數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章第節(jié)回歸分析（第3課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3可線性化的回歸分析1．進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想，明確建立回歸模型的基本步驟．2．了解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，體會(huì)有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，了解在解決問題中尋找更好的模型的方法．1．在具體問題中，我們首先應(yīng)該作出原始數(shù)據(jù)(x,y）的________，從______中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律,再根據(jù)這個(gè)規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行擬合．2．對于非線性回歸模型一般可轉(zhuǎn)化為______________，從而得到相應(yīng)的回歸方程．3．幾種常見模型（1)冪函數(shù)曲線y＝axb。其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近．設(shè)__________________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv.（2）指數(shù)曲線y＝aebx。其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近．設(shè)______________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系:u＝c＋bx.（3）倒指數(shù)曲線。其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近．設(shè)____________，則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：u＝c＋bv。（4)對數(shù)曲線y＝a＋blnx。其散點(diǎn)圖在如下圖所示曲線附近．設(shè)________,則轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：y＝a＋bv.【做一做1】如圖中曲線所表示的函數(shù)最有可能是（）．A．y＝lnx B．y＝exC． D．【做一做2】若一函數(shù)模型為y＝2＋3log2x，則作變換u＝__________，才能轉(zhuǎn)化為y是u的線性回歸方程．答案：1．散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖2．線性回歸模型3．（1)u＝lny，v＝lnx，c＝lna(2)u＝lny，c＝lna（3）u＝lny，c＝lna，v＝eq\f(1，x）(4）v＝lnx【做一做1】D【做一做2】log2x1．實(shí)際問題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取剖析：（1)要先作散點(diǎn)圖；（2）選取所有符合的可能類型；（3)將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性關(guān)系后，可再作線性相關(guān)的散點(diǎn)圖來進(jìn)一步辨別，也可通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)作比較．2．常見的幾種模型在轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系時(shí)應(yīng)注意的問題剖析：常見的幾種函數(shù)模型的解析式在轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相關(guān)關(guān)系時(shí)，要根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，靈活地?fù)Q元轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)關(guān)系．常見的幾種模型在使用時(shí)要注意散點(diǎn)圖的形狀符合哪一種類型曲線的形狀，有時(shí)不太容易辨別，可采用多種模型擬合，并轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸關(guān)系．利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷檢驗(yàn)用哪一種擬合效果較好,就用哪一種模型．3．利用線性回歸擬合曲線的一般步驟剖析:(1）繪制散點(diǎn)圖．一般根據(jù)數(shù)據(jù)性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知識便可確定數(shù)據(jù)的曲線類型．不能確定時(shí)，可在方格坐標(biāo)紙上繪制散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)的分布，選擇接近的、合適的曲線類型．(2）進(jìn)行變量替換．令y′＝f(y)，x′＝g(x)，使變換后的兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系．（3）按最小二乘法原理求線性回歸方程并進(jìn)行檢驗(yàn)．(4）將線性回歸方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原始變量x，y的回歸方程．題型一已知模擬函數(shù)類型確定解析式【例題1】我國1950~1959年人口數(shù)據(jù)資料如下表所示：年份t/年1950195119521953195419551956195719581959人口y/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207若y與t之間滿足y＝aeb（t－1950）的關(guān)系,求函數(shù)解析式．若按此增長趨勢,問我國2012年人口將達(dá)到多少億？分析:本題中已知函數(shù)模型的類型,可通過變形轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，從而求出．反思：本題中已知函數(shù)模型，可通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系u＝c＋bt′，然后通過變換公式計(jì)算出相應(yīng)的u與t′之間的數(shù)據(jù)關(guān)系表，根據(jù)求線性回歸直線的公式計(jì)算出u與t′之間的函數(shù)關(guān)系,并將u與t′之間的關(guān)系再轉(zhuǎn)回到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系．題型二通過數(shù)據(jù)探尋函數(shù)關(guān)系模型【例題2】某種書每冊的成本費(fèi)y(元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下表所示：x123510203050100200y10。155.524。082。852.111.621。411.301.211。15檢驗(yàn)每冊書的成本費(fèi)y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)eq\f（1,x)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有,求出y對x的回歸方程．分析：本題中y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系，而y與eq\f(1，x）可能具有線性相關(guān)關(guān)系，故先把x轉(zhuǎn)化為eq\f(1,x），不妨設(shè)u＝eq\f（1，x），建立y與u的回歸分析即可，最后轉(zhuǎn)化為y與x的關(guān)系．反思:在拿不準(zhǔn)y與eq\f（1，x）之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以通過變換u＝eq\f(1，x)找y與u之間的關(guān)系,并通過畫散點(diǎn)圖或計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)來進(jìn)一步判斷y與u之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,從而進(jìn)一步完成運(yùn)算．答案:【例題1】解:設(shè)u＝lny，c＝lna，t′＝t－1950，則u＝c＋bt′。u與t′之間的關(guān)系數(shù)據(jù)如下表：t′0123456789u10。918610。938410.959210.981811.006511。026111.048211。075411.097311.1155由此可得：eq\i\su（i＝1,10，t)i′2＝285，eq\i\su(i＝1，10，t）i′ui＝497.5936，eq\x\to（t′）＝4.5，eq\x\to（u)＝11。0167，進(jìn)而可以得b＝＝eq\f(497。5936－10×4。5×11。0167,285－10×4.52）≈0.0223，∴c＝eq\x\to（u）－beq\x\to(t′)＝11.0167－0。0223×4.5≈10。9164.∴u＝10。9164＋0。0223t′?！鄖＝e10。9164＋0.0223(t－1950)＝e10。9164·e0.0223（t－1950）．當(dāng)t＝2012時(shí)，u＝10.9164＋0。0223×(2012－1950)＝12。299，∴y＝e12.299≈219476。40（萬人），即如果按此增長趨勢,到2012年將達(dá)到21.947640億人．【例題2】解：設(shè)u＝eq\f（1,x）,則y與u的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表:u10.50。330。20。10。050。0330.020.010。005y10。155.524。082.852.111。621.411.301。211.15由此可得：eq\i\su(i＝1，10，u）eq\o\al(2，i）＝1。412989,eq\i\su(i＝1,10,y）eq\o\al（2,i)＝171.803，eq\i\su（i＝1,10,u)iyi＝15.20878，eq\x\to（u)＝0。2248，eq\x\to(y）＝3。14,則線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su（i＝1,10,u)iyi－10\x\to（u)\x\to(y）,\r(\i\su（i＝1，10,u)\o\al(2,i）－10\x\to(u）2）\r(\i\su（i＝1,10,y）\o\al(2,i）－10\x\to（y）2）)＝eq\f(15。20878－10×0.2248×3.14,\r(1。412989－10×0。22482)×\r(171。803－10×3。142）)≈0。9998。這表明u與y之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而求y與u的線性回歸方程是有意義的．∵b＝eq\f（\i\su（i＝1，10,u)iyi－10\x\to(u）\x\to(y）,\i\su(i＝1，10,u)\o\al(2,i)－10\x\to(u)2)≈8。98,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（u）＝3.14－8。98×0。2248≈1.12，∴y＝1。12＋8。98u?！鄕與y之間的回歸方程為y＝1.12＋eq\f(8.98,x)。1冪函數(shù)曲線y＝xb，當(dāng)b＞1時(shí)的圖像為(）．答案：A當(dāng)b＞1時(shí)，圖像為選項(xiàng)A；當(dāng)0＜b＜1時(shí),圖像為選項(xiàng)B；當(dāng)b＜0時(shí)，圖像為選項(xiàng)C；當(dāng)b＝1時(shí),圖像為選項(xiàng)D.2倒指數(shù)曲線,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)的圖像為(）．答案：A3某市居民2005~2009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出Y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11。512.11313.315支出Y6.88。89。81012根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是__________萬元,家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關(guān)關(guān)系．答案：13正根據(jù)中位數(shù)的定義，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13,家庭年平均收入與年平均支出有正線性相關(guān)關(guān)系．4x，y滿足如下表的關(guān)系:x0.20。61。01.21。41。61.82。02.2y0。040.3611。41.92.53。23。984。82則x，y之間符合的函數(shù)模型為__________．答案：y＝x2通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y的值與x的平方值比較接近，所以x，y之間的函數(shù)模型為y＝x2.5某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y（人)與月份x（月）之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為y＝aebx，確定這個(gè)函數(shù)解析式．月份x/月123456人數(shù)y/人526168747883分析：函數(shù)模型為指數(shù)