心即為中心，故該命題是真命題．故選D．12．如圖，往透亮塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列三個(gè)說(shuō)法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不變更；③當(dāng)E在AA1上時(shí)，AE＋BF是定值．其中，正確的說(shuō)法是()A．①② B．①C．①②③ D．①③【答案】D【解析】明顯水的部分呈三棱柱或四棱柱狀，故①正確；容器傾斜度越大，水面四邊形EFGH的面積越大，故②不正確；由于水的體積不變，四棱柱ABFE-DCGH的高不變，所以梯形ABFE的面積不變，所以AE＋BF是定值，故③正確．所以四個(gè)命題中①③正確．故選D．13．從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中隨意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是：①矩形的4個(gè)頂點(diǎn)；②每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；③每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；④有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)．其中正確結(jié)論為________．【答案】①②③④【解析】如圖所示，四邊形ABCD為矩形，故①滿意條件；四面體D-A1BC1為每個(gè)面均為等邊三角形的四面體，故②滿意條件；四面體D-B1C1D1為每個(gè)面都是直角三角形的四面體，故③滿意條件；四面體C-B1C1D1為有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體，故④滿意條件．故正確為①②③④.14．長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的相鄰三個(gè)面的面積分別為12,6,8，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為________．【答案】eq\r(29)【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝12，,bc＝6，,ac＝8，))∴abc＝24.分別除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.∴體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(42＋32＋22)＝eq\r(29).15．如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作截面△AEF，求△AEF周長(zhǎng)的最小值．解：將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開，并將其側(cè)面綻開平鋪在一個(gè)平面上，如圖，線段AA1的長(zhǎng)為所求△AEF周長(zhǎng)的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4eq\r(2).∴△AEF周長(zhǎng)的最小值為4eq\r(2).16．給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個(gè)底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)底面是正三角形的三棱柱模型，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．解：如圖1所示，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)底面為正三角形的三棱錐．圖1圖2如圖2所示，在正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的eq\f(1,4)，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折成，可成為一個(gè)缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)底面為正三角形的棱柱的上底．C級(jí)——探究創(chuàng)新練17．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，