數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章第節(jié)獨立性檢驗（第4課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．4獨立性檢驗的應(yīng)用1．通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用．2．通過對典型案例的探究,了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想、方法及初步應(yīng)用，了解隨機(jī)變量χ2的含義．1．2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A:A1,A2＝________；變量B：B1，B2＝________。若用a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；用b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；用c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；用d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)，則會得到A，B之間的2×2列聯(lián)表如下：如何根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來判斷A，B之間是否獨立，就稱2×2列聯(lián)表的____________．2×2列聯(lián)表中，一定注意A2＝eq\x\to(A）1，B2＝eq\x\to(B)1.2．A，B相互獨立的條件和結(jié)論若A,B是相互獨立的，則有P(A1B1）＝________，P（A1B2)＝________，P(A2B1)＝________，P(A2B2）＝________,反之亦然．A，B是相互獨立事件，則P（AB）＝P(A）P（B)．3．2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)的作用設(shè)n＝a＋b＋c＋d，用eq\f(a,n）估計P（A1B1）,用eq\f(a＋b，n）估計P（A1）,用eq\f（a＋c,n）估計P（B1）,若有式子______________，則可認(rèn)為A1與B1獨立．同理，若______________，則可以認(rèn)為A1與B2獨立；若______________，則可以認(rèn)為A2與B1獨立;若____________________，則可以認(rèn)為A2與B2獨立．(1）式子的左、右兩邊的數(shù)表示的是頻率，不同于概率，即使變量之間相互獨立，式子兩邊也不一定恰好相等，但是當(dāng)兩邊相差很大時,變量之間就不獨立．（2)根據(jù)A2＝eq\x\to（A）1,B2＝eq\x\to（B）1，知eq\f(a＋b,n）＋eq\f（c＋d,n)＝1及eq\f（a＋c，n)＋eq\f（b＋d,n)＝1.4．獨立性檢驗統(tǒng)計學(xué)選取統(tǒng)計量____________________的大小來檢驗變量之間是否獨立．在統(tǒng)計中，用以下結(jié)果對變量的獨立性進(jìn)行判斷:其中χ2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)。（1)當(dāng)χ2≤2。706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2＞2。706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；（3)當(dāng)χ2＞3。841時，有95％的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián);（4）當(dāng)χ2＞6.635時,有99％的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián)．【做一做1】考察棉花種子是否經(jīng)過處理跟得病之間的關(guān)系,得如下表所示的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理總計得病32101133不得病61213274總計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)得χ2的值是__________．【做一做2】對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病總計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196總計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別．答案：1.eq\x\to（A)1eq\x\to(B)1獨立性檢驗2．P(A1）P（B1）P（A1)P(B2）P(A2)P（B1)P(A2）P(B2）3.eq\f（a，n）＝eq\f(a＋b,n）·eq\f(a＋c，n）eq\f(b,n)＝eq\f（a＋b，n)·eq\f（b＋d，n)eq\f（c，n)＝eq\f(c＋d,n）·eq\f(a＋c，n）eq\f(d，n）＝eq\f(c＋d,n)·eq\f（b＋d,n）4．χ2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)【做一做1】0.164【做一做2】解:根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324）≈1。78.因為1.78＜2。706，所以我們可以認(rèn)為病人是否又發(fā)作過心臟病與其做過何種手術(shù)無關(guān)．1．利用2×2列聯(lián)表判斷兩個變量之間是否獨立剖析：2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是通過大量的實驗、調(diào)查得到的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)不一定全面反映兩個變量之間的關(guān)系,但通過這些數(shù)據(jù)可透視A，B之間的關(guān)聯(lián)程度的大小，即我們可以通過計算2×2列聯(lián)表中變量的頻率來估計．頻率不同于概率，只能用頻率來估計概率，所以即使兩個變量之間相互獨立，頻率也不一定恰好相等，但是當(dāng)兩邊相差很大時，可以斷定兩個變量之間不相互獨立；如果相差很小，則可以說這兩個分類變量是獨立的．2．利用2×2列聯(lián)表判斷兩個變量之間是否獨立的步驟剖析：第一步：根據(jù)調(diào)查結(jié)果和數(shù)據(jù)，列出所要研究的兩個變量之間的2×2列聯(lián)表．第二步:計算總和,即變量A，B的總數(shù)．第三步:求頻率．第四步：判斷．①兩個變量之間的2×2列聯(lián)表如下：②兩個變量的頻率列表如下:若eq\f(a，n）＝p·q，則A1與B1獨立；若eq\f(b,n）＝q(1－p），則A1與B2獨立；若eq\f（c，n)＝p（1－q）,則A2與B1獨立；若eq\f(d,n）＝(1－p）(1－q），則A2與B2獨立．3．獨立性檢驗的理論依據(jù)剖析：獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認(rèn)兩個分類變量A，B是否有關(guān)聯(lián),首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系"成立．在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2很大,說明變量之間不獨立，則在一定程度上說明假設(shè)不合理．根據(jù)隨機(jī)變量χ2的含義，由實際計算出χ2＞6.635，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，也就是兩個分類變量A，B有99％的把握有關(guān)聯(lián)．題型一列出兩個變量之間的2×2列聯(lián)表【例題1】某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析．其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件，不合格品有49件;設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件．請根據(jù)數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表，可以用本列表研究什么問題？分析：對產(chǎn)品進(jìn)行分類，設(shè)備按改造前后分類，產(chǎn)品按合格，不合格分類,列出2×2列聯(lián)表,研究設(shè)備改造前后對產(chǎn)品合格是否有影響．反思：將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)為圖表語言更為清晰，可為進(jìn)一步研究問題作好充分的準(zhǔn)備．題型二用頻率來估計概率，判斷變量之間是否有關(guān)聯(lián)【例題2】甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下列聯(lián)表：請問成績與班級有關(guān)系嗎？分析：可通過計算各變量的頻率，用頻率來估計概率，并進(jìn)行判斷．反思：用頻率來估計概率不是很準(zhǔn)確，但也能說明一定的問題．從本題可知學(xué)習(xí)成績主要取決于個人是否努力，與所在班級關(guān)系不大，不要強(qiáng)調(diào)外界環(huán)境．題型三用統(tǒng)計量χ2來判斷兩個變量之間有無關(guān)聯(lián)【例題3】2009年春天山東出現(xiàn)了手足口傳染病，在菏澤地區(qū)調(diào)查了350人，其中女孩170人，男孩180人，女孩中有14人被感染，其余未被感染；男孩中有21人被感染,其余未被感染．（1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2）判斷性別與被感染是否有關(guān)系．分析：先根據(jù)題目的敘述，將文字信息轉(zhuǎn)為圖表信息,再計算χ2來判斷關(guān)聯(lián)程度．反思：獨立性檢驗在科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，有時可以幫助我們作出正確的選擇，獨立性檢驗是利用隨機(jī)變量χ2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個變量之間有關(guān)系"的方法．答案:【例題1】解：根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：通過研究此2×2列聯(lián)表可以研究設(shè)備改造前后對產(chǎn)品合格是否有影響．【例題2】解：根據(jù)2×2列聯(lián)表得頻率表如下：由于eq\f(17,90)×eq\f（1,2）＝eq\f（17，180），而eq\f(1，9）＝eq\f（20，180）；eq\f(73，90）×eq\f(1，2）＝eq\f(73，180),而eq\f(7,18)＝eq\f（70,180)；eq\f(17,90）×eq\f(1，2)＝eq\f（17，180)，而eq\f（7,90)＝eq\f（14，180）；eq\f（73,90)×eq\f（1,2）＝eq\f（73，180)，而eq\f（19，45)＝eq\f（76,180）。這些頻率之間相差不大，可以認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與班級沒有關(guān)系．【例題3】解：(1）2×2列聯(lián)表如下：(2)由于χ2＝≈1。1438＜2。706，∴沒有充分證據(jù)說明性別與被感染有關(guān)．1對分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的值說法正確的是（)．A．χ2越大,“X與Y有關(guān)系"的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系"的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越大，“X與Y無關(guān)系”的把握性越大答案：Bχ2越大，X與Y越不獨立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越小．2下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計X1a2173X222527總計b46表中a，b處的值分別為（)．A．94,96 B．52，50C．52,54 D．54，52答案：C由表可知73＝a＋21，∴a＝52,∴b＝a＋2＝52＋2＝54.3(2012·江蘇揚(yáng)州)有人發(fā)現(xiàn),多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調(diào)查機(jī)構(gòu)對此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果：冷漠不冷漠總計多看電視6842110少看電視203858總計8880168則大約有__________的把握認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)系．答案：99％χ2＝≈11。3765＞6。635，所以有99％的把握認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)．4為了研究休閑方式是否與性別有關(guān)，共調(diào)查了120人，其中女性68人，男性52人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外的25人主要的休閑方式是運動；男性中有19人主要的休閑方式是看電視，另外的33人主要的休閑方式是運動，根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立兩個分類變量的列聯(lián)表．解：根據(jù)數(shù)據(jù)可得兩個分類變