2024高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)綜合復(fù)習(xí)沖A專題4立體幾何綜合問題

沖A專題四立體幾何綜合問題

1.（2023浙江衢州）用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體,所得截面形狀可能為（）

①三角形②四邊形皿邊形④六邊形⑤圓

A.?（2）（3）B.

c.D.

2.（2023浙江舟山中學(xué)）如圖，已知正三棱柱ABCTBG,AC=AA,Et尸分別是棱陽4G上的點(diǎn).記EF

與44所成的角為明）與平面版:所成的角為￡,二面角六6CT的平面角為九則（）

卜.a&8WyB.QWaWy

C.BWyWaD.aW/W￡

3.如圖，在正方體/1BCD-小BiG塊中，尸為底面4完〃上的動(dòng)點(diǎn),見4。于點(diǎn)E,且PA=PE,則點(diǎn)P的軌跡

是（）

A.線段

B.圓

C.橢圓的一部分

D.拋物線的一部分

4.（2020浙江學(xué)考）如圖，已知直三棱柱ABC-A^Q的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為2,￡〃分

別是側(cè)面月CU4和側(cè)面4價(jià)M上的動(dòng)點(diǎn)，滿足二面角1-仔為直二面角.若點(diǎn)尸在線段步上，且AP

1ER則點(diǎn)〃的軌跡的面積是（：）

A.三BW

C三?等

5.（2023浙江紹興）在長方體ABCDTRC業(yè)中,底面ABCD是邊長為4的正方形,尸是棱4〃上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，若叫國,PD』,則三棱錐尸■/仍〃外接球的表面積是'：）

A.144nB.36nC.9nD.6n

6.（多選）（2023浙江強(qiáng)基聯(lián)盟）在正方體ABCD-ABCD中,必為棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在側(cè)面力第M上運(yùn)

動(dòng),且APLAdh已知正方體的棱長為2,則（）

/——A-r-/

A.〃平面AMf

B.點(diǎn)尸的軌跡長度為遙

C.的最小值為

I）.當(dāng)〃在棱4a上時(shí),經(jīng)過42M三點(diǎn)的正方體的截面周長為25+2尸+9通

6

7.（多選）（2023浙江舟山中學(xué)）如圖,在邊長為2的正方形砥霜中,點(diǎn)〃’是4,的中點(diǎn)，點(diǎn)少是8C的

中點(diǎn)，點(diǎn)M是力。（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).將△/1叫△〃/分別沿DEy卯折起，使A,。兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A

K.PDVEF

B.若把△脈沿著即繼續(xù)折起,點(diǎn)B與點(diǎn)、〃恰好重合

C.無論點(diǎn)〃在線段初上的哪里,陽都不可能與平面,吹平行

D.三棱錐P-頌的外接球表面積為6n

8.（2023浙江溫州知臨中學(xué)）已知圓錐的母線長為5,側(cè)面積為20n,過此圓錐的頂點(diǎn)作一截面,則截

面面積最大為.

9.（2022浙江蕭山）已知直四棱柱ABCD—ABiG以,底面/切⑦為平行四邊形,44-3,AB=2,AD=1,Z

胡〃10。，則以〃為球心,半徑為2的球面與側(cè)面BCCB的交線的長度為.

10.（2023浙江衢溫5月聯(lián)盟）

已知正三棱錐ST1%的高為4,底面邊長為4V3.

（1）求該正三棱錐的表面積；

（2）用平行于底面4%的平面去截該三棱錐,所得截面三角形ABG的邊長為3V3,已知點(diǎn)

4,仇G,4B,。都在同一球面上,求該球的體積.

11.（2023浙江四校）

如圖，在三棱柱ABC-AWC中，，仍JJC平面力比'1,平面BCGI又H.?。_1_死點(diǎn)〃為棱月近的中點(diǎn).

⑴求證：直線臺(tái)C_L平面/I%

⑵若力修4,BB\K求直線由與平面4陽4所成角的正弦值.

對(duì)于C,由上知WJ_平面AMik：,記垂足為K,因?yàn)楹笃咂矫鎯骸?明所以KM1.AH,所以為點(diǎn)出到AH

的最小距離，即的最小值，

在△/出7中，/1〃/,州裾，AM3,cosNM,M-5+二6=延所以sin/HA定叵,

2xV5x31515

所以點(diǎn).獷到M的距離d=4的in/胡后3X等二等，故C正確；

R

對(duì)于D,?、呱峡拷c(diǎn)。的四等分點(diǎn)F,。山上靠近G的三等分點(diǎn)/,易知AF//HI,AH//FMf所以

A,F,M,/,//五點(diǎn)共面，所以五邊形力用〃，即為截面,所以周長I尸AF+FM+Ml+IH+HA^+且+四+與+

2233

V5=25+29+9\后,故D正確故選BCD.

7.ABD解析連接BD,與杼、相交于點(diǎn)G,連接PG,因?yàn)樵谡叫瘟σ缘吨?，點(diǎn)E是力/，的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是

歐的中點(diǎn),所以AE=CF,可得△/1噲△期故DE=DF,所以而是防的垂直平分線,所以G是牙'的中

點(diǎn)，因?yàn)镻E=PFt所以PG1EF,因?yàn)镻GCBG二G,PG,琳平面PBG,所以比1平面PBG,因?yàn)樾?平面

PBG,所以PDLERA正確;

因?yàn)锽E=BF=PF二PE,故將△筋沿著〃折起,點(diǎn)B與點(diǎn)、〃恰好重合,B正確;

連接於交微于點(diǎn)〃，則BO=l）（l因?yàn)镋是力〃的中點(diǎn)，，'是ZT的中點(diǎn),所以EF"AC,且BG=GO,當(dāng)點(diǎn)"

為如上靠近點(diǎn)尸的四等分點(diǎn)時(shí),需=需=*可得MG〃PB,因?yàn)榍蚱矫鍹EF,Mt平面MEF,可得PB

〃平面秘7"錯(cuò)誤；

由DE=DF=4S,EF=y/2,在中，由余弦定理得cos/EDF空黑±所以sinZ

EgJl_cos2NEDF=l設(shè)△應(yīng)尸的外接圓半徑為R,圓心為Q,由正弦定理得2個(gè)工”W=

5sin^.cDur—5

—,3二心三過點(diǎn)〃作/力_1_做于點(diǎn)〃（圖略），則H/_L平面比卜;又因?yàn)镕E寸卜=1,上卜=&,所以1口

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PR且PG^t設(shè)H則仞￥-/〃,由勾股定理得PHIZ%即（4）2一/4一（苧一加y,解得

加呼,所以用力一卷二*所以PH?.設(shè)球心為I,則/0L底面DEF,過點(diǎn)/作小J_加于點(diǎn)A；連接ID,

則IN=HQ=HD-QD^-一誓=修，設(shè)］Q=HN=h,則PN=lPIHlNl=|?h|或PN=Pll+HN?+h,設(shè)外接球半徑

為r,則ID=IP=rtBP力?彳乎「（|町,（當(dāng)］或而（號(hào)戶（|司力圖「解得吟,所以

尸漏2+（乎）2=學(xué)三棱錐〃-戚的外接球表面積為4nnx|-6n,D正確.故選ABD.

8.v解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則S測(cè)與n片20n,

.：E,?：圓錐的高力

設(shè)軸截面中兩母線夾角為2〃，則tan

?:0弓2〃弓.

?:當(dāng)兩母線夾角為三時(shí),過此圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大,最大面積為sW/sing=：X52號(hào).

9.j解析如圖，取陽=1,連接〃￡〃幾

因?yàn)樵谥彼睦庵Ρ取?/UG〃中，側(cè)棱/14JL底面ABCD、可得直四棱柱ABCD-AWC"的四個(gè)惻面均為

矩形,所以〃G_LCG,

因?yàn)?G2所以以以為球心,2為半徑的球面與直線GC相切.

在直四棱柱ABCD-小AC。.中,底面力以》為平行四邊形,力4-3"戶2,AD=1,NBADWO：在中，

根據(jù)余弦定理可得,〃用二4。*4酹-21。?/I歸cos60°=1抬-2X1'2X^3,所以。瓜用.

因?yàn)椤ㄗ翚vd=GO；,所以N45Gt0°,即DB1BC.

因?yàn)榉馈沟酌?笈G。,〃笈u平面A出C。所以所以吟JDE”產(chǎn)=V3+I-2,所以

球面與側(cè)面比'GS的交點(diǎn)為6和G,又所招G=1,〃￡_L平面68阮所以點(diǎn)”和。在以5為圓心，1

為半徑的圓上,因?yàn)锽BdCB,所以弧FC\的長度為]X2n

所以球面與側(cè)面8CG5的交線為弧FG,所以球面與側(cè)面用石層的交線的長度為三.

10.解(1)過點(diǎn)S作S0_L底面力比；垂足為。，則5。為三棱錐的高，。為的中心且NS如30°.

VAB=AC=BC=4y/3,

?：BO—A,淅1在，

?:正三棱錐的斜高力=2代.

?:見￡片叢X4V^X2y[s=115,

,:正三棱錐ST砥的表面積SWX5-SA*3Mh宙+：X4百X4V5Xsin600=12代+126,

,:該正三棱錐的表面積為12疝/12G.

(2)丁4/?，T胎為正二樓臺(tái)，二球心在直線S〃上，

記QS與△45。的交點(diǎn)為0\則0'為△A\B\C\的中心.

設(shè)球心為M設(shè)MO=x,MO'=y,

依，AB4^,OSN,

???OO'A,O'氏A則9匈,對(duì),且力5=1或戶片1,解得X4,片4,即他鵬,欣/工

?:外接球的半徑上5,

?:球的體積J，誓1=等.

1L⑴證明因?yàn)?BLAC過點(diǎn)、A作A/LLBC,交邊BC千點(diǎn)〃.

因?yàn)锳HA.BC,平面力比」平面BCCB,平面ABCC平面

力山平面ABC,故1〃_L平面BCCB、又臺(tái)平面BCCB,故川&B