2024-2025學年八年級數(shù)學下冊第十六章二次根式16.3二次根式的加減精講精練含解析新版新人教版

Page116.3二次根式的加減學問點解讀學問點1：同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，假如被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。學問點2：二次根式的加減二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進行合并。學問點3：二次根式的混合運算(1)明確運算的依次，即先乘方、開方，再乘除，最終算加減，有括號先算括號里；(2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.對點例題解析【例題1】（2024?常德）計算：92-【答案】32．【解析】原式=32＝32．【點撥】干脆化簡二次根式進而合并得出答案．【例題2】（2024?山東省濱州市）計算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝．【答案】2+4．【解析】依據(jù)二次根式的混合計算解答即可．原式＝，故答案為：2+4．【例題3】計算【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)，則【例題4】（2024山東棗莊）視察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…請利用你發(fā)覺的規(guī)律，計算：+++…+，其結(jié)果為．【答案】2024．【解析】依據(jù)題意找出規(guī)律，依據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2024+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2024達標訓練題一、選擇題1．（2024?泰州）下列等式成立的是（）A．3+42=72 B．3×2=5 C．3【答案】D【解析】A．3與42不是同類二次根式，不能合并，此選項計算錯誤；B．3×C．3÷16D．(-【點撥】依據(jù)二次根式的加、乘、除法法則及二次根式的性質(zhì)逐一推斷即可得．2.實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b【答案】A．【解析】干脆利用數(shù)軸上a，b的位置，進而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用肯定值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．由圖可知：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．3.計算eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))的結(jié)果是()A．－eq\r(3)B.eq\r(3)C．－eq\f(11,3)eq\r(3)D.eq\f(11,3)eq\r(3)【答案】B【解析】eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＝4eq\r(3)－3eq\r(3)＝eq\r(3)4．下列計算正確的是()A.eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(5)B.eq\r(3)×eq\r(2)＝6C.eq\r(12)－eq\r(3)＝eq\r(3)D.eq\r(8)÷eq\r(2)＝4【答案】C【解析】eq\r(12)－eq\r(3)＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).5.下列計算正確的是（）A． ab?ab=2ab B． （2a）3=2a3C． 3﹣=3（a≥0） D． ?=（a≥0，b≥0）【答案】D【解析】此題主要考查了二次根式的加減運算以及積的乘方運算等學問，正確駕馭相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．分別利用積的乘方以及二次根式的乘法運算法則化簡求出即可．A．a(chǎn)b?ab=a2b2，故此選項錯誤；B．（2a）3=8a3，故此選項錯誤；C．3﹣=2（a≥0），故此選項錯誤；D．?=（a≥0，b≥0），正確．6．下列運算正確的是（）A．﹣=B．=﹣3C．a(chǎn)?a2=a2D．（2a3）2=4a6【答案】D【解析】干脆利用二次根式加減運算法則以及積的乘方運算法則和冪的乘方運算法則、同底數(shù)冪的乘法運算法則、二次根式的性質(zhì)分別化簡推斷即可．A．﹣無法計算，故此選項錯誤；B．=3，故此選項錯誤；C．a(chǎn)?a2=a3，故此選項錯誤；D．（2a3）2=4a6，正確．7．計算3﹣2的結(jié)果是（）A．B．2C．3D．6【答案】A【解析】干脆利用二次根式的加減運算法則求出答案．原式=（3﹣2）=．8．下列計算正確的是（）A．B．xy2÷C．2D．（xy3）2=x2y6【答案】D【解析】分別利用二次根式加減運算法則以及分式除法運算法則和積的乘方運算法則化簡推斷即可．A．無法化簡，故此選項錯誤；B．xy2÷=2xy3，故此選項錯誤；C．2+3，無法計算，故此選項錯誤；D．（xy3）2=x2y6，正確．9．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】干脆利用同類二次根式的定義分別化簡二次根式求出答案．A．=3，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；B．=，與，是同類二次根式，故此選項正確；C．=2，與不是同類二次根式，故此選項錯誤；D．==，與不是同類二次根式，故此選項錯誤。10.下列計算正確的是（）A． B． =2 C． （）﹣1= D． （﹣1）2=2【答案】B【解析】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了負整數(shù)整數(shù)冪．依據(jù)二次根式的加減法對A進行推斷；依據(jù)二次根式的除法法則對B進行推斷；依據(jù)負整數(shù)整數(shù)冪對B進行推斷；依據(jù)完全平方公式對D進行推斷．A.與不能合并，所以A選項錯誤；B.原式==2，所以B選項正確；C.原式==，所以C選項正確；D.原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D選項正確．11．已知x=2﹣，則代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣【答案】C【解析】未知數(shù)的值已給出，利用代入法即可求出．把x=2﹣代入代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．二、填空題12．（2024?衡陽）27-3【答案】23．【解析】原式＝33-3=【點撥】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．13.（2024貴州遵義）計算的結(jié)果是【答案】【解析】14.（2024?南京）計算﹣的結(jié)果是．【答案】0【解析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可．原式＝2﹣2＝0．15.計算：﹣2等于．【答案】2．【解析】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類項即可．原式=3﹣=2．16.（﹣）×=．【答案】8【解析】此題考查了二次根式的混合運算，嫻熟駕馭運算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用乘法安排律及二次根式乘法法則計算即可得到結(jié)果．解答： 解：原式=﹣=9﹣1=817．計算：（+）2﹣=．【答案】5【解析】本題考查的是二次根式的混合運算，在進行此類運算時，駕馭運算依次，先運用完全平方公式，再將二次根式化為最簡二次根式的形式后再運算是解答此題的關(guān)鍵．原式=2+2+3﹣2=5．18．實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，化簡+a=．【答案】1【解析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)與化簡，=a（a≥0）是解題關(guān)鍵．依據(jù)二次根式的性質(zhì)，可化簡二次根式，依據(jù)整式的加法，可得答案．+a=1﹣a+a=119．當a=﹣1時，代數(shù)式的值是．【答案】．【解析】依據(jù)已知條件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子進行化簡，然后代值計算即可．∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，∴====；解答題20．（2024?銅仁市）計算：2÷12-（﹣1）2024-4-【答案】見解析。【分析】原式利用除法法則，乘方的意義，算術(shù)平方根定義，以及零指數(shù)冪法則計算即可求出值；【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；21.推斷下列各組根式是否是同類根式：【答案】見解析?！窘馕觥繋讉€二次根式化成最簡二次根式以后，假如被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以推斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。所以兩個根式是同類根式。22.化簡：【答案】見解析?！窘馕觥?，所以，可看作可利用乘法公式來進行化簡，使運算變得簡潔。原式23．計算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪．先依據(jù)平方差公式和零指數(shù)冪的意義得到原式=3﹣1+2﹣1，然后進行加減運算．原式=3﹣1+2﹣1=1+2．24．閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)覺一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+=（1+）2．擅長思索的小明進行了以下探究：設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探究并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探究的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn．（2）4、1．（3）13【解析】依據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后依據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值；依據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．（2）設(shè)m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案為4、2、1、1．（3）由題意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．25.求值：【答案】見解析?！窘馕觥靠焖?、精確地進行二次根式的加減乘除運算是本章的重點內(nèi)容，必需駕馭，要特殊留意運算依次和有意識的運用運算律，尋求合理的運算步驟，得到正確的運算結(jié)果。26.當.【答案】3【解析】，將代入，原式=3.27．計算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【答案】見解析。【解析】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了負整數(shù)整數(shù)冪。依據(jù)二次根式的乘法法則和負整數(shù)整數(shù)冪的意義得到原式=﹣+2+8，然后化簡后合并即可．原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．28.先化簡，再求值：（+）÷，其中a，b滿意+|b﹣|=0．【答案】見解析?！窘馕觥肯劝逊肿雍头帜敢蚴椒纸夂统ㄟ\算化為乘法運算，再計算括號內(nèi)的運算，然后約分得到原式=，再依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入計算即可．原式=[﹣]?=（﹣）?=?=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，當a=﹣1，b=時，原式=﹣=﹣29．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【答案】見解析?！窘馕觥恳罁?jù)x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化簡原式，代入求值即可．∵x=1﹣，y=1+，∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，xy=（1﹣）（1+）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）=7+4．30.計算：（-3）0—++．【答案】-2．【解析】視察，可以首先去肯定值以及二次根式化簡，再合并同類項．（-3）0—++=1-3+-1+=-3++-=-2．31.用配方法化簡【答案】見解析。【解析】原式32.計算【答案】見解析?！窘馕觥恳驗樗栽阶ⅲ耗嬗梅▌t進行轉(zhuǎn)換，再應(yīng)用“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零”的性質(zhì)。33.已知，求的值。【答案】見解析。【解析】因為，所以它的倒數(shù)而則34．閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．斐波那契（約1170﹣1250）是意大利數(shù)學家，他探討了一列數(shù)，這列數(shù)特別奇異，被稱為斐波那契數(shù)列（依據(jù)肯定依次排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）．后來人們在探討它的過程中，發(fā)覺了很多意想不到的結(jié)果，在實際生活中，很多花朵（如梅花