高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：函數(shù)的極限

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、自變量趨向于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)的極限極限與連續(xù)二、自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限所謂自變量趨向于無(wú)窮大有下面三種情形：一、自變量趨向于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限（1）取正值且無(wú)限增大，記為；（2）取負(fù)值而無(wú)限增大，記為；（3）既可取正值，也可取負(fù)值而無(wú)限增大，記為。定義1若當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無(wú)限無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)確定常數(shù)，則稱是當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限，記為或定義2設(shè)函數(shù)在上有定義，若對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論多么小），總存在正整數(shù)，使得適合不等式的所有，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足則常數(shù)就稱為當(dāng)時(shí)的極限。上述定義的幾何意義是：對(duì)于無(wú)論多么小的正數(shù)，總能找到正數(shù)，當(dāng)或時(shí)，曲線介于兩條水平直線和之間。

在的定義中，將換成可以得到

的定義；若將換成就可以得到的定義。例1用定義驗(yàn)證。證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有定義。對(duì)于任意給定的正數(shù)，要使，只要，可取，當(dāng)時(shí)，有成立，從而例2討論當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限。從圖中，我們可以看到：解：所以,當(dāng)時(shí)，函數(shù)值不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，故時(shí)，函數(shù)的極限不存在。二、自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限我們先來(lái)觀察當(dāng)趨向于1時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)。函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義，但當(dāng)時(shí)，

。從的圖形看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于2。定義3設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)無(wú)限接近于時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱是當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限，記為或（當(dāng)時(shí)）這里值得注意的是：當(dāng)時(shí)，以為極限與

在處是否有定義無(wú)關(guān)。當(dāng)無(wú)限接近于時(shí)，

無(wú)限接近于的意思是：當(dāng)與充分靠近，即當(dāng)充分小時(shí)，可以小于預(yù)先給定的任意正數(shù)（無(wú)論該正數(shù)多么小）。定義4設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)，恒有不等式成立，則稱是當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限。此定義的幾何意義是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，無(wú)論其多么小，總存在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域，使得函數(shù)在這個(gè)去心鄰域內(nèi)的圖形介于兩條水平直線

和之間。如下圖性質(zhì)1性質(zhì)2（其中為常數(shù)）。在的定義中，可以以任意方式趨向。有時(shí)，可以只考慮從的某一側(cè)（左側(cè)：；右側(cè)：）趨于時(shí)的變化趨勢(shì)。為明確起見，引進(jìn)函數(shù)的左極限與右極限的概念，其定義如下：定義5設(shè)函數(shù)在的某個(gè)左（右）鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)小于（大于）而趨于時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某一確定常數(shù)，則稱常數(shù)是當(dāng)時(shí)函數(shù)的左（右）極限：左極限記為：

右極限記為：或或根據(jù)時(shí)函數(shù)的極限定義、左極限和右極限的定義，可以得到下面的結(jié)論。定理1極限

的充分必要條件是因此，當(dāng)及都存在，但不相等，或者

與中至少一個(gè)不存在時(shí)，就可斷言

在處極限不存在。先分別求當(dāng)時(shí)的左、右極限：例4設(shè)，試判斷是否存在。由于左、右極限存在但不相等，所以極限不存在。解：例5判斷極限