2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題篇素養(yǎng)提升文理專題四概率與統(tǒng)計(jì)理科第1講概率隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案含解析新人教版

PAGE專題四概率與統(tǒng)計(jì)(理科)第1講概率、隨機(jī)變量及其分布列JIETICELUEMINGFANGXIANG解題策略·明方向⊙︱考情分析︱1．古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度．2．概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)及對立事務(wù)等；對離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”，常考查獨(dú)立事務(wù)的概率、正態(tài)分布，超幾何分布和二項(xiàng)分布的期望等．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2024Ⅰ卷19獨(dú)立事務(wù)、對立事務(wù)的概率求法及其應(yīng)用12Ⅱ卷3概率的應(yīng)用5Ⅲ卷18(1)古典概型42024Ⅰ卷6、5、21古典概型，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量的分布列、等比數(shù)列22Ⅱ卷18互斥事務(wù)、獨(dú)立事務(wù)、離散型隨機(jī)變量的分布列12Ⅲ卷2024Ⅰ卷10,20幾何概型，二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，決策性問題17Ⅱ卷8古典概型5Ⅲ卷8相互獨(dú)立事務(wù)及二項(xiàng)分布5KAODIANFENLEIXIZHONGDIAN考點(diǎn)分類·析重點(diǎn)考點(diǎn)一古典概型與幾何概型eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本領(lǐng)件數(shù),基本領(lǐng)件總數(shù))2．幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮運(yùn)用幾何概型求解．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例1(1)(2024·江蘇省南京市高三聯(lián)考)現(xiàn)有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數(shù)字．將這三張卡片隨機(jī)排序組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是__eq\f(1,3)__.(2)(2024·南通模擬)已知區(qū)域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率為__eq\f(1,8)__.【解析】(1)將這三張卡片隨機(jī)排序組成一個三位數(shù)如下：123,132,213,231,312,321，共6種，其中偶數(shù)有2種，所以該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)因?yàn)锳＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}表示的區(qū)域是以4為邊長的正方形，面積為16，由B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}可知，其區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，故在區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)1．古典概型求解的關(guān)鍵點(diǎn)(1)正確求出基本領(lǐng)件總數(shù)和所求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)，這經(jīng)常用到排列、組合的有關(guān)學(xué)問．(2)對于較困難的題目計(jì)數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏．2．解決幾何概型問題的關(guān)鍵找尋構(gòu)成試驗(yàn)全部結(jié)果的區(qū)域和事務(wù)發(fā)生的區(qū)域是關(guān)鍵，有時須要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所須要的區(qū)域．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)1．(1)(2024·莆田質(zhì)檢)中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息．現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊．若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C．eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)(2)(2024·四川省綿陽市二診)甲、乙、丙三位客人在參與中國(綿陽)科技城國際科技博覽會期間，安排到綿陽的九皇山、七曲山大廟兩個景點(diǎn)去參觀考察，由于時間關(guān)系，每個人只能選擇一個景點(diǎn)，則甲、乙、丙三人恰好到同一景點(diǎn)旅游參觀的概率為(B)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)【解析】(1)由圖形對稱可知，原題中陰影部分面積與下圖中陰影部分面積一樣，則陰影部分面積為一個小圓的面積設(shè)OB＝r，則OC＝AB＝r，OA＝eq\r(2)r，∴AC＝(eq\r(2)＋1)r?AD＝(2eq\r(2)＋2)r，∴正方形面積S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋2)r×(2eq\r(2)＋2)r＝(6＋4eq\r(2))r2，陰影部分面積S′＝π·OB2＝πr2，∴所求概率P＝eq\f(S′,S)＝eq\f(πr2,6＋4\r(2)r2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故選A．(2)兩景點(diǎn)用1,2表示，三人選擇景點(diǎn)的各種情形為：甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8種，其中三人去同一景點(diǎn)的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2兩種，所以概率為P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).故選B．考點(diǎn)二互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．條件概率在事務(wù)A發(fā)生的條件下事務(wù)B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．相互獨(dú)立事務(wù)同時發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布假如事務(wù)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例2(1)(2024·遼寧省沈陽市試驗(yàn)中學(xué)月考)每場足球競賽的時間長度為90分鐘，若競賽過程中體力消耗過大，運(yùn)動員腿部會發(fā)生抽筋現(xiàn)象，無法接著投入到競賽之中了．某足球運(yùn)動員在競賽前70分鐘抽筋的概率為20%，競賽結(jié)束前發(fā)生抽筋的概率為50%.若某場競賽中該運(yùn)動員已經(jīng)順當(dāng)完成了前70分鐘的競賽，那么他能順當(dāng)完成90分鐘競賽的概率為(C)A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(5,8) D．eq\f(2,5)(2)(2024·開封三模)某地有A，B，C，D四人先后感染了傳染性肺炎，其中只有A到過疫區(qū)，B確定是受A感染的．對于C因犯難以判定是受A還是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是eq\f(1,2).同樣也假定D受A，B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在這種假定下，B，C，D中恰有兩人干脆受A感染的概率是(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)(3)(2024·聊城模擬)在2024年女排世界杯競賽中，中國隊(duì)以十一連勝的驕人成果奪得了冠軍，勝利衛(wèi)冕，收到習(xí)近平總書記的賀電，團(tuán)結(jié)協(xié)作、堅(jiān)韌拼搏是中國女排精神，為學(xué)習(xí)女排精神，A、B兩校排球隊(duì)進(jìn)行排球友情賽，實(shí)行五局三勝制，每局都要分出輸贏，依據(jù)以往閱歷，單局競賽中A校排球隊(duì)勝B校排球隊(duì)的概率為eq\f(3,5)，設(shè)各局競賽相互間沒有影響，則在此次競賽中，四局結(jié)束競賽的概率為(D)A．eq\f(72,625) B．eq\f(78,625)C．eq\f(162,625) D．eq\f(234,625)【解析】(1)設(shè)事務(wù)A＝某足球運(yùn)動員在競賽前70分鐘不抽筋，事務(wù)B＝某足球運(yùn)動員在競賽結(jié)束前20分鐘不抽筋，則P(A)＝0.8，P(AB)＝0.5．所以他能順當(dāng)完成90分鐘競賽的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.5,0.8)＝eq\f(5,8).故選C．(2)某地有A，B，C，D四人先后感染了傳染性肺炎，其中只有A到過疫區(qū)，B確定是受A感染的．對于C因犯難以判定是受A還是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是eq\f(1,2).同樣也假定D受A，B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在這種假定下，B，C，D中恰有兩人干脆受A感染包含的狀況有3種：①B，C兩人干脆由A感染，D由B感染；②B，D兩人干脆由A感染，C由B感染；③B，C兩人干脆由A感染，D由C感染．∴在這種假定下，B，C，D中恰有兩人干脆受A感染的概率是：P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).故選C．(3)為學(xué)習(xí)女排精神，A、B兩校排球隊(duì)進(jìn)行排球友情賽，實(shí)行五局三勝制，每局都要分出輸贏，依據(jù)以往閱歷，單局競賽中A校排球隊(duì)勝B校排球隊(duì)的概率為eq\f(3,5)，設(shè)各局競賽相互間沒有影響，在此次競賽中，四局結(jié)束競賽包含兩種狀況：①前3局A兩勝一負(fù)，第四局A勝；②前3局A一勝兩負(fù)，第四局A負(fù)．則在此次競賽中，四局結(jié)束競賽的概率為：P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＋Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(234,625).故選D．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)求相互獨(dú)立事務(wù)的概率的兩種方法(1)干脆法：正確分析困難事務(wù)的構(gòu)成，將困難事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù)或幾個相互獨(dú)立事務(wù)同時發(fā)生的積事務(wù)或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解．(2)間接法：當(dāng)困難事務(wù)正面狀況較多，反面狀況較少時，可利用其對立事務(wù)進(jìn)行求解．“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．條件概率的求法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這是通用的求條件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事務(wù)A發(fā)生的條件下求事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)2．(1)(2024·沈陽三模)2024年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國第一時間內(nèi)向相關(guān)國家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家．現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個須要救濟(jì)的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事務(wù)A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事務(wù)B＝“小組甲獨(dú)自去一個國家”，則P(A|B)＝(A)A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)(2)(2024·長春四模)田徑競賽跳高項(xiàng)目中，在橫桿高度設(shè)定后，運(yùn)動員有三次試跳機(jī)會，只要有一次試跳勝利即完成本輪競賽．在某學(xué)校運(yùn)動會跳高決賽中，某跳高運(yùn)動員勝利越過現(xiàn)有高度即可成為本次競賽的冠軍，結(jié)合平常訓(xùn)練數(shù)據(jù)，每次試跳他能勝利越過這個高度的概率為0.8(每次試跳之間互不影響)，則本次競賽他獲得冠軍的概率是(D)A．0.832 B．0.920C．0.960 D．0.992【解析】(1)事務(wù)A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事務(wù)B＝“小組甲獨(dú)自去一個國家”，則P(AB)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,4)·33,44)＝eq\f(27,64)，P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,9)，故選A．(2)每次試跳他能勝利越過這個高度的概率為0.8，則本次競賽他獲得冠軍的概率P＝0.8＋0.2×0.8＋0.22×0.8＝0.8＋0.16＋0.032＝0.992．故選D．考點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列、均值與方差eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為實(shí)數(shù))．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X聽從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例3(1)(2024·浙江模擬)已知a，b，c是不相等的實(shí)數(shù)，且a＋b＝8，隨機(jī)變量X的分布列為：XabcPeq\f(1,a)eq\f(1,b)eq\f(1,c)則下列說法正確的是(C)A．E(X)＝1，D(X)＞1 B．E(X)＝1,0＜D(X)＜1C．E(X)＝3，D(X)＞1 D．E(X)＝3,0＜D(X)＜1(2)(2024·江蘇模擬)五個自然數(shù)1、2、3、4、5依據(jù)肯定的依次排成一列．①求2和4不相鄰的概率；②定義：若兩個數(shù)的和為6且相鄰，稱這兩個數(shù)為一組“友好數(shù)”．隨機(jī)變量X表示上述五個自然數(shù)組成的一個排列中“友好數(shù)”的組數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．【解析】(1)由X的分布列可知，E(X)＝a·eq\f(1,a)＋b·eq\f(1,b)＋c·eq\f(1,c)＝3，E(X2)＝a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)＝a＋b＋c＝8＋c，∴D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝8＋c－9＝c－1，∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝1，∴eq\f(1,c)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝1－eq\f(a＋b,ab)＝1－eq\f(8,ab)≤1－eq\f(8,\f(a＋b2,4))＝1－eq\f(8,\f(64,4))＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，∵a≠b，∴c＞2，∴D(X)＝c－1＞2－1＝1，故選C．(2)①記“2和4不相鄰”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,4),A\o\al(5,5))＝eq\f(3,5)，所以2和4不相鄰的概率為eq\f(3,5).②X的全部可能取值為0,1,2，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(2A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)，P(X＝0)＝eq\f(2C\o\al(1,4)A\o\al(2,2)＋2C\o\al(1,4)A\o\al(2,2)＋C\o\al(1,4)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)(先確定3的位置)，或(P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(2,5))．所以X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(2,5)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)隨機(jī)變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)(1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的詳細(xì)事務(wù)，然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率．(2)求隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列，若隨機(jī)變量聽從二項(xiàng)分布，則可干脆運(yùn)用公式法求解．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)3．(2024·北京房山區(qū)期末)某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)茶業(yè)．該縣農(nóng)科所為了對比A，B兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了A，B兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：(1)從A，B兩種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中各任取1個，求這兩個數(shù)據(jù)都不低于55的概率；(2)從B品種茶葉的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取2個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于55的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為選擇該縣應(yīng)種植茶葉A還是茶葉B？說明理由．【解析】(1)從A種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有11個，從B種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有4個，設(shè)“所取兩個數(shù)據(jù)都不低于55”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(11,20)×eq\f(4,20)＝eq\f(11,100).(2)X的全部可能取值為0,1,2P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,16)C\o\al(0,4),C\o\al(2,20))＝eq\f(60,95)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,16)C\o\al(1,4),C\o\al(2,20))＝eq\f(32,95)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(0,16)C\o\al(2,4),C\o\al(2,20))＝eq\f(3,95)，∴X的分布列為X012Peq\f(12,19)eq\f(32,95)eq\f(3,95)∴期望E(X)＝0×eq\f(12,19)＋1×eq\f(32,95)＋2×eq\f(3,95)＝eq\f(2,5).(3)假如選擇A可從A的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)或平均數(shù)比B高等方面敘述理由．假如選擇B，可從B的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)比A的方差小，產(chǎn)量比較穩(wěn)定等方面敘述理由．考點(diǎn)四正態(tài)分布eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．一般地，假如對于任何實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿意P(a<X≤B)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布(normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．假如隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．3．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例4從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測量其尺寸(單位：cm)，得到如下頻數(shù)分布表：分組[67.5，72.5)[72.5，77.5)[77.5，82.5)[82.5，87.5)[87.5，92.5)[92.5，97.5)[97.5，102.5)頻數(shù)2922332482(1)求這100件產(chǎn)品尺寸的平均數(shù)x和方差s2；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)若該產(chǎn)品的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，公司規(guī)定，尺寸在(72.8,97.2]內(nèi)的產(chǎn)品為正品，其余的產(chǎn)品均為次品．企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，若是正品，則獲利100元，若是次品，則虧損40元．記X(單位：元)為該企業(yè)生產(chǎn)1000件該種產(chǎn)品的利潤，利用正態(tài)分布，求X的數(shù)學(xué)期望．附：37.5≈6.1，若隨機(jī)變量Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.9973．【解析】(1)樣本平均數(shù)x＝70×0.02＋75×0.09＋80×0.22＋85×0.33＋90×0.24＋95×0.08＋100×0.02＝85．樣本方差s2＝225×0.02＋100×0.09＋25×0.22＋0×0.33＋25×0.24＋100×0.08＋225×0.02＝37.5．(2)因?yàn)樵摦a(chǎn)品的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ＝x＝85，σ＝eq\r(37.5)≈6.1，所以μ－2σ＝85－2×6.1＝72.8，μ＋2σ＝85＋2×6.1＝97.2．由正態(tài)分布可知，每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，尺寸在(72.8,97.2]內(nèi)的概率P≈0.9545，即每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，該產(chǎn)品是正品的概率是0.9545．設(shè)該企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品的利潤為Y，則Y的可能取值為100，－40，則P(Y＝100)＝0.9545，P(Y＝－40)＝1－0.9545＝0.0455，則該企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品的利潤的期望為E(Y)＝100×0.9545－40×0.0455＝93.63．該企業(yè)生產(chǎn)1000件該種產(chǎn)品的利潤X＝1000Y，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1000E(Y)＝93630．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性探討相關(guān)概率問題，涉及的學(xué)問主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1．(2)利用3σ原則求概率問題時，要留意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)4．(2024·武漢模擬)已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)等于(B)A．0.3 B．0.35C．0.5 D．0.7【解析】∵P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，∴μ＝eq\f(2＋6,2)＝4．又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ<2)－P(ξ>6)＝0.7，∴P(2≤ξ<4)＝eq\f(P2≤ξ≤6,2)＝0.35，故選B．5．某校在一次月考中有900人參與考試，數(shù)學(xué)考試的成果聽從正態(tài)分布X～N(90，a2)(a>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成果在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成果不低于110分的學(xué)生約有__180__人．【解析】因?yàn)閿?shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布X～N(90，a2)，所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝90對稱，又因?yàn)槌晒?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，由對稱性知成果在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,5)，所以此次數(shù)學(xué)考試成果不低于110分的學(xué)生約有eq\f(1,5)×900＝180(人)．YICUOQINGLINGMIANSHIWU易錯清零·免失誤1．概念理解不清致錯典例1某人拋擲一枚勻稱骰子，構(gòu)造數(shù)列{an}，使an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，當(dāng)?shù)趎次擲出偶數(shù),－1，當(dāng)?shù)趎次擲稀奇數(shù)))，記Sn＝a1＋a2＋…＋an求Si≥0(i＝1,2,3,4)且S8＝2的概率．【錯解】記事務(wù)A：S8＝2，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1，另3項(xiàng)取值－1∴S8＝2的概率P(A)＝Ceq\o\al(5,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8記事務(wù)B：Si≥0(i＝1,2,3,4)，將Si≥0(i＝1,2,3,4)分為兩種情形：(1)若第1、2項(xiàng)取值為1，則3,4項(xiàng)的取值隨意(2)若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為－1，則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)隨意∴P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)，∴所求事務(wù)的概率為P＝P(A)·P(B)＝eq\f(3,8)·Ceq\o\al(5,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8．【剖析】Si≥0且S8＝2是同一事務(wù)的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨(dú)立事務(wù)．Si≥0對S8＝2的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：【正解】∵Si≥0(i＝1,2,3,4)，∴前4項(xiàng)的取值分為兩種情形①若1、3項(xiàng)為1；則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1，另3項(xiàng)為－1即可．即P1＝Ceq\o\al(3,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8；②若1、2項(xiàng)為1，為避開與第①類重復(fù)，則第3項(xiàng)必為－1，則后5