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文檔簡(jiǎn)介
6.2.4組合數(shù)第6章計(jì)數(shù)原理人教A版2019必修第三冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式.2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題.3.通過(guò)研究組合數(shù)公式及解決有限制條件的組合問(wèn)題,提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).某校開(kāi)展秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)招募了20名志愿者,他們的編號(hào)分別是1號(hào),2號(hào),…,19號(hào),20號(hào).若要從中任意選取4人再按編號(hào)大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作,其中兩個(gè)編號(hào)較小的人在一組,兩個(gè)標(biāo)號(hào)較大的在另一組,那么確保5號(hào)與14號(hào)入選并被分配到同一組的選取方法有多少種?情境引入:?jiǎn)栴}上述問(wèn)題情景中,是一個(gè)較為復(fù)雜的組合問(wèn)題,如何用組合數(shù)解決此問(wèn)題?類比排列數(shù),我們引進(jìn)組合數(shù)概念:組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.組合的第一個(gè)字母元素總數(shù)取出元素?cái)?shù)m,n所滿足的條件是:(1)
m∈N*,n∈N*
;(2)
m≤n.
例如,從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)為從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合數(shù)為符號(hào)中的C是英文combination(組合)的第一個(gè)字母.組合數(shù)還可以用符號(hào)表示.思考:探究前面已經(jīng)提到,組合和排列有關(guān)系,我們能否利用這種關(guān)系,由排列數(shù)
來(lái)求組合數(shù)
呢?3個(gè)不同元素a,b,c中取出2個(gè)共有ab,ac,bc3個(gè)不同的組合,4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)共有abc,abd,acd,bcd4個(gè)不同的組合,4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的排列數(shù)為3個(gè)不同元素a,b,c中取出2個(gè)元素的排列數(shù)為下面我們就來(lái)探究從3個(gè)不同元素a,b,c中取出2個(gè)元素從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素組合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得這里的n,m∈N*,并且m≤n,這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.組合數(shù)公式:另外,我們規(guī)定所以上面的公式還可以寫(xiě)成解:例6
計(jì)算:思考此關(guān)系是否具有一般性?性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)1性質(zhì)2組合數(shù)的性質(zhì):例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?解:(1)所有的不同抽法種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù),所以抽法種數(shù)為(2)從2件次品中抽出1件的抽法有
種,從98件合格品中抽出2件的抽法有
種,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品兩種情況,因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為(3)解1(直接法):解2(間接法):抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù),即課堂練習(xí)解:1.計(jì)算:證明:2.求證:3.有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī),現(xiàn)要從中選3門(mén)考試成績(jī).(1)共有多少種不同的選法?(2)如果物理和化學(xué)恰有1門(mén)被選,那么共有多少種不同的選法?(3)如果物理和化學(xué)至少有1門(mén)被選,那么共有多少種不同的選法?解:隨堂檢測(cè)1.若6個(gè)人分4張無(wú)座的足球門(mén)票,每人至多分1張,而且票必須分完,那么不同分法的種數(shù)是()A.64 B.46 C.15 D.360C2.從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,不同的選法有()A.種 B.3!C.種 D.以上均不對(duì)C
D
4.十二生肖,又叫屬相,依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個(gè),甲沒(méi)有選擇馬,乙、丙二人恰有一人選擇羊,則不同的選法有()A.242種 B.220種 C.200種 D.110種C5.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì),要求其中男、女醫(yī)生都有,則不同的組隊(duì)方案共有()A.140種 B.420種 C.80種 D.70種D
解:由組合數(shù)性質(zhì)2可知,
因此,
7.計(jì)算:
解:由題意可得
又,得n=10
課堂練習(xí)8.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項(xiàng)活動(dòng),按下列要求,各有多少種不同的選法?
(1)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選;
(2)至多有3名男生當(dāng)選解:至多有3男當(dāng)選時(shí),應(yīng)分三類:
拓展提高9.一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球,4個(gè)不同的白球(1)從中任取3個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)的取法有1+12=13種.
解:(1)從中任取個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法:紅球3個(gè),紅球2個(gè)和白球1個(gè),當(dāng)取紅球3個(gè)時(shí),取法有1種;
(2)若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取4個(gè)球,使總分不少于6分的取法有多少種?解:(2)使總分不少于分情況有兩種:紅球2個(gè)和白球2個(gè),紅球3個(gè)和白球1個(gè),
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,使總分不少于6分的取法有18+4=22種.
男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男?女隊(duì)長(zhǎng)各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在
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