數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測(cè)評(píng)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘）1．在下列命題中，不是公理的是(）A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線【解析】選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不需要證明的．【答案】A2．（2017·安徽合肥一模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．過(guò)BD且與PC平行的平面交PA于點(diǎn)M，則M為PA的中點(diǎn)B．過(guò)AC且與PB垂直的平面交PB于點(diǎn)N，則N為PB的中點(diǎn)C．過(guò)AD且與PC垂直的平面交PC于點(diǎn)H，則H為PC的中點(diǎn)D．過(guò)P，B,C的平面與平面PAD的交線為直線l，則l∥AD【解析】設(shè)AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)．∵過(guò)BD且與PC平行的平面交PA于M點(diǎn),∴OM∥PC,∴M是PA的中點(diǎn),故A正確．設(shè)N為PB的中點(diǎn)，連接AN，∵PA與AB不相等，∴AN與PB不垂直，∴過(guò)AC且與PB垂直的平面交PB于N點(diǎn)，則N一定不是PB的中點(diǎn)，故B錯(cuò)誤．∵四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，∴PA＝AC,PD＝DC，∴過(guò)AD且與PC垂直的平面交PC于H點(diǎn)，則H為PC的中點(diǎn)，故C正確．∵AD∥BC，平面PAD與平面PCB有公共點(diǎn)P，∴l(xiāng)∥AD∥BC,故D正確．故選B.【答案】B3．(2016·浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直線l,若直線m，n滿足m∥α,n⊥β，則（)A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【解析】由題意知，直線m與l以及直線m與n的位置關(guān)系不能確定，故A，B，D不正確．又n⊥β且l?β，則n⊥l。故選C.【答案】C4．(2017·江西南昌模擬)設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a,l⊥b”是“l(fā)⊥α”的()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】a，b是平面α內(nèi)兩條不同的直線,l是平面α外的一條直線,l⊥a，l⊥b,若a∥b，l可以與平面α斜交,推不出l⊥α；若l⊥α，a,b是平面α內(nèi)兩條不同的直線，由線面垂直的性質(zhì)定理，得l⊥a,l⊥b，∴“l(fā)⊥a，l⊥b"是“l(fā)⊥α”的必要而不充分條件．故選C。【答案】C5．(2017·湖南衡陽(yáng)模擬）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行【解析】如圖，連接C1D，BD，AC，在三角形C1DB中，MN∥BD,故C正確；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD,∴MN與CC1垂直，故A正確；∵AC⊥BD，MN∥BD,∴MN與AC垂直,故B正確；∵A1B1與BD不平行，MN∥BD，∴MN與A1B1不平行，故D錯(cuò)誤．故選D.【答案】D6．(2016·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。③如果α∥β，m?α,那么m∥β。④如果m∥n,α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號(hào)）【解析】①不正確．由m⊥n,m⊥α，可知n∥α或n?α.又n∥β,∴α∥β或α∩β＝l（但不一定垂直)．②正確．n∥α，則存在n′?α,n∥n′,又m⊥α，則必有m⊥n′，∴m⊥n。③正確．α∥β，則α內(nèi)任一直線均與β平行，又m?α，∴m∥β。④正確．m∥n，∴m,n與α所成的角相等．又α∥β,∴n與α,β所成的角相等．∴m與α所成的角和n與β所成的角相等．故答案為②③④?！敬鸢浮竣冖邰?．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．【解析】EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的側(cè)面有4個(gè)．【答案】48．（2015·浙江)如圖,三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M,N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．【解析】如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN,∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3,AD＝BC＝2,N為BC的中點(diǎn)，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2），∴MK＝eq\r(2）.在Rt△CKN中,CK＝eq\r（（\r（2)）2＋12)＝eq\r(3）。在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(（\r（2)）2＋（2\r（2)）2－（\r（3)）2,2×\r(2）×2\r(2））＝eq\f(7,8）.【答案】eq\f(7,8）9．(2015·四川高考改編）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．【解析】如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD。QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3）.【答案】eq\f（π，3）10．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上,且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過(guò)E,F，G的平面交AD于點(diǎn)H.（1）求AH∶HD；（2）求證：EH,FG，BD三線共點(diǎn)．【解析】（1）∵eq\f（AE，EB)＝eq\f（CF，F(xiàn)B）＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD＝GH,∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴eq\f(AH，HD）＝eq\f(CG,GD）＝3，∴AH∶HD＝3∶1.(2）證明∵EF∥GH，且eq\f(EF，AC）＝eq\f(1,3)，eq\f(GH，AC）＝eq\f（1,4)，∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD,又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD,∴P∈BD?！郋H,FG，BD三線共點(diǎn)．B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘）11．（2016·上海閔行區(qū)期末調(diào)研）已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲:A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】若A，B，C,D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直線AC和BD不相交,若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C,D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．【答案】A12．（2017·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)）如圖,矩形ABCD中,AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過(guò)程中，下面四個(gè)命題中不正確的是(）A．｜BM｜是定值B．點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)C．存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD．存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE【解析】取DC中點(diǎn)F,連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2）A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上,可得A、B正確．由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正確;A1C在平面ABCD中的射影與AC重合，AC與DE不垂直,可得C不正確．【答案】C13．如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE,EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．【解析】還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角,DE⊥MN。【答案】②③④14．已知A是△BCD所在平面外的一點(diǎn),E，F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn)．（1）求證:直線EF與BD是異面直線；(2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．【解析】（1）證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A，B，C,D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．（2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1，2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°。15．如圖，在三棱錐P。ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f（π,2)，AB＝2,AC＝2eq\r(3)，PA＝2。求：(1）三棱錐P。ABC的體積；(2）異面直線BC與AD所成角的余弦值．【解析】(1）S△ABC＝eq\f（1,2)×2×2eq\r(3）＝2eq\r（3)，三棱錐P。ABC的體積為V＝e