高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：二重積分的定義與性質(zhì)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、二重積分的定義二、二重積分的性質(zhì)二重積分的定義與性質(zhì)重積分1．曲頂柱體的體積一、二重積分的定義以xOy平面上的有界閉區(qū)域D為底，以D的邊界曲線L為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，以D為定義域且取正值的連續(xù)函數(shù)

表示的是以連續(xù)曲面為頂所圍的幾何體，稱為曲頂柱體。下面考慮曲頂柱體的體積V的計(jì)算問題。我們知道平頂柱體的底面上各處的高是相同的，所以其體積為高乘以底面積。曲頂柱體的頂是曲面，它在點(diǎn)

處得高度

隨點(diǎn)

的位置不同而變化，上面求平頂柱體的體積公式顯然不適用。于是我們可以借鑒求曲邊梯形面積的方法來計(jì)算曲頂柱體的體積。(1)分割

用一組曲線網(wǎng)將區(qū)域D分割成n個(gè)小閉區(qū)域

小區(qū)域

的面積記為

。以

的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于

軸的柱面，這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體

，其體積也記作(2)近似(3)求和由于

是連續(xù)的，當(dāng)分割相當(dāng)細(xì)時(shí)，曲頂柱體

的高度

變化很小，這時(shí)小曲頂柱體可以近似看作平頂柱體。我們?cè)诿總€(gè)小區(qū)域

上任取一點(diǎn)

，以

為高而底為

的平頂柱體近似地代替細(xì)曲頂柱體，則有把n個(gè)平頂柱體體積累加起來，所得之和作為曲頂柱體V的近似值(4)取極限

令n個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值

趨于零，取上述和式的極限，所得的極限即為所求曲頂柱體的體積2．平面薄片的質(zhì)量設(shè)一平面薄片所占

平面上的閉區(qū)域?yàn)镈，它在點(diǎn)

處的面密度

是D上連續(xù)的正值函數(shù)，現(xiàn)在計(jì)算該薄片的質(zhì)量M。由于密度

是連續(xù)變化的，若把薄片分成許多小塊后，則在每一小塊上的面密度可以近似地看作常數(shù)。這樣，我們又可用上述方法計(jì)算此薄片的質(zhì)量。用網(wǎng)線將平面區(qū)域D劃分成n個(gè)子閉區(qū)域

其面積記作

，在每一子閉區(qū)域上任取一點(diǎn)

，以

代替

上各點(diǎn)處的密度，則

這塊薄片的質(zhì)量近似為

，薄片D的質(zhì)量近似為上面兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，雖然它們的實(shí)際背景不同，但是解決問題的方法卻是完全一致的，所求的量都?xì)w納為同一形式的和式極限。這樣，就抽象出二重積分的定義。3．二重積分的定義定義

設(shè)函數(shù)

是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域其中

表示第i個(gè)小區(qū)域及其面積。在每個(gè)小區(qū)域

上任取一點(diǎn)

，求和

。如果各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨于零時(shí)，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)

在閉區(qū)域D上的二重積分。記作

，即其中

稱為被積函數(shù)，

稱為被積表達(dá)式，

稱為面積元素，

稱為積分變量（二重積分的值與積分變量用什么字母無關(guān)），D稱為積分區(qū)域，

稱為積分和。二重積分的定義中對(duì)區(qū)域D的劃分方式是任意的。在直角坐標(biāo)系中，用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分D，那么除了包含邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小區(qū)域外，其余的都是小矩形閉區(qū)域

，邊長分別記為

及

，則

。因此，在直角坐標(biāo)系中有時(shí)把面積元素

記作

，故把二重積分

寫為

。其中

稱作直角

坐標(biāo)中的面積元素。一般地，若

，則該積分在幾何意義就是以區(qū)域D為底，以曲面

為頂?shù)那斨w體積。如果

在D的若干部分區(qū)域上是正的，我們可以把在

面上方的柱體體積取成正，在

面下方的柱體體積取成負(fù)。當(dāng)

時(shí)，柱體在

面的下方，二重積分的值是負(fù)的，它的絕對(duì)值仍等于柱體的體積。于是，

在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。下面的定理給出二重積分存在的一個(gè)充分條件。定理

設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域上有定義，且連續(xù)，則

在該區(qū)域上的二重積分一定存在。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1

（線性性）設(shè)

為常數(shù)，則性質(zhì)2

（區(qū)域可加性）如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域

和

，則性質(zhì)3

如果在D上，

，

為D的面積，則這就是說，高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。性質(zhì)4

如果在D上，

，則有特殊地，由于

，則有性質(zhì)5（估值不等式）

設(shè)M，m分別是