不等式的證明教案

龍文教育學(xué)科老師個性化教案教師學(xué)生姓名上課日期學(xué)科年級教材版本類型知識講解□：考題講解□本人課時統(tǒng)計第（）課時共（）課時學(xué)案主題課時數(shù)量（全程或具體時間）共（）課時第（）課時授課時段教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容個性化學(xué)習(xí)問題解決教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)分析教學(xué)過程學(xué)生活動教師活動不等式的證明知識清單不等式的性質(zhì)1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和大小順序間的關(guān)系；；2、不等式的基本性質(zhì)①（反對稱性）如果，那么；如果，那么②（傳遞性）如果且，那么如果且，那么③（可加性）如果，那么（移項(xiàng)原則）如果，那么④（可乘性）如果且，那么；如果且，那么3、不等式的運(yùn)算性質(zhì)①（加法法則）如果，，那么②（減法法則）如果，，那么③（乘法法則）如果，，那么④（除法法則）如果，，那么⑤（乘方法則）如果，那么（且）⑥（開方法則）如果，那么（且）⑦（倒數(shù)法則）如果，，那么4、①重要不等式：如果，那么②均值定理：如果是正數(shù)，那么說明：①常用的不等式：，，，，②注意點(diǎn)：和定積最大，積定和最?。灰徽?、二定、三相等不等式的證明（方法）一、比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的證明方法有兩種：1．作差比較法（1）應(yīng)用范圍：當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時，常用此法。（2）方法：欲證A>B,只需要證A-B>0（3）步驟：“作差----變形----判斷符號”。（4）使用此法作差后主要變形形式的處理：○將差變形為常數(shù)或一個常數(shù)與幾個平方和的形式常用配方法或?qū)崝?shù)特征a2≥0判斷差的符號?！饘⒉钭冃螢閹讉€因式的積的形式，常用因式分解法。○若變形后得到二次三項(xiàng)式，常用判別式定符號?？傊?，變形的目的是有利于判斷式子的符號，而變形方法不限定，也就是說，關(guān)鍵是變形的目標(biāo)。2．作商比較法（1）應(yīng)用范圍：當(dāng)要證的式子兩端是乘積的形式或冪、指數(shù)時常用此法。（2）方法：要證A>B,常分以下三種情況：若B>0，只需證明；若B=0，只需證明A>0；若B<0，只需證明。（3）步驟：“作商-----變形-----判斷商數(shù)與1的大小”例1已知a，b∈R，且a+b=1.求證：.解析：用作差比較法即（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）例2：已知0<x<1,0<a<1，試比較的大小。解析：法1：用作差比較法∵0<1x2<1,∴∴法2：用作商比較法∵0<1-x2<1,1+x>1,∴∴∴二、綜合法：用綜合法證明不等式，就是利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證

明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础翱芍?，逐步推出“結(jié)論”綜合法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在步步注明推理依據(jù)。常用的不等式有：（1）（2）（3）（4）例3：若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：解析：根據(jù)本題的條件及要證明的結(jié)論，可用綜合法證明。又a,b,c,為不全相等的正數(shù)，故有三、分析法：分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。分析法一般用于綜合法難以證明的不等式。分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過程步步可逆。例7：若0<a<c,,b<c,求證：解析：原不等式形式復(fù)雜，不宜直接由一端過渡到另一端，故可作等價變形，用分析法證明。要證只要證也即a2-2ac<-ab∵a>0,∴只要證a+b<2c由題設(shè)條件，顯然有a+b<2c成立。所以，原不等式成立。四、反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設(shè)Ａ≤Ｂ，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。例9：已知a>0,b>0,且a+b>2解析：由于題目結(jié)論是：至少有一個小于2，情況較復(fù)雜，討論起來比較繁，宜采用反證法。∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,兩式相加可得1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2,這與已知a+b>2矛盾。故假設(shè)不成立五：換元法：換元法是將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達(dá)到簡化證題的目的方法。它主要有兩種換元形式：(1)三角換元法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡。例12：若，求證：解析：由x2+y2≤1，聯(lián)想到三角函數(shù)的性質(zhì)，考慮用三角換元法。設(shè)，則六：放縮法：要證明不等式Ａ<Ｂ成立，借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。例15：求證：解析：舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)進(jìn)行放縮?！摺唷咀兪健俊摺嗾f明：本題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即放不能太寬、縮不能太窄，真正做到恰到好處。七：構(gòu)造法：在不等式的證明中，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，如構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。例19：已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，求證x，y，z∈［0，］解析：根據(jù)題目的特點(diǎn)考慮構(gòu)造方程求解。由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，整理成關(guān)于y的一元二次方程得2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］同理可得y，z∈［0，］八：數(shù)學(xué)歸納法法：當(dāng)不等式是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。例26：比較2n與n2的大?。╪∈N*）解析：比較兩數(shù)（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測大小關(guān)系，再用數(shù)學(xué)歸納法證明解：當(dāng)n=1時，21＞12，當(dāng)n=2時，22=22，當(dāng)n=3時，23＜32，當(dāng)n=4時，24=42，當(dāng)n=5時，25＞52，猜想：當(dāng)n≥5時，2n＞n2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=5時，25＞52成立（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥5）時2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1）2∴當(dāng)n=k+1時，2n＞n2由（1）（2）可知，對n≥5的一切自然數(shù)2n＞n2都成立綜上，得當(dāng)n=1或n≥5時，2n＞n2；當(dāng)n=2，4時，2n=n2；當(dāng)n=3時，2n＜n2教學(xué)過程學(xué)生活動教師活動課堂練習(xí)課后作業(yè)學(xué)生成長記錄本節(jié)課教學(xué)計劃完成情況：照常完成□提前完成□延后完成□____________________________學(xué)生的接受程度：54321______________________________學(xué)生的課堂表現(xiàn)：很積極□比較積極□一般積極□不積極□___________