解密09立體幾何初步（分層訓(xùn)練）

解密09立體幾何初步A組基礎(chǔ)練A組基礎(chǔ)練一、單選題1．（2021·湖南·長郡中學(xué)二模）已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．2．（2021·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當(dāng)水量使用了一半時，水面高度占的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合柱體的體積公式可知高沒變，底面積變?yōu)橐话?，而底面是等腰直角三角形，從而可求出邊長間的關(guān)系，進(jìn)而可求得答案【詳解】水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，底面積變?yōu)橐话?，因為底面是等腰直角三角形，所以邊長變?yōu)锳B的，所以水面高度占AB的，故選：C.3．（2021·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））已知某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原幾何體，并判斷其幾何構(gòu)成，結(jié)合圓柱體的體積公式求幾何體的體積即可.【詳解】由三視圖可知，幾何體為一個高度為4的圓柱體去掉高度為1的左上角部分，如下圖示：∴幾何體的體積為：.故選：C4．（2022·新疆·一模（理））如圖所示，在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分別是棱和的中點，則異面直線NO和AM所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】取的中點，連接，，由異面直線NO與AM所成角即為與AM所成角求解.【詳解】如圖所示：取的中點，連接，，易知，所以異面直線NO與AM所成角就為與AM所成角，因為，M分別是正方形的邊AD，的中點，所以由正方形知識可知，所以異面直線NO與AM所成角的大小為90°．故選：D5．（2021·云南·模擬預(yù)測（文））已知是兩個不同平面，是兩條不同直線，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】B【分析】利用面面垂直的判定判斷命題①；舉特例說明并判斷命題②，③；由線面垂直、線面平行的性質(zhì)判斷④即可作答.【詳解】對于①，若，由面面垂直的判定知，①是真命題；對于②，因，令，在平面存在一直線與直線平行，令此直線為，顯然滿足，此時，，即不成立，②是假命題；對于③，當(dāng)與相交時，令，若平面內(nèi)直線滿足，必有，如圖，顯然不成立，③是假命題；對于④，因，過直線的一平面與平面相交，令交線為，如圖，則有，而，必有，于是得，④是真命題，所以，所給的4個命題中正確命題的個數(shù)是2.故選：B6．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）若一個圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個圓柱的體積為（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出球半徑，再由圓柱的內(nèi)切球與圓柱的關(guān)系可得圓柱的底面圓半徑和高，然后代入體積公式計算即得.【詳解】設(shè)球的半徑為r，則，解得，因半徑為r的球是圓柱的內(nèi)切球，則圓柱的高h(yuǎn)等于其內(nèi)切球直徑2r，圓柱底面圓直徑等于球的直徑2r，于是得圓柱的底面圓半徑為1，高h(yuǎn)=2，則，所以這個圓柱的體積為.故選：C二、填空題7．（2021·江蘇海安·模擬預(yù)測）某圓臺下底半徑為2，上底半徑為1，母線長為2，則該圓臺的表面積為________.【答案】【分析】由圓臺的表面積公式計算．【詳解】由題意該圓臺的表面積為．故答案為：．8．（2021·河南·模擬預(yù)測（文））如圖所示的四邊形是邊長為的正方形，對角線，相交于點，將沿折起到的位置，使平面平面．給出以下5個結(jié)論：①；②和都是等邊三角形；③平面平面；④；⑤三棱錐表面的四個三角形中，面積最大的是和．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①②④【分析】由線面垂直判定以及性質(zhì)判斷①；由勾股定理以及面面垂直的性質(zhì)判斷②；取的中點，連接，，由余弦定理以及面面角的定義證明平面與平面不垂直；由體積公式得出；由，判斷⑤.【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，所以，且，由線面垂直的判定可知平面，所以，即①正確；因為正方形的邊長是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等邊三角形，②正確；如圖，取的中點，連接，，得，，所以就是二面角的平面角，而，所以不是直角．即平面與平面不垂直，③錯誤；因為，所以④正確；因為，，所以三棱錐表面的四個三角形中，面積最大的是和，不是和，所以⑤錯誤．綜上，可知①②④正確．故答案為：①②④三、解答題9．（2021·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中點．（1）求證：AD∥平面PBC；（2）求證：AB⊥平面PAD【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，進(jìn)而證明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明．【詳解】（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）證明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.10．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測（文））如圖所示，在直三棱柱中，，設(shè)D為的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.（1）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以，又因為，D為的中點，所以，因為平面，平面，，所以平面，又因為平面，以平面平面.（2）取的中點，連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，同理可證：平面，又，平面平面，又平面，平面．因此點到平面的距離等于點A到平面的距離，設(shè)該距離為h，則由，得，所以，由題意，，所以，所以為直角三角形，所以.11．（2021·黑龍江·模擬預(yù)測（理））如圖，在多面體中，四邊形是矩形，四邊形為等腰梯形，且，，，平面平面.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面ABEF，可證，在等腰梯形ABEF中，可證，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證明.（2）等體積轉(zhuǎn)化法可知，分別計算對應(yīng)的面積和高即可求出體積.（1），平面平面，平面平面，平面ABEF，取EF中點G，鏈接BF四邊形ABGF為平行四邊形在中，，平面BCE，且交于點B平面BCE平面BCE（2）設(shè)到的距離，則在中可求，平面平面，平面平面平面，且，.12．（2021·云南大理·模擬預(yù)測（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，即求．（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由平面，所以，從而，設(shè)，，又，則，即，解得，所以．因為底面，底面是矩形，∴，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA即△PAB為直角三角形，同理△PBC為直角三角形，∴，故四棱錐的表面積為．B組提升練B組提升練一、單選題1．（2020·山東·高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯誤；B.與平面相交，且，所以與異面，故B錯誤；C.四邊形是矩形，不是菱形，所以對角線與不垂直，故C錯誤；D.連結(jié)，，，，所以平面，所以，故D正確.故選：D2．（2021·江蘇·高考真題）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意作圖，由軸截面得出母線與底面圓半徑的等量關(guān)系，再套公式求解.【詳解】根據(jù)題意作圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則有，.該圓錐的底面積與側(cè)面積比值為.故選：C.3．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.4．（2020·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計算公式，計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.5．（2016·全國·高考真題（文））在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為V的球，若，，，，則該球體積V的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故球的最大半徑為，故選B.考點：球及其性質(zhì).6．（2020·海南·高考真題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點處的緯度，計算出晷針與點處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選：B【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題7．（2020·上海閔行·一模）如圖，在三棱錐DAEF中，分別是DA，DE，DF的中點，B，C分別是AE，AF的中點，設(shè)三棱柱的體積為，三棱錐DAEF的體積為，則___________.【答案】【分析】設(shè)三棱柱的高為，則三棱錐的高為，則，，由此即可求出.【詳解】設(shè)三棱柱的高為，則三棱錐的高為，由題意知：，，故答案為：.8．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐EBCD的體積是_____.【答案】10.【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.三、解答題9．（2021·湖南·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點.（1）證明：平面ACE；（2）設(shè)，，直線PB與平面ABCD所成的角為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)連接交于點，連接，由三角形的中位線定理可知，結(jié)合線面平行的判定定理可證明平面.(2)由題意可知，再運用錐體體積公式可求得四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點，連接.在中，因為，所以，因為平面，平面，則平面.（2）因為平面ABCD，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角，所以，又，，所以，所以四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為.10．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.【分析】（1）通過證明，來證得平面.（2）通過證明平面，來證得平面平面.【詳解】（1）由于分別是的中點，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.11．（2020·全國·高考真題（文））如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時，；（2）點在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點使得,再通