2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.7向量應(yīng)用舉例課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修4

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十二向量應(yīng)用舉例(15分鐘30分)1.已知在△ABC中,=a,=b,且a·b<0,則△ABC的形態(tài)為 ()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選A.因?yàn)閍·b=|a||b|cos∠BAC<0,所以cos∠BAC<0,所以90°<∠BAC<180°,故△ABC是鈍角三角形.2.如圖所示,一力作用在小車(chē)上,其中力F的大小為10牛,方向與水平面成60°角,當(dāng)小車(chē)向前運(yùn)動(dòng)10米時(shí),力F做的功為A.100焦耳 B.50焦耳C.50QUOTE焦耳 D.200焦耳【解析】選B.設(shè)小車(chē)位移為s,則|s|=10米,WF=F·|F||s|·cos60°=10×10×QUOTE=50(焦耳).3.過(guò)點(diǎn)A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直線(xiàn)方程為 ()A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0【解析】選A.設(shè)P(x,y)為直線(xiàn)上一點(diǎn),則⊥a,即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),E,F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且||=2,則·的最小值為.

【解析】設(shè)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為(0,m),(0,m+2),則=(1,m),=(-2,m+2),所以·=(m+1)2-3,當(dāng)m=-1時(shí),·取最小值-3.答案:-35.如圖,在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受到的拉力為F1.(1)|F1|,|F2|隨角θ的改變而改變的狀況如何?(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí),求θ角的取值范圍.【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,作向量=F1,=F2,=-G,則+=,所以四邊形OACB為平行四邊形,由已知∠AOC=θ,∠BOC=90°,所以||=,||=||=||tanθ.即|F1|=QUOTE,|F2|=|G|tanθ,θ∈QUOTE.由此可知,當(dāng)θ從0°漸漸增大趨向于90°時(shí),|F1|,|F2|都漸漸增大.(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí),有QUOTE≤2|G|,所以cosθ≥QUOTE,又0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知點(diǎn)O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,則·= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.如圖所示.取弦AC的中點(diǎn)D,則OD⊥AC,所以·=(+)·=·+·=QUOTE+0=QUOTE,同理可得·=QUOTE,·=·-·=QUOTE-QUOTE=QUOTE×32-QUOTE×22=QUOTE.2.一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行,直撲獵物,太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái),鷹在地面上的影子的速度是40m/s,A.QUOTEm/s B.QUOTEm/sC.QUOTEm/s D.QUOTEm/s【解析】選C.設(shè)鷹的飛行速度為v1,鷹在地面上的影子的速度為v2,則|v2|=40m/s,因?yàn)辁椀倪\(yùn)動(dòng)方向是與水平方向成30°角向下,故|v1|=QUOTE=QUOTE(m/s).3.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,D為BC的中點(diǎn),且=QUOTE,則·= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.3【解析】選D.由題意,設(shè)=a,=b,則|a|=2,|b|=2,且a與b的夾角為60°,又由向量的運(yùn)算法則可得=QUOTE(a+b),=QUOTEa+QUOTEb,所以·=QUOTE·QUOTE=QUOTEa2+QUOTEa·b+QUOTEb2=QUOTE×22+QUOTE|a|·|b|cos60°+QUOTE×22=QUOTE+QUOTE×2×2×QUOTE+QUOTE=3.4.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),并且滿(mǎn)意+2+3=0,△BOC的面積為S1,△ABC的面積為S2,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)?2+3=0,所以+=-2(+),分別取AC,BC的中點(diǎn)D,E,則+=2,+=2.所以=-2,即O,D,E三點(diǎn)共線(xiàn)且||=2||.如圖所示,則S△OBC=QUOTES△DBC,由于D為AC中點(diǎn),所以S△DBC=QUOTES△ABC,所以S△OBC=QUOTES△ABC,即QUOTE=QUOTE.【誤區(qū)警示】本題中易找不到思路從而選不出正確結(jié)果.5.直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0),且圓x2+y2-4x-2y+1=0上到直線(xiàn)l距離為1的點(diǎn)恰好有3個(gè),滿(mǎn)意條件的直線(xiàn)l有 ()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【解題指南】方法一:先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式,求出圓心與點(diǎn)P的距離為QUOTE(圓心到直線(xiàn)l的最大距離),而圓心C到直線(xiàn)的距離剛好為1(1<QUOTE)時(shí),即可滿(mǎn)意圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1,由幾何學(xué)問(wèn)可知這樣的直線(xiàn)有兩條.方法二:依據(jù)圓心C到直線(xiàn)的距離剛好為1時(shí),即可滿(mǎn)意圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1,用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式算出即可知.【解析】選C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可變形為(x-2)2+(y-1)2=4,所以圓心C(2,1),CP=QUOTE<2,所以圓心C到直線(xiàn)l的距離剛好為1(1<QUOTE)時(shí),即可滿(mǎn)意圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為1,由幾何學(xué)問(wèn)可知這樣的直線(xiàn)有兩條.方法二:圓心C到直線(xiàn)l的距離剛好為1時(shí),即可滿(mǎn)意圓上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為1.當(dāng)直線(xiàn)l:x=1時(shí),明顯滿(mǎn)意;設(shè)直線(xiàn)l:y=k(x-1),所以圓心C(2,1)到直線(xiàn)l的距離d=QUOTE=1,解得k=0,所以這樣的直線(xiàn)有兩條.二、填空題(每小題5分,共15分)6.河水的流速為2m/s,一艘小船以10m/s的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛【解題指南】先找出三個(gè)速度之間的關(guān)系,再利用船的實(shí)際速度與水流的速度垂直求解.【解析】設(shè)河水的流速為v1,小船在靜水中的速度為v2,船的實(shí)際速度為v,則v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.因?yàn)関⊥v1,所以v·v1=0,所以|v2|=|v-v1|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE7.已知直線(xiàn)ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),且AB=1,則·=.

【解析】因?yàn)閳Ax2+y2=1的半徑為1,AB=1,所以△AOB為正三角形.所以·=1×1·cos60°=QUOTE.答案:QUOTE8.如圖所示,一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地,因大霧無(wú)法著陸,故轉(zhuǎn)向C地飛行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C兩地相距2000km,則飛機(jī)從B地到C地的路程為【解析】由題意得||=1000,||=2000,∠BAC=60°,所以||2=|-|2=||2+||2-2||·||·cos60°=20002+10002-2×1000×2000×QUOTE=3×106,所以||=1000QUOTE,∠ABC=90°.取AC的中點(diǎn)D,由||=2||且∠BAD=60°,知為正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°,所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1000QUOTEkm,方向?yàn)槟掀鞔鸢?1000QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,?ABCD中,=a,=b,BM=QUOTEBC,AN=QUOTEAB.(1)試用向量a,b來(lái)表示,.(2)AM交DN于O點(diǎn),求AO∶OM的值.【解析】(1)因?yàn)锳N=QUOTEAB,所以=QUOTE=QUOTEa,所以=-=QUOTEa-b.因?yàn)锽M=QUOTEBC,所以=QUOTE=QUOTE=QUOTEb,所以=+=a+QUOTEb.(2)因?yàn)锳,O,M三點(diǎn)共線(xiàn),所以∥.設(shè)=λ,則=-=λ-=λQUOTE-b=λa+QUOTEb.因?yàn)镈,O,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以∥,存在實(shí)數(shù)μ,使=μ,λa+QUOTEb=μQUOTE.由于向量a,b不共線(xiàn),所以QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE,=QUOTE,所以AO∶OM=3∶11.10.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AD,DC的中點(diǎn),BE,BF與AC分別交于點(diǎn)R,T,證明:R,T為AC的三等分點(diǎn).【證明】設(shè)=a,=b,則=a+b,=QUOTEb-a.由于與共線(xiàn),因此存在實(shí)數(shù)m,使得=m(a+b).又與共線(xiàn),因此存在實(shí)數(shù)n,使得=n=nQUOTE.由=+=+n,得m(a+b)=a+nQUOTE,整理得(m+n-1)a+QUOTEb=0.由于向量a,b不共線(xiàn),所以有QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE.同理=QUOTE,所以=QUOTE,所以AR=RT=TC,所以R,T為AC的三等分點(diǎn).若a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量,t∈R.(1)若a,b的起點(diǎn)相同,t為何值時(shí),a,tb,QUOTE(a+b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線(xiàn)上?(2)若|a|=|b|且a與b的夾角為60°,t為何值時(shí),|a-tb|最小?【解析】(1)由題意得a-tb與a-QUOTE(a+b)共線(xiàn),則設(shè)a-tb=mQUOTE,m∈R,化簡(jiǎn)