2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)-專題2.1.1-合情推理測試題含解析新人教A版選修1-2

2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)專題2.1.1合情推理測試題（含解析）新人教A版選修1-21．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B3．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．4．對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心答案D解析由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面的中心．5．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C6．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論仍然正確的是()A．如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交B．如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直C．如果兩條直線同時(shí)與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行D．如果兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案B解析推廣到空間以后，對(duì)于A、C、D均有可能異面，故選B.7.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則成立的等式是()A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b18－n(n<18，n∈N*)C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b17－n(n<17，n∈N*)D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b18－n(n<18，n∈N*)答案A解析在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.相應(yīng)地，等比數(shù)列{bn}中有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．8．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第n個(gè)等式為__________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)29．在△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2Bcosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB).∵VP－ABC＝eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)PA·PBcosα＋eq\f(1,2)PB·PCcosβ＋eq\f(1,2)PC·PAcosγ)·h，∴(eq\f(cosα,PC)＋eq\f(cosβ,PA)＋eq\f(cosγ,PB))h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.10．觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(－1)n＋1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1,3,6,10,15,21，….設(shè)此數(shù)列為{an}，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).所以第n個(gè)等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).11．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．(1)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(2)對(duì)一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.12.(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過程)．解(1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0≠±a)．依題意，得A(－a,0)，B(a,0)，所以直線PA的方程為y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a)，令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a).同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a).所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0)).又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，因此yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2,a2)(a2－xeq\o\al(2,0))．所以yMyN＝eq\f(a