高考文科數(shù)學(xué)分類匯編：專題三函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

...wd......wd......wd...《2018年高考文科數(shù)學(xué)分類匯編》第三篇:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選擇題1.【2018全國一卷6】設(shè)函數(shù)．假設(shè)為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為A． B． C． D．2.【2018全國二卷10】假設(shè)在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．3.【2018全國三卷9】函數(shù)的圖像大致為4.【2018浙江卷5】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是 A．B． C． D．二、填空題1.【2018全國二卷13】曲線在點處的切線方程為__________．2.【2018天津卷10】已知函數(shù)f(x)=exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′（1）的值為__________．3.【2018江蘇卷11】假設(shè)函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．解答題1.【2018全國一卷21】已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，．2.【2018全國二卷21】已知函數(shù)． （1）假設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：只有一個零點．3．【2018全國三卷21】已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，．4.【2018北京卷19】設(shè)函數(shù).（Ⅰ）假設(shè)曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）假設(shè)在處取得極小值，求a的取值范圍.5.【2018天津卷20】設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列．（I）假設(shè)求曲線在點處的切線方程；（II）假設(shè)，求的極值；（III）假設(shè)曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍．6．【2018江蘇卷17】某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如以下列圖，它的邊界由圓O的一段圓?。≒為此圓弧的中點）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）假設(shè)大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．7.【2018江蘇卷19】（本小題總分值16分）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．假設(shè)存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“S點”；（2）假設(shè)函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值；8.【2018浙江卷22】已知函數(shù)f(x)=?lnx．（Ⅰ）假設(shè)f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；（Ⅱ）假設(shè)a≤3?4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．9.【2018上海卷19】（此題總分值14分，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分）某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當S中的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果答復(fù)以下問題：=1\*ROMANI）當x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間=2\*ROMANII）求該地上班族S的人均通勤時間的表達式；討論的單調(diào)性，并說明其實際意義.參考答案選擇題1.D2.A3.D4.D二、填空題1.2. 3．三．解答題1．解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–．由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=．從而f（x）=，f′（x）=．當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．（2）當a≥時，f（x）≥．設(shè)g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．因此，當時，．2．解：（1）當a=3時，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f′（x）>0；當x∈（，）時，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）由于，所以等價于．設(shè)=，則g′（x）=≥0，僅當x=0時g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．綜上，f（x）只有一個零點．3.解：（1），．因此曲線在點處的切線方程是．（2）當時，．令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以．因此．4.解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.假設(shè)a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.假設(shè)，則當時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a=1時，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.5.解：（I）由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故=3x2?1，因此f(0)=0，=?1，又因為曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y?f(0)=(x?0)，故所求切線方程為x+y=0．（Ⅱ）由已知可得f(x)=(x?t2+3)(x?t2)(x?t2?3)=(x?t2)3?9(x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2．故=3x2?6t2x+3t22?9．令=0，解得x=t2?，或x=t2+．當x變化時，，f(x)的變化如下表：x(?∞，t2?)t2?(t2?，t2+)t2+(t2+，+∞)+0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=(?)3?9×(?)=6；函數(shù)f(x)的極小值為f(t2+)=()3?9×()=?6．（Ⅲ）解：曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點等價于關(guān)于x的方程(x?t2+d)(x?t2)(x?t2?d)+(x?t2)+6=0有三個互異的實數(shù)解，令u=x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0．設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(1?d2)x+6，則曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點等價于函數(shù)y=g(x)有三個零點．=3x3+(1?d2)．當d2≤1時，≥0，這時在R上單調(diào)遞增，不合題意．當d2>1時，=0，解得x1=，x2=．易得，g(x)在(?∞，x1)上單調(diào)遞增，在[x1，x2]上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增．g(x)的極大值g(x1)=g()=>0．g(x)的極小值g(x2)=g()=?．假設(shè)g(x2)≥0，由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)y=g(x)至多有兩個零點，不合題意．假設(shè)即，也就是，此時，且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，符合題意．所以，的取值范圍是．6．解：（1）連結(jié)PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．7.解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．（2）函數(shù)，，則．設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．因此，a的值為．（3）對任意a>0，設(shè)．因為，且h（x）的圖象是不連續(xù)的，所以存在∈（0，1），使得．令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，即，（**）此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．8.解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由得，因為，所以．由基本不等式得．因為，所以．由題意得．設(shè)，則，所以x（0，16）16（16，+∞）?0+2?4ln2所以g（x）在[256，+∞）上單調(diào)遞增，故，即．（Ⅱ）令m=，n=，則f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，對于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點．由f（x）=kx+a得．設(shè)h（x）=，則h′（x）=，其中g(shù)（x）=．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個實根．綜上，當a≤3–4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點．9.解（1）①當時，自駕群體人均通勤時間為分鐘，公交群體人均通勤時間為分鐘，此時公交群體人均通勤時