第06講 有理數(shù)的加法與減法（8種題型）（解析版）

第06講有理數(shù)的加法與減法（8種題型）1．理解有理數(shù)加減法的意義；2．初步掌握有理數(shù)加法與減法法則；3．能準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的加法與減法運(yùn)算，并能運(yùn)用其解決簡單的實(shí)際問題．一．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號(hào)加減，取絕對值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對值”．）（2）相關(guān)運(yùn)算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．三．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．四、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算技巧（1）把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；（2）去括號(hào)時(shí)注意符號(hào)，能省掉的“”號(hào)要省掉；（3）多觀察，巧妙利用運(yùn)算律簡便計(jì)算．題型一：有理數(shù)的加法法則例1.計(jì)算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)；(4)(－89)＋0.解析：利用有理數(shù)加法法則，首先判斷這兩個(gè)數(shù)是同號(hào)兩數(shù)、異號(hào)兩數(shù)還是同0相加，然后根據(jù)相應(yīng)法則來確定和的符號(hào)和絕對值．解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))＝1eq\f(1,3)；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)＝0；(4)(－89)＋0＝－89.方法總結(jié)：兩數(shù)相加時(shí)，應(yīng)先判斷兩數(shù)的類型，然后根據(jù)所對應(yīng)的法則來確定和的符號(hào)與絕對值．【變式1】計(jì)算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案與解析】（1）（2）屬于同一類型，用的是加法法則的第一條;（3）（4）屬于同一類，用的是加法法則的第二條；（5）用的是第二條：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（6）用的是法則的第三條．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【總結(jié)升華】絕對值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，是有理數(shù)加法的難點(diǎn)，在應(yīng)用法則時(shí)，一定要先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對值．【變式2】設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，計(jì)算：______．【答案】3【分析】根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵表示不超過的最大整數(shù)，∴，∴；故答案為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式3】計(jì)算：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則及求一個(gè)數(shù)的絕對值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算及求一個(gè)數(shù)的絕對值；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【變式4】探究規(guī)律，完成相關(guān)題目：對非零數(shù)定義一種新的運(yùn)算，叫※（宏）運(yùn)算．下列是一些按照※（宏）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式；；；；．(1)我們在研究有理數(shù)的加法運(yùn)算時(shí)，既要考慮符號(hào)，又要考慮絕對值．請你類比有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，歸納※（宏）運(yùn)算的運(yùn)算法則；同號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏）運(yùn)算時(shí)，異號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏）運(yùn)算時(shí)．(2)計(jì)算：．（括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一致）(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，請你判斷交換律和結(jié)合律在※（宏）運(yùn)算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個(gè)例子即可）【答案】(1)同號(hào)得正，并把它們的絕對值相加；異號(hào)得負(fù)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值(2)(3)加法交換律適用，加法結(jié)合律不適用，例子見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以總結(jié)出※（宏）運(yùn)算的運(yùn)算法則；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可以解答本題，注意運(yùn)算順序；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論分別采用加法交換律和結(jié)合律計(jì)算可以解答本題．【詳解】（1）解：由題意可得，歸納※（宏運(yùn)算的運(yùn)算法則：同號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，并把它們的絕對值相加，異號(hào)兩數(shù)進(jìn)行※（宏運(yùn)算時(shí)，異號(hào)得負(fù)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；故答案為：同號(hào)得正，并把它們的絕對值相加；異號(hào)得負(fù)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．（2）解：，，，故答案為：；（3）解：，．加法交換律適用；，，而，加法結(jié)合律不適用．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的加法運(yùn)算的計(jì)算方法．題型二：有理數(shù)加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用例2.股民默克上星期五以收盤價(jià)67元買進(jìn)某公司股票1000股，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況：星期一二三四五每股漲跌/元44.5－1－2.5－6(1)星期三收盤時(shí)，每股多少元？(2)本周內(nèi)每股最高價(jià)多少元？最低價(jià)多少元？解析：(1)用買進(jìn)的價(jià)格加上周一、周二、周三的漲跌價(jià)格，然后根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；(2)分別求出這五天的價(jià)格，然后即可得解．解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盤時(shí)，每股74.5元；(2)周一：67＋4＝71元，周二：71＋4.5＝75.5元，周三：75.5＋(－1)＝74.5元，周四：74.5＋(－2.5)＝72元，周五：72＋(－6)＝66元，∴本周內(nèi)每股最高價(jià)為75.5元，最低價(jià)66元．方法總結(jié)：股票每天的漲跌都是在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，不要理解為每天都是在67元的基礎(chǔ)上漲跌．另外熟記運(yùn)算法則并根據(jù)題意準(zhǔn)確列出算式也是解題的關(guān)鍵．【變式】2022年11月20日18：00（北京時(shí)間），卡塔爾世界杯開幕式在豪爾市的海灣球場舉行．小明為方便各國球迷準(zhǔn)時(shí)觀看比賽，列出了國外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差（帶正號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)）．城市紐約東京豪爾市時(shí)差/時(shí)假設(shè)現(xiàn)在北京時(shí)間是2020年11月22日上午9：00．(1)現(xiàn)在紐約的時(shí)間是幾點(diǎn)？東京時(shí)間是幾點(diǎn)？(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飛行約9小時(shí)到達(dá)豪爾市，那么達(dá)到豪爾市的時(shí)間是幾點(diǎn)？【答案】(1)紐約時(shí)間是2020年11月21日晚上20：00，東京時(shí)間是2020年11月22日上午10：00(2)11月19日下午14：00【分析】（1）（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義結(jié)合有理數(shù)加法計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：，，∴紐約時(shí)間是2020年11月21日晚上20：00，東京時(shí)間是2020年11月22日上午10：00；（2）解，∴在北京坐11月19日上午10：00的航班，是豪爾市11月19日凌晨5：00，，∴到達(dá)豪爾的時(shí)間是11月19日下午14：00．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．題型三：與有理數(shù)性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問題例3.已知|a|＝5，b的相反數(shù)為4，則a＋b＝________．解析：因?yàn)閨a|＝5，所以a＝－5或5，因?yàn)閎的相反數(shù)為4，所以b＝－4，則a＋b＝－9或1.解：－9或1方法總結(jié)：本題涉及絕對值和相反數(shù)的定義，在解決絕對值問題時(shí)要注意考慮全面，避免造成漏解．【變式】若，且，那么的值是（）A．5或1 B．1或 C．5或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的意義和,求出a、b的值，再代入a+b求值即可．【詳解】解：∵|a|=3,|b|=2,∴a=±3，b=±2，∵，∴a=-3，b=2或a=-3，b=-2，∴a+b=-3+2=-1或a+b=-3+（-2）=-5．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值的意義，解題時(shí)先根據(jù)絕對值的意義，求出a、b的值，然后根據(jù)a、b的關(guān)系分類討論求解即可．題型四：加法運(yùn)算律及其應(yīng)用例4.計(jì)算：(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))．解析：(1)把互為相反數(shù)的兩數(shù)相加；(2)可把符號(hào)相同的數(shù)相加；(3)可把相加得到整數(shù)的數(shù)相加．解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))＝(6eq\f(3,5)＋4eq\f(2,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(2eq\f(2,3))＝11＋(－3)＝8.方法總結(jié)：合理地運(yùn)用有理數(shù)的加法運(yùn)算律可使計(jì)算簡化．在進(jìn)行多個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，在下列情況下一般可以用加法交換律和加法結(jié)合律簡化運(yùn)算：①有些加數(shù)相加后可以得到整數(shù)時(shí)，可以先行相加；②有互為相反數(shù)的兩數(shù)可以互相消去，和為0，可以先行相加；③有許多正數(shù)和負(fù)數(shù)相加時(shí)，可以先把符號(hào)相同的數(shù)相加，即正數(shù)和正數(shù)相加，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)相加，再把一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)相加．【變式1】絕對值小于14的所有整數(shù)的和為_________．【答案】0【分析】找出絕對值小于14的所有整數(shù)，求和即可．【詳解】解：絕對值小于14的所有整數(shù)有：0，，，，，，之和為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值的意義，確定絕對值小于14的所有整數(shù)是解本題的關(guān)鍵，熟練掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)為0．【變式2】某公路養(yǎng)護(hù)小組乘車沿南北方向巡視維修，某天早晨他們從A地出發(fā)，晚上最后到達(dá)B地，約定向北為正方向，當(dāng)天的行駛記錄如下．(單位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽車行駛1km耗油aL，求該天耗油多少L?解析：(1)首先把題目的已知數(shù)據(jù)相加，然后根據(jù)結(jié)果的正負(fù)即可確定B地在A何方，相距多少千米；(2)首先把所給的數(shù)據(jù)的絕對值相加，然后乘以a即可求解．解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝38＋(－37)＝1(km)故B地在A地正北，相距1千米；(2)該天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L)．答：該天耗油75aL.方法總結(jié)：解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，其次是要正確理解題目意圖，選擇正確的方式解答．【變式3】）閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計(jì)算：原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項(xiàng)法．仿照上面的方法，請你計(jì)算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.【答案】-2.【分析】讀懂例題，根據(jù)例題拆項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】解：原式＝[(-2018)+()]＋[(－2017)＋()]＋[(－1)＋(－)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－)＋(－)＋(－)]＝0＋[(－)＋(－)＋(－)]＝－2.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，必須熟練掌握，并且掌握此方法.題型五：有理數(shù)減法法則的直接運(yùn)用例5、計(jì)算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【思路點(diǎn)撥】此題是有理數(shù)的減法運(yùn)算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算．【答案與解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運(yùn)算符號(hào)按法則進(jìn)行計(jì)算，也可以看作是性質(zhì)符號(hào)按多重符號(hào)化簡進(jìn)行計(jì)算.【變式】(1)2－(－3)；(2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)；(3)．【思路點(diǎn)撥】此題是有理數(shù)的減法運(yùn)算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算．【答案與解析】本題可直接利用有理數(shù)的減法法則進(jìn)行計(jì)算．(1)2－(－3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運(yùn)算符號(hào)按法則進(jìn)行計(jì)算，也可以看作是性質(zhì)符號(hào)按多重符號(hào)化簡進(jìn)行計(jì)算.題型六：加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算例6.將下列式子寫成省略括號(hào)和加號(hào)的形式，并用兩種讀法將它讀出來．(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)解析：先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號(hào)和加號(hào)；讀有理式，式子中第一項(xiàng)的符號(hào)，要作為這一項(xiàng)的符號(hào)讀出正負(fù)來，式子中的符號(hào)就讀作加或減．解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.讀法①：負(fù)13、正7、負(fù)21、負(fù)9、正32的和；讀法②：負(fù)13減去負(fù)7減去21減去9加上32.方法總結(jié)：注意掌握括號(hào)前是“＋”號(hào)時(shí)，將括號(hào)連同它前邊的“＋”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變；括號(hào)前是“－”號(hào)時(shí)，將括號(hào)連同它前邊的“－”去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)．題型七：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算例7.計(jì)算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))．解析：本題根據(jù)有理數(shù)加減互為逆運(yùn)算的關(guān)系把減法統(tǒng)一成加法，省略加號(hào)后，運(yùn)用加法運(yùn)算律，簡化運(yùn)算，求出結(jié)果．其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合．另外，同號(hào)各數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的各數(shù)先結(jié)合．解：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))＝－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)＋12eq\f(2,3)－14－11eq\f(2,15)＝(－14eq\f(2,3)＋12eq\f(2,3))＋(11eq\f(2,15)－11eq\f(2,15))－14＝－2＋0－14＝－16；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))＝eq\f(2,3)－eq\f(1,8)＋eq\f(1,3)－eq\f(3,8)＝(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))＋(－eq\f(1,8)－eq\f(3,8))＝1＋(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).方法總結(jié)：(1)為使運(yùn)算簡便，可適當(dāng)運(yùn)用加法的結(jié)合律與交換律．在交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換．(2)注意同分母分?jǐn)?shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相加，這樣計(jì)算簡便．(3)當(dāng)一個(gè)算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡便．【變式1】計(jì)算，能用簡便方法的用簡便方法計(jì)算.（1）26－18+5－16；（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【答案與解析】（1）26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16)→統(tǒng)一成加法=(26+5)+[(－18)+(－16)]→符號(hào)相同的數(shù)先加=31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[(+7)+(－7)]+[(－21)+(+21)]→互為相反數(shù)的兩數(shù)先加=0（3）→同分母的數(shù)先加（4）→統(tǒng)一成加法→整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)分別加（5）→統(tǒng)一同一形式（小數(shù)或分?jǐn)?shù)），把可湊整的放一起（6）→整數(shù)，分?jǐn)?shù)分別加【總結(jié)升華】在進(jìn)行加減混合的運(yùn)算時(shí)，(1)先將各式中的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；（2）觀察各加數(shù)之間的關(guān)系，再運(yùn)用“技巧”適當(dāng)交換加數(shù)的位置，注意交換時(shí)各加數(shù)的帶著符號(hào)一起交換．【變式2】計(jì)算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17；（3）（4）（5）；（6）【答案與解析】（1）觀察各個(gè)加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)－3.72與3.72互為相反數(shù)，把它們分為一組；4.18、－2.93與－1.25的和為0，把它們分為一組可使計(jì)算簡便．解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別分為一組．解：11－12+13－15+16－18+17＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)＝57+(－45)＝12（3）仔細(xì)觀察各個(gè)加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小數(shù)的和是－1，兩個(gè)整數(shù)的和是29，三個(gè)分?jǐn)?shù)通分后也不難算．故把整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)分別分為一組．解：（4）3.46和1.54的和為整數(shù),把它們分為一組；－3.87與3.37的和為－0.5，把它們分為一組；與易于通分，把它們分為一組；與同分母，把它們分為一組．解：（5）先把整數(shù)分離后再分組．解：注：帶分?jǐn)?shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)分離時(shí)，如果這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么分離得到的整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是負(fù)數(shù)，例如．（6）如果按小數(shù)、整數(shù)分組，效果似乎不是很好．可先將小數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一后再考慮分組．解：【總結(jié)升華】計(jì)算多個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，必須先審題，分析特點(diǎn)，尋找規(guī)律，然后再去計(jì)算．注意在交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換.題型八：利用有理數(shù)加減運(yùn)算解決實(shí)際問題例9.下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內(nèi)的水位變化情況(“＋”號(hào)表示水位比前一天上升，“－”號(hào)表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達(dá)到警戒水位．單位：米).星期一二三四五六日水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？解析：(1)先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．理解表中的正負(fù)號(hào)表示的含義，根據(jù)條件計(jì)算出每天的水位即可求解；(2)只要觀察星期日的水位是正負(fù)即可．解：(1)以警戒水位為基準(zhǔn)，前兩天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；則水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；則本周末河流的水位是上升了0.7米．方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是分析題意列出算式，采用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．【變式1】小蟲從點(diǎn)O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的各段路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是多少？在爬行過程中，如果每爬行1cm獎(jiǎng)勵(lì)1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【思路點(diǎn)撥】題目中給出的各數(shù)由兩部分組成：一是性質(zhì)符號(hào)，表示的爬行的方向，二是絕對值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接將它們相加得到的和也包括兩層含義：方向和路程大?。蝗糁话阉鼈兊慕^對值相加，則最后結(jié)果只表示路程的大小.【答案與解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=00表示最后小蟲又回到了出發(fā)點(diǎn)O答：小蟲最后回到了出發(fā)地O.（2）(+5)+(－3)＝+2；(+5)+(－3)+(+10)＝+12；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因?yàn)榻^對值最大的是+12，所以小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是向右12cm;(3)（cm）,所以小蟲爬行的總路程是54cm，由（粒）答：小蟲一共可以得到54粒芝麻.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，這就需要我們認(rèn)真觀察、大膽分析和設(shè)想．【變式2】某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進(jìn)為正，后退為負(fù)，某天自A地出發(fā)到收工時(shí)所走路線（單位：千米）為：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.（1）問收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)？（2）若每千米路程耗油0.2升，問從A地出發(fā)到收工時(shí)共耗油多少升？【答案與解析】（1）求收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)，應(yīng)求出已知10個(gè)有理數(shù)的和，若和為正數(shù)，則在A地前面，若和為負(fù)數(shù)，則在A地后面；距A地的路程均為和的絕對值.解：(1)(+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)=0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽車共行走的路程，即求各數(shù)的絕對值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.答：收工時(shí)在A地前面41千米，從A地出發(fā)到收工時(shí)共耗油13.4升.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，這就需要我們認(rèn)真觀察、大膽分析和設(shè)想．一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?如皋市期中）如圖是某市去年十二月份某一天的天氣預(yù)報(bào)，該天的溫差是（）A．9℃ B．7℃ C．5℃ D．2℃【分析】根據(jù)題意求出最高溫度與最低溫度的差即可．【解答】解：∵最高溫度是﹣2℃，最高溫度是7℃，∴7℃﹣（﹣2℃）＝9℃．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是有理數(shù)的加減法，熟知有理數(shù)的加減法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?東海縣月考）若＝a+b﹣c﹣d，則的值是（）A．2 B．﹣4 C．10 D．﹣10【分析】根據(jù)“新定義”的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，＝1+2﹣3﹣4＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的加減法，掌握有理數(shù)加減法的計(jì)算方法是正確解答的前提，理解“新定義”的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算﹣1﹣3的結(jié)果是（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：﹣1﹣3＝﹣1+（﹣3）＝﹣4，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?東臺(tái)市校級(jí)月考）規(guī)定：把四個(gè)有理數(shù)1，2，3，﹣5分成兩組，每組兩個(gè)，假設(shè)1，3分為一組，2，﹣5分為另一組，則A＝|1+3|+|2﹣5|．在數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)從左到右取兩個(gè)有理數(shù)m、n，再取這兩個(gè)數(shù)的相反數(shù)，對于這樣的四個(gè)數(shù)，其所有A的和為（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n【分析】根據(jù)已知條件，列出所有情況，并求出A的值，即可求得所有A的和．【解答】解：根據(jù)題意，得m＜n，m，n的相反數(shù)為﹣m，﹣n，則有如下三種情況：①m，n為一組，﹣m，﹣n為另一組，此時(shí)有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2n；②m，﹣m為一組，n，﹣n為另一組，此時(shí)有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0；③m，﹣n為一組，n，﹣m為另一組，此時(shí)有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m．∴所有A的和為2m+2n+0+2n﹣2m＝4n．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、絕對值和相反數(shù)．?dāng)?shù)軸上一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離就叫該數(shù)的絕對值．正數(shù)的絕對值大于0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．5．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）將6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的減法改寫成省略加號(hào)的和的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2【分析】先把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后再寫成省略加號(hào)的和的形式，即可解答．【解答】解：6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（﹣3）+7+（﹣2）＝6﹣3+7﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）6．（2023?泗洪縣一模）計(jì)算2+（﹣3）＝﹣1．【分析】根據(jù)異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對值大的數(shù)的符號(hào)，再用較大的絕對值減去較小的絕對值，可得答案．【解答】解：原式＝﹣（3﹣1）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法，先確定符號(hào)，再進(jìn)行絕對值的減法運(yùn)算．7．（2022秋?鹽城期中）某地一天早晨的氣溫是﹣2℃，中午溫度上升了9℃，則中午的氣溫是7℃．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法列式計(jì)算即可．【解答】解：﹣2+9＝7（℃），故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?海安市期末）已知x，a，b為互不相等的三個(gè)有理數(shù)，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為2，則2022+a﹣b的值為2024．【分析】由數(shù)軸上|x﹣a|+|x﹣b|表示的幾何意義，求出a﹣b的值，即可得到答案．【解答】解：∵|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為2，且a＞b，∴a﹣b＝2，∴2022+a﹣b＝2022+2＝2024，∴2022+a﹣b的值為2024．故答案為：2024．【點(diǎn)評】本題考查絕對值，有理數(shù)的減法，關(guān)鍵是掌握：在數(shù)軸上絕對值的幾何意義．9．（2022秋?南通期末）若兩個(gè)有理數(shù)m，n滿足m+n＝66，則稱m，n互為順利數(shù)．已知7x的順利數(shù)是﹣18，則x的值是12．【分析】根據(jù)順利數(shù)的定義列方程求解即可．【解答】解：由順利數(shù)的定義可知，7x﹣18＝66，解得x＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的加法，理解順利數(shù)的定義是正確解答的前提．10．（2022秋?江陰市期末）比﹣3大而比2小的所有整數(shù)的和為﹣3．【分析】首先找出比﹣3大而比2小的所有整數(shù)，在進(jìn)行加法計(jì)算即可．【解答】解：比﹣3大而比2小的所有整數(shù)有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的加法，關(guān)鍵是找出符合條件的整數(shù)，掌握計(jì)算法則．11．（2017秋?儀征市校級(jí)月考）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝﹣6．【分析】先計(jì)算絕對值，再根據(jù)有理數(shù)減法法則計(jì)算即可．【解答】解：23﹣|﹣6|﹣（+23）＝23﹣6﹣23＝﹣6．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算法則及運(yùn)算順序．注意先計(jì)算絕對值．三．解答題（共10小題）12．（2022秋?鹽都區(qū)期中）計(jì)算：（1）（﹣7）+（﹣5）；（2）﹣2.8+3.2；（3）．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）（﹣7）+（﹣5）＝﹣（7+5）＝﹣12；（2）﹣2.8+3.2＝+（3.2﹣2.8）＝0.4；（3）＝＝﹣（）＝．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在橫線上填寫每一步的運(yùn)算依據(jù)：22+（﹣4）+（﹣2）+4；解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交換律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同號(hào)結(jié)合法．＝26+（﹣6）有理數(shù)加法法則．＝20【分析】應(yīng)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）加法交換律．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]同號(hào)結(jié)合法．＝26+（﹣6）有理數(shù)加法法則．＝20．故答案為：加法交換律，同號(hào)結(jié)合法，有理數(shù)加法法則．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）已知：|a|＝4，|b|＝7，若a＞b，求a﹣b的值．【分析】根絕絕對值的意義，a＞b確定a、b的值，再計(jì)算a﹣b．【解答】解：因?yàn)閨a|＝4，|b|＝7，得a＝±4，b＝±7．由a＞b，所以a＝±4，b＝﹣7，當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣7時(shí)，a﹣b＝3，當(dāng)a＝4，b＝﹣7時(shí)，a﹣b＝11．所以a﹣b的值為3或11．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的化簡和有理數(shù)的減法．根據(jù)絕對值的意義及a＜b確定a、b的值是解決本題的關(guān)鍵．15．（2022秋?宿豫區(qū)期中）計(jì)算：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）＝﹣24+14﹣15+23＝﹣24+23+14﹣15＝﹣1﹣1＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．16．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖是三個(gè)三角形，每個(gè)三角形的頂點(diǎn)處都有一個(gè)“〇”，在每個(gè)“〇”中填入一個(gè)數(shù)，滿足這三個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)處的“〇”中的數(shù)的和都等于2．（1）將﹣8、﹣7、﹣6、﹣4、1、3、5、9、13這9個(gè)數(shù)填入恰當(dāng)?shù)奈恢茫沟眠@三個(gè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)處的“〇”中的數(shù)的和都等于2；（2）如果將（1）中的這9個(gè)數(shù)改為﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，還能滿足要求嗎？如果滿足，請?zhí)钤凇癌枴敝?；如果不滿足，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則解答即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法法則解答即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）不能，理由如下：∵（﹣13）+（﹣9）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）+4+6+7+8＝﹣31+25＝﹣6，∴如果將（1）中的這9個(gè)數(shù)改為﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，不能滿足要求．【點(diǎn)評】此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律，注意觀察數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，得出三角形頂點(diǎn)和的規(guī)律，比較新穎．17．（2022秋?興化市校級(jí)月考）已知|a|＝3，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先確定a，b的值，再計(jì)算求解．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝7，∴a＝±3，b＝±7，∵a＜b，∴a＝﹣3，b＝7或a＝3，b＝7，當(dāng)a＝﹣3，b＝7時(shí)，a+b＝﹣3+7＝4；當(dāng)a＝3，b＝7時(shí)，a+b＝3+7＝10，即a+b的值是4或7．【點(diǎn)評】此題考查了運(yùn)用絕對值的知識(shí)解決計(jì)算問題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．18．（2022秋?海安市校級(jí)月考）（1）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a﹣b+c的值．（2）已知有理數(shù)a，b，c滿足|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，求a+b﹣c的值．【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)先求出a＝±1，b＝±2，c＝±3，再根據(jù)a＞b＞c，分情況求出a﹣b+c的值；（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值．【解答】解：（1）∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，∵a＞b＞c，∴①a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝0，②a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，a﹣b+c＝﹣2，∴a+b﹣c的值是0或﹣2；（2）∵|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，3c﹣1＝0，∴a＝1，b＝3，c＝，∴a+b﹣c＝3．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握把有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法，讀懂題意是解題關(guān)鍵．19．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）應(yīng)我國邀請，俄羅斯特技飛行隊(duì)在黃山湖風(fēng)景區(qū)進(jìn)行特技表演．其中一架飛機(jī)起飛后的高度變化如下表：高度變化上升5.5km下降3.2km上升1km下降1.5km下降0.8km記作+5.5km﹣3.2km+1km﹣1.5km﹣0.8km（1）此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了多少千米？（2）若飛機(jī)平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么這架飛機(jī)在這5個(gè)特技動(dòng)作表演過程中，一共消耗多少升燃油？（3）若某架飛機(jī)從地面起飛后先上升5km，然后再做兩個(gè)表演動(dòng)作，這兩個(gè)動(dòng)作產(chǎn)生的高度變化分別是0.6km和1.8km，請你求出這兩個(gè)表演動(dòng)作結(jié)束后，飛機(jī)離地面的高度．【分析】（1）【解答】解：（1）5.5﹣3.2+1﹣1.5﹣0.8＝1（km）；答：此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了1千米．（2）（5.5+1）×4+（3.2+1.5+0.8）×2＝6.5×4+5.5×2＝26+11＝37（升），答：一共消耗37升燃油．（3）5+0.6+1.8＝7.4km；5+0.6﹣1.8＝3.8km；5﹣0.6﹣1.8＝2.6km；5﹣0.6+1.8＝6.2km；答：飛機(jī)離地面的高度為7.4km或3.8km或2.6km或6.2km．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)加減運(yùn)算，正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義．20．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|；利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：①數(shù)軸上表示1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是6．②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|．?dāng)?shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x﹣7|．③若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x﹣2|+|x+4|的最小值＝6．④若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x+1|+|x﹣4|＝5，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是9．⑤若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x﹣3|+|x+1|＝8，則滿足條件的x的所有值是5和﹣3．【分析】①利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；②利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；③利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論解答即可；④利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論將滿足條件的所有整數(shù)一一列舉，并把它們相加即可得出結(jié)論；⑤利用數(shù)形結(jié)合思想和題干中的結(jié)論結(jié)合絕對值的意義解答即可．【解答】解：①數(shù)軸上表示1和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是|1﹣（﹣5）|＝6，故答案為：6；②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|，數(shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為|a﹣7|，故答案為：|x+2|；|x﹣7|；③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的點(diǎn)到表示2，﹣4兩點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)x在2和﹣4之間時(shí)，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值為|2﹣（﹣4）|＝6，故答案為：6；④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的點(diǎn)到表示﹣1，4兩點(diǎn)的距離之和為5，又表示﹣1，4兩點(diǎn)的距離之和為5，∴數(shù)x在﹣1和4之間，∵x為整數(shù)，∴滿足條件的所有整數(shù)x的值為：﹣1，0，1，2，3，4，∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，故答案為：9；⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的點(diǎn)到表示﹣1，3兩點(diǎn)的距離之和為8，又∵3﹣（﹣1）＝4，∴表示x的點(diǎn)可能在3的右側(cè)或在﹣1的左側(cè)，即x＞3或x＜﹣1．當(dāng)x＞3時(shí)，∵|x﹣3|+|x+1|＝8，∴x﹣3+x+1＝8，解得：x＝5；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，∵|x﹣3|+|x+1|＝8．∴3﹣x﹣x﹣1＝8，解得：x＝﹣3，綜上，滿足條件的x的所有值是5和﹣3．故答案為：5和﹣3．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的減法，絕對值，數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法解答是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)月考）觀察下列兩個(gè)等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．給出定義如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的對有理數(shù)a，b為“共生有理數(shù)對”，記為（a，b）．如：數(shù)對（2，），（5，）都有“共生有理數(shù)對”．（1）數(shù)對（﹣2，1），（3，）中是“共生有理數(shù)對”的是（3，）；（2）若（4，b）是“共生有理數(shù)對”，則b＝．（3）小丁說：“若（a，b）是‘共生有理數(shù)對’，則（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理數(shù)對’．”小丁說的正確嗎？如果正確，請驗(yàn)證他的說法；如果不正確，請舉出反例．【分析】（1）利用“共生有理數(shù)對”的定義對兩個(gè)數(shù)對進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論；（2）利用“共生有理數(shù)對”的定義列出關(guān)于b的方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）利用“共生有理數(shù)對”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝1，∴2﹣1≠（﹣2）×1+1，∴數(shù)對（﹣2，1）不是“共生有理數(shù)對”；∵3﹣＝，3×+1＝，∴3﹣＝3×+1，∴數(shù)對（3，）是“共生有理數(shù)對”，故答案為：（3，）；（2）∵（4，b）是“共生有理數(shù)對”，∴4﹣b＝4b+1，解得：b＝，故答案為：；（3）小丁說的正確，理由：∵（a，b）是‘共生有理數(shù)對’，∴a﹣b＝ab+1．∵﹣b﹣（﹣a）＝﹣b+a＝a﹣b＝ab+1，∴﹣b﹣（﹣a）＝（﹣b）（﹣a）+1，∴（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理數(shù)對’，∴小丁說的正確．【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義解答是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算所得的正確結(jié)果是（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法即可解答．【詳解】解：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握有理數(shù)的減法運(yùn)算法則是求解的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．2 B． C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則求解即可．【詳解】解：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法，屬于基礎(chǔ)題，掌握加法法則是關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇無錫·七年級(jí)校考階段練習(xí)）把寫成省略加號(hào)和括號(hào)的形式后的式子（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先把運(yùn)算式統(tǒng)一為加法運(yùn)算，再省略加號(hào)與括號(hào)即可．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，省略加號(hào)和的形式的理解，解答本題的關(guān)鍵是省略前一定要統(tǒng)一為加法運(yùn)算．4．（2022秋·江蘇徐州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列說法正確的有（

）個(gè)①在數(shù)軸上0和之間沒有負(fù)數(shù)

②有理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)①絕對值是它本身的數(shù)只有0

④兩數(shù)之和一定大于每個(gè)加數(shù)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系，有理數(shù)的分類，求一個(gè)數(shù)的絕對值，有理數(shù)的加法運(yùn)算，即可一一判定【詳解】解：①在數(shù)軸上0和之間有無數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，故該說法錯(cuò)誤；②有理數(shù)分為正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)，故該說法錯(cuò)誤；③非負(fù)數(shù)的絕對值都是它本身，故該說法錯(cuò)誤；④兩數(shù)之和不一定大于每個(gè)加數(shù)，如，，故該說法錯(cuò)誤；故正確的有0個(gè)，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系，有理數(shù)的分類，求一個(gè)數(shù)的絕對值，有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用各概論和運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇常州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．兩數(shù)相加，其和大于任何一個(gè)加數(shù)B．異號(hào)兩數(shù)相加，其和小于任何一個(gè)加數(shù)C．絕對值相等的異號(hào)兩數(shù)相加，其和一定為零D．兩數(shù)相加，取較小一個(gè)加數(shù)的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法分別分析各個(gè)選項(xiàng)，然后得出結(jié)論即可．【詳解】解：A選項(xiàng)，兩數(shù)相加，其和大于任何一個(gè)加數(shù)，說法錯(cuò)誤，例如：兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，故不符合題意；B選項(xiàng)，異號(hào)兩數(shù)相加，其和小于任何一個(gè)加數(shù)，說法錯(cuò)誤，如果和為正數(shù)，就不滿足題干要求，故不符合題意；C選項(xiàng)，絕對值相等的異號(hào)兩數(shù)相加，其和一定為零，說法正確，故符合題意；D選項(xiàng)，兩數(shù)相加，取絕對值較大一個(gè)加數(shù)的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)，原說法錯(cuò)誤，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)加法的知識(shí)，熟練掌握有理數(shù)加法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）2022世界杯足球比賽在卡塔爾舉行，本次世界杯揭幕戰(zhàn)于當(dāng)?shù)貢r(shí)間11月20日19時(shí)進(jìn)行，由東道主卡塔爾對陣厄瓜多爾．已知中國北京是在東八區(qū)時(shí)區(qū)，卡塔爾是東三區(qū)時(shí)區(qū)，卡搭爾當(dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚5小時(shí)，則揭幕戰(zhàn)是北京時(shí)間（

）A．11月20日14時(shí) B．11月20日19時(shí) C．11月21日19時(shí) D．11月21日0時(shí)【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵卡搭爾當(dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚5小時(shí)，本次世界杯揭幕戰(zhàn)于當(dāng)?shù)貢r(shí)間11月20日19時(shí)進(jìn)行，，∴揭幕戰(zhàn)是北京時(shí)間11月20日14時(shí)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇常州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若兩數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)一定（

）A．兩數(shù)同正 B．兩數(shù)同負(fù) C．兩數(shù)一正一負(fù) D．兩數(shù)中一個(gè)為負(fù)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A．當(dāng)兩數(shù)同正時(shí)，這兩數(shù)的和一定為正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)兩個(gè)數(shù)一正一負(fù)，但是負(fù)數(shù)絕對值較大時(shí)，和也可以為負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)兩數(shù)一正一負(fù)時(shí)，這兩數(shù)的和可能為正數(shù)或負(fù)數(shù)或0，故本選項(xiàng)不符合題意；D．只有當(dāng)兩數(shù)中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，這兩數(shù)的和才可能為負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，且，用“”號(hào)把、、、連接起來為_______．【答案】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義和有理數(shù)加法計(jì)算法則得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，，且，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，相反數(shù)的定義，有理數(shù)加法計(jì)算，正確得到是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果正午（中午12∶00）記作0小時(shí)，午后2點(diǎn)鐘記作+2小時(shí)，那么上午8點(diǎn)鐘可表示為_______小時(shí)．【答案】【分析】因?yàn)檎缬涀?小時(shí)，可以理解為小時(shí)；午后2點(diǎn)鐘記作小時(shí)，可以理解為，由此即可得答案．【詳解】解：由題意得：上午8點(diǎn)鐘可表示為小時(shí)，即小時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比小5的數(shù)是__________．【答案】【分析】用減5即可求解．【詳解】解：，即比小5的數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇鹽城·七年級(jí)校考階段練習(xí)）濱海某冬日的最高氣溫是，最低氣溫是，則該日的日溫差是___________．【答案】【分析】根據(jù)日溫差等于最高氣溫減去最低氣溫即可得．【詳解】解：該日的日溫差為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，正確列出運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）某超市出售的一種品牌大米袋上，標(biāo)有質(zhì)量為的字樣，則從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質(zhì)量最多相差______．【答案】【分析】由的含義可得每袋大米最多不超過，最少可不足，從而可得答案．【詳解】解：某超市出售的一種品牌大米袋上，標(biāo)有質(zhì)量為的字樣，則從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質(zhì)量最多相差故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，有理數(shù)的減法的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，再列式計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上與表示的點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)所表示的數(shù)是_____.【答案】或4/4或【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離關(guān)系及有理數(shù)加減法即可得到答案．【詳解】解：表示左邊的點(diǎn)，比小5的數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是；表示右邊的點(diǎn)，比大5的數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是故答案為或4．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離關(guān)系及有理數(shù)加減法計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分類討論．14．（2022秋·江蘇徐州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一跳蚤在一條數(shù)軸上從原點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位，……，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第次落下時(shí)，落到數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)為__________．【答案】【分析】數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”，依據(jù)規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，所以，當(dāng)它跳第次落下時(shí)，落到數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”是解決本題的關(guān)鍵．15．（2021秋·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某次數(shù)學(xué)考試成績以80分為標(biāo)準(zhǔn)，高于80分記為“”，低于80分記為“”，例如：78分記為“”，81分記為“”，將某小組五名同學(xué)的成績簡記為，，，，0，則這五名同學(xué)的平均成績應(yīng)為__．【答案】82分【分析】求出每個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)的差的平均數(shù)，再加上80分，就是這五名同學(xué)的平均成績.【詳解】這五名同學(xué)的平均成績應(yīng)為故答案為：82分．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算.多個(gè)有理數(shù)求平均值，可以采用新數(shù)據(jù)法.掌握這種計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.三、解答題16．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的減法進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算