2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十六章二次根式16.3二次根式的加減精講精練含解析新版新人教版

Page116.3二次根式的加減學(xué)問點(diǎn)解讀學(xué)問點(diǎn)1：同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，假如被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。學(xué)問點(diǎn)2：二次根式的加減二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。學(xué)問點(diǎn)3：二次根式的混合運(yùn)算(1)明確運(yùn)算的依次，即先乘方、開方，再乘除，最終算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里；(2)整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.對(duì)點(diǎn)例題解析【例題1】（2024?常德）計(jì)算：92-【答案】32．【解析】原式=32＝32．【點(diǎn)撥】干脆化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案．【例題2】（2024?山東省濱州市）計(jì)算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝．【答案】2+4．【解析】依據(jù)二次根式的混合計(jì)算解答即可．原式＝，故答案為：2+4．【例題3】計(jì)算【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)，則【例題4】（2024山東棗莊）視察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…請(qǐng)利用你發(fā)覺的規(guī)律，計(jì)算：+++…+，其結(jié)果為．【答案】2024．【解析】依據(jù)題意找出規(guī)律，依據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2024+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2024達(dá)標(biāo)訓(xùn)練題一、選擇題1．（2024?泰州）下列等式成立的是（）A．3+42=72 B．3×2=5 C．3【答案】D【解析】A．3與42不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B．3×C．3÷16D．(-【點(diǎn)撥】依據(jù)二次根式的加、乘、除法法則及二次根式的性質(zhì)逐一推斷即可得．2.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b【答案】A．【解析】干脆利用數(shù)軸上a，b的位置，進(jìn)而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用肯定值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．由圖可知：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．3.計(jì)算eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))的結(jié)果是()A．－eq\r(3)B.eq\r(3)C．－eq\f(11,3)eq\r(3)D.eq\f(11,3)eq\r(3)【答案】B【解析】eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＝4eq\r(3)－3eq\r(3)＝eq\r(3)4．下列計(jì)算正確的是()A.eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(5)B.eq\r(3)×eq\r(2)＝6C.eq\r(12)－eq\r(3)＝eq\r(3)D.eq\r(8)÷eq\r(2)＝4【答案】C【解析】eq\r(12)－eq\r(3)＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).5.下列計(jì)算正確的是（）A． ab?ab=2ab B． （2a）3=2a3C． 3﹣=3（a≥0） D． ?=（a≥0，b≥0）【答案】D【解析】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算以及積的乘方運(yùn)算等學(xué)問，正確駕馭相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．分別利用積的乘方以及二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡求出即可．A．a(chǎn)b?ab=a2b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．（2a）3=8a3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．3﹣=2（a≥0），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．?=（a≥0，b≥0），正確．6．下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣=B．=﹣3C．a(chǎn)?a2=a2D．（2a3）2=4a6【答案】D【解析】干脆利用二次根式加減運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則和冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、二次根式的性質(zhì)分別化簡推斷即可．A．﹣無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．=3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．a(chǎn)?a2=a3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．（2a3）2=4a6，正確．7．計(jì)算3﹣2的結(jié)果是（）A．B．2C．3D．6【答案】A【解析】干脆利用二次根式的加減運(yùn)算法則求出答案．原式=（3﹣2）=．8．下列計(jì)算正確的是（）A．B．xy2÷C．2D．（xy3）2=x2y6【答案】D【解析】分別利用二次根式加減運(yùn)算法則以及分式除法運(yùn)算法則和積的乘方運(yùn)算法則化簡推斷即可．A．無法化簡，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．xy2÷=2xy3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．2+3，無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．（xy3）2=x2y6，正確．9．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】干脆利用同類二次根式的定義分別化簡二次根式求出答案．A．=3，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．=，與，是同類二次根式，故此選項(xiàng)正確；C．=2，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．==，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤。10.下列計(jì)算正確的是（）A． B． =2 C． （）﹣1= D． （﹣1）2=2【答案】B【解析】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．也考查了負(fù)整數(shù)整數(shù)冪．依據(jù)二次根式的加減法對(duì)A進(jìn)行推斷；依據(jù)二次根式的除法法則對(duì)B進(jìn)行推斷；依據(jù)負(fù)整數(shù)整數(shù)冪對(duì)B進(jìn)行推斷；依據(jù)完全平方公式對(duì)D進(jìn)行推斷．A.與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.原式==2，所以B選項(xiàng)正確；C.原式==，所以C選項(xiàng)正確；D.原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D選項(xiàng)正確．11．已知x=2﹣，則代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣【答案】C【解析】未知數(shù)的值已給出，利用代入法即可求出．把x=2﹣代入代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．二、填空題12．（2024?衡陽）27-3【答案】23．【解析】原式＝33-3=【點(diǎn)撥】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．13.（2024貴州遵義）計(jì)算的結(jié)果是【答案】【解析】14.（2024?南京）計(jì)算﹣的結(jié)果是．【答案】0【解析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可．原式＝2﹣2＝0．15.計(jì)算：﹣2等于．【答案】2．【解析】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類項(xiàng)即可．原式=3﹣=2．16.（﹣）×=．【答案】8【解析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用乘法安排律及二次根式乘法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．解答： 解：原式=﹣=9﹣1=817．計(jì)算：（+）2﹣=．【答案】5【解析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，在進(jìn)行此類運(yùn)算時(shí)，駕馭運(yùn)算依次，先運(yùn)用完全平方公式，再將二次根式化為最簡二次根式的形式后再運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵．原式=2+2+3﹣2=5．18．實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，化簡+a=．【答案】1【解析】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)與化簡，=a（a≥0）是解題關(guān)鍵．依據(jù)二次根式的性質(zhì)，可化簡二次根式，依據(jù)整式的加法，可得答案．+a=1﹣a+a=119．當(dāng)a=﹣1時(shí)，代數(shù)式的值是．【答案】．【解析】依據(jù)已知條件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子進(jìn)行化簡，然后代值計(jì)算即可．∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，∴====；解答題20．（2024?銅仁市）計(jì)算：2÷12-（﹣1）2024-4-【答案】見解析?！痉治觥吭嚼贸ǚ▌t，乘方的意義，算術(shù)平方根定義，以及零指數(shù)冪法則計(jì)算即可求出值；【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；21.推斷下列各組根式是否是同類根式：【答案】見解析?！窘馕觥繋讉€(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，假如被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以推斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。所以兩個(gè)根式是同類根式。22.化簡：【答案】見解析?！窘馕觥?，所以，可看作可利用乘法公式來進(jìn)行化簡，使運(yùn)算變得簡潔。原式23．計(jì)算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪．先依據(jù)平方差公式和零指數(shù)冪的意義得到原式=3﹣1+2﹣1，然后進(jìn)行加減運(yùn)算．原式=3﹣1+2﹣1=1+2．24．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)覺一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+=（1+）2．擅長思索的小明進(jìn)行了以下探究：設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探究并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探究的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn．（2）4、1．（3）13【解析】依據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，即可得出a、b的表達(dá)式；首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后依據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值；依據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．（2）設(shè)m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案為4、2、1、1．（3）由題意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．25.求值：【答案】見解析?！窘馕觥靠焖?、精確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必需駕馭，要特殊留意運(yùn)算依次和有意識(shí)的運(yùn)用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。26.當(dāng).【答案】3【解析】，將代入，原式=3.27．計(jì)算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．也考查了負(fù)整數(shù)整數(shù)冪。依據(jù)二次根式的乘法法則和負(fù)整數(shù)整數(shù)冪的意義得到原式=﹣+2+8，然后化簡后合并即可．原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．28.先化簡，再求值：（+）÷，其中a，b滿意+|b﹣|=0．【答案】見解析。【解析】先把分子和分母因式分解和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，然后約分得到原式=，再依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a(bǔ)和b的值代入計(jì)算即可．原式=[﹣]?=（﹣）?=?=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，當(dāng)a=﹣1，b=時(shí)，原式=﹣=﹣29．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【答案】見解析?！窘馕觥恳罁?jù)x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化簡原式，代入求值即可．∵x=1﹣，y=1+，∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，xy=（1﹣）（1+）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）=7+4．30.計(jì)算：（-3）0—++．【答案】-2．【解析】視察，可以首先去肯定值以及二次根式化簡，再合并同類項(xiàng)．（-3）0—++=1-3+-1+=-3++-=-2．31.用配方法化簡【答案】見解析?！窘馕觥吭?2.計(jì)算【答案】見解析?！窘馕觥恳?yàn)樗栽阶ⅲ耗嬗梅▌t進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再應(yīng)用“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零”的性質(zhì)。33.已知，求的值。【答案】見解析?！窘馕觥恳?yàn)?，所以它的倒?shù)而則34．閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．斐波那契（約1170﹣1250）是意大利數(shù)學(xué)家，他探討了一列數(shù)，這列數(shù)特別奇異，被稱為斐波那契數(shù)列（依據(jù)肯定依次排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）．后來人們?cè)谔接懰倪^程中，發(fā)覺了很多意想不到的結(jié)果，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花