專題15 四邊形問題（解析板）

一、選擇題1.（福州）下列命題中，假命題是【】A．對頂角相等B．三角形兩邊和小于第三邊C．菱形的四條邊都相等D．多邊形的內(nèi)角和等于360°考點：命題與定理．2.（福州）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE.AC，BE相交于點F，則∠BFC為【】A．45°B．55°C．60°D．75°考點：1.正方形和等邊三角形的性質(zhì)；2.三角形內(nèi)角和定理.3.（珠海）邊長為3cm的菱形的周長是【】A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm【答案】C.【解析】試題分析：∵菱形的四邊都要相等，∴邊長為3cm的菱形的周長是12cm.故選C.考點：菱形的性質(zhì).4.（玉林、防城港）下列命題是假命題的是【】A．四個角相等的四邊形是矩形B．對角線相等的平行四邊形是矩形C．對角線垂直的四邊形是菱形D．對角線垂直的平行四邊形是菱形考點：1.命題與定理；2.矩形和菱形的判定．5.（畢節(jié)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于【】A．3.5B．4C．7D．14【答案】A．【解析】試題分析：∵菱形ABCD的周長為28，∴AB=28÷4=7，OB=OD.∵H為AD邊中點，∴OH是△ABD的中位線.∴OH=AB=×7=3.5．故選A．考點：1.菱形的性質(zhì)；2.三角形中位線定理.6.（黔東南）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是【】A．AB∥DC，AD=BCB．AB∥DC，AD∥BCC．AB=DC，AD=BCD．OA=OC，OB=OD考點：平行四邊形的判定．7.（黔東南）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為【】A．6B．12C．D．【答案】D．【解析】試題分析：設(shè)BE=x，則CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后點C與點A重合，∴AE=CE=16﹣x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6.∴AE=16﹣6=10.考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.翻折對稱的性質(zhì)；3.矩形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.方程思想的應(yīng)用．8.遵義）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為【】A．B．C．D．又∵∠PBC=∠EBF，∴△BCP∽△BEF.∴，即.故選D．考點：1.正方形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定和性質(zhì)；3.圓周角定理．9.（河北）如圖，將長為2，寬為1的矩形紙片分割成n個三角形后，拼成面積為2的正方形，則n≠【】A、2B、3C、4D、5【答案】A．【解析】考點：1.圖形的剪拼；2.矩形和正方形的性質(zhì)；3.勾股定理．10.（河南）如圖，ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,則BD的長是【】(A)8(B)9(C)10（D）11【答案】C．【解析】試題分析：利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求BO的長，進而可求出BD的長：∵ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∴BO=DO，AO=CO.∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴AO=3.∴.∴BD=2BO=10.故選C．考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.勾股定理．11.（十堰）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是【】A．7B．10C．11D．12考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.線段垂直平分線的性質(zhì)．12.（襄陽）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，則∠A等于【】A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C．【解析】試題分析：∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°.∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC=80°.∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣80°=100°.故選C．考點：1.梯形和等腰三角形的性質(zhì)；2.平行線的性質(zhì)．13.（襄陽）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是【】A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】故選D．考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.矩形的性質(zhì)；3.含30度角直角三角形的判定和性質(zhì)；4.等邊三角形的判定.14.（孝感）如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為，若，則ABCD的面積是【】A． B．C． D．【答案】A．【解析】考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.解直角三角形．15.孝感）如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點D的對應(yīng)點D′的坐標是【】A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D．（10，2）或（-2，0）考點：1.坐標與圖形的旋轉(zhuǎn)變化；2.分類思想的應(yīng)用．16.（南京）如圖，在矩形中，點A的坐標是（-2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標為【】A.（，）、（，）B.（，）、（，）C.(，)、（，）D.(，)、（，）∴點C的橫坐標是.∴B、C兩點的坐標分別為.故選B.考點：1.矩形的性質(zhì)；2.坐標與圖形性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)．17.（赤峰）如圖，把一塊含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角頂點放在矩形桌面CDEF的一個頂點C處，桌面的另一個頂點F與三角板斜邊相交于點F，如果∠1=40°，那么∠AFE=【】A.50°B.40°C.20°D.10°【答案】D．【解析】18.（呼和浩特）已知矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線AC，BD相交于點O，過點O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)（不與頂點重合），則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項為【】 A．△CDE與△ABF的周長都等于10cm，但面積不一定相等 B．△CDE與△ABF全等，且周長都為10cm C．△CDE與△ABF全等，且周長都為5cm D．△CDE與△ABF全等，但它們的周長和面積都不能確定【答案】B．【解析】考點：1.矩形的性質(zhì)；2.菱形的判定和性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì).19.（濰坊）如圖，已知矩形ABCD的長AB為5，寬BC為4．E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交CD于點F．設(shè)BE=x，F(xiàn)C=y，則點E從點B運動到點C時，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是()【答案】A．【解析】考點：1.動點問題的函數(shù)圖象分析；2.矩形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；5.二次函數(shù)的性質(zhì).20.（上海）如圖，已知AC、BD是菱形ABCD的對角線，那么下列結(jié)論一定正確的是（）．(A)△ABD與△ABC的周長相等；(B)△ABD與△ABC的面積相等；(C)菱形的周長等于兩條對角線之和的兩倍；(D)菱形的面積等于兩條對角線之積的兩倍．【答案】B.【解析】試題分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)作答即可：∵菱形的四邊相等，對角線不一定相等，∴△ABD與△ABC的周長不一定相等；∵△ABD與△ABC的面積都是菱形ABCD面積的一半，∴△ABD與△ABC的面積相等；菱形的周長不一定等于兩條對角線之和的兩倍；菱形的面積等于兩條對角線之積的一半．故選B.考點：菱形的性質(zhì).21.（天津）如圖，ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于【】（A）3：2（B）3：1（C）1：1（D）1：2考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.相似三角形的判定和性質(zhì).22.（新疆、兵團）四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是【】A．OA=OC，OB=ODB．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BD．AB∥DC，AD=BC故選D．考點：平行四邊形的判定．23.（新疆、兵團）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點，分別以ED，EC為折痕將兩個角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點A，B恰好落在CD邊的點F處．若AD=3，BC=5，則EF的值是【】A．B．C．D．【答案】A．【解析】考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.折疊對稱的性質(zhì)；3.矩形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理.24.（舟山）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點．現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH．若HG的延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為【】(A)2cm(B)cm(C)4cm(D)cm考點：1.折疊問題；2.矩形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.方程思想的應(yīng)用.25.（重慶B）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為【】A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B.【解析】試題分析：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC，BO=OD，AC=BD.∴OB=GC.∴∠ACB＝∠DBC.∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°.∴∠AOB=60°.故選B.考點：1.矩形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì).26.（重慶B）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，以AB為直徑作一個半圓，則圖中陰影部分的面積為【】A、B、C、D、考點：1.菱形的性質(zhì)；2.勾股定理；3.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.二、填空題1.（福州）如圖，在ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，則ABCD的周長是▲．【答案】20.【解析】考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3.等腰三角形的判定.2.（玉林、防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，則梯形ABCD的周長是▲．【答案】7+．【解析】考點：1.直角梯形的性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3.等腰三角形的判定和性質(zhì)；4.銳角三角函數(shù)定義；5.特殊角的三角函數(shù)值；6.勾股定理．3.（畢節(jié)）將四根木條釘成的長方形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為長方形面積的一半（木條寬度忽略不計），則這個平行四邊形的最小內(nèi)角為▲度．【答案】30.【解析】考點：1.矩形和平行四邊形的性質(zhì)；2.含30度角的直角三角形性質(zhì).4.（河南）如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=600，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)300得到菱形AB'C'D'，其中點C的運動能路徑為，則圖中陰影部分的面積為▲.【答案】.【解析】試題分析：如答圖，連接AC，AC'，過點D作DH⊥AC于點H，∵在菱形ABCD中,∠DAB=600,∴∠D=1200,AD=DC.∴∠DAC=∠DCA=300.又∵把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)300得到菱形AB'C'D'，∴∠DAD'=300.∴A，D'，C三點共線.∵AD=AB=1，∴.考點：1.面動旋轉(zhuǎn)問題；2.菱形的性質(zhì)；3.扇形面積的計算；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；5.含30度直角三角形的性質(zhì)；6.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．5.（河南）如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應(yīng)點D'落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為▲.【答案】或.【解析】易證，△EMD'∽△D'NA，∴.當BN=D'N=3時，，∴；當BN=D'N=4時，，∴.∵DE=D'E，∴DE的長為或.考點：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.角平分線的性質(zhì)；4.正方形和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想和分類思想的應(yīng)用.6.（黃岡）如圖，在一張長為8cm、寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積是▲cm2．∵，∴；（3）當AE=EF=5厘米時，如答圖，考點：1.實踐操作題；2.作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）；3.矩形的性質(zhì)；4.等腰三角形的性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用.．7.（十堰）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長線上，且DE=DF．給出下列條件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認為這個條件是▲（只填寫序號）．考點：菱形的判定．8.（武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長為▲.【答案】.【解析】在Rt△ADD′中，由勾股定理得.考點：1.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．9.（襄陽）在ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=，則ABCD的周長等于▲．【答案】12或20．【解析】考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.勾股定理；3.分類思想的應(yīng)用．10.（孝感）如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE、BE，若△ABE是等邊三角形，則＝▲．【答案】.【解析】考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.折疊的性質(zhì)；4.矩形的性質(zhì)；5.等邊三角形的性質(zhì)．11.（揚州）如圖，若該圖案是由8個全等的等腰梯形拼成的，則圖中的__________o.考點：1.多邊形內(nèi)角和定理；2.等腰梯形的性質(zhì).12.（赤峰）一只螞蟻在圖所示的矩形地磚上爬行，螞蟻停在陰影部分的概率為▲．【答案】.【解析】考點：1.矩形的中心對稱性質(zhì)；2.概率；3.轉(zhuǎn)換思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.13.（赤峰）如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點，將△ABE沿AE折疊到△AEF，F(xiàn)在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交DC于G點，若∠AEB=550，則∠DAF的度數(shù)為▲．【答案】20°．【解析】∵菱形ABCD中，對角線長AC=8cm，BD=6cm，∴AE=4cm，BE=3cm，且AC⊥BD.∴根據(jù)勾股定理得，AB=5cm．考點：1.菱形的性質(zhì)；2.勾股定理.15.（寧夏）如下圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分線交BC于點E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為▲．【答案】.【解析】考點：1.等腰梯形的性質(zhì)和面積；2.平行四邊形的判定和性質(zhì)；3.等邊三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的性質(zhì)；5.角平分線定義.16.（濱州）如圖，菱形OABC的頂點O是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線的長分別是6和4.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點C，則k的值為▲.【答案】－6.【解析】試題分析：∵菱形的兩條對角線的長分別是6和4，∴C（﹣3，2）.∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得k=－6.考點：1.菱形的性質(zhì)；2.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系.17.（上海）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AB＝3EB．設(shè)，，那么＝_________（結(jié)果用、表示）．【答案】.【解析】試題分析：根據(jù)三角形法則，.考點：平面向量.18.（上海）如圖，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點C′、D′處，且點C′、D′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，D′F與BE交于點G．設(shè)AB＝t，那么△EFG的周長為______________（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】試題分析：如圖，連接D′B，過點F作FH⊥BC于點H，∵BE＝2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點C′、D′處，且點C′、D′、考點：1.折疊問題；2.矩形的判定和性質(zhì)；3.含30度直角三角形的判定和性質(zhì)；4.等邊三角形的判定和性質(zhì).19.（天津）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上.（1）計算的值等于▲；（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使矩形的面積等于，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）▲.【答案】（1）11；（2）作圖如下，分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延長DE交MN于點Q，連接QC，平移QC至AG，BP位置，直線GP分別交AF，BH于點T，S，則四邊形ABST即為所求．【解析】試題分析：（1）直接利用勾股定理計算：.（2）首先分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；進而得出答案．考點：1.作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）；2.網(wǎng)格問題；3.勾股定理．20.（金華）如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結(jié)EF交CD于點G，若G是CD的中點，則BC的長是▲．考點：1.矩形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.線段垂直平分線的性質(zhì)；5.方程思想的應(yīng)用.21.（重慶A）如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，則菱形ABCD的周長為▲.【答案】28.【解析】試題分析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA.∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形.∵BD=7，∴AB=BC=CD=DA=BD=7.∴菱形ABCD的周長為28.∴考點：1.菱形的性質(zhì)；2.等邊三角形的判定和性質(zhì).22.（重慶A）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點.點E在CD上，且DE=2CE，連接BE.過點C作CF⊥BE，垂足是F，連接OF，則OF的長為▲.【答案】.【解析】考點：1.正方形的性質(zhì)；2.勾股定理；3.四點共圓的判定；4.圓周角定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì).23.（重慶B）如圖，在邊長為的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE＝DG，連接EG，CF⊥EG于點H，交AD于點F，連接CE、BH.若BH＝8，則FG＝▲．【答案】.【解析】考點：1.平面幾何綜合題；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；5.圓周角定理；6.勾股定理；7.相似三角形的判定和性質(zhì).三、解答題1.（梅州）（本題滿分8分）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE.（1）求證：CE=CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）GE=BE+GD成立，理由見解析.【解析】∴GE=DF+GD=BE+GD．考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.等腰直角三角形的性質(zhì)．2.（梅州）（本題滿分11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C.（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；（3）設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求，M(1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).【解析】∴直線AC的解析式為.∵的對稱軸是直線，把x=1代入得`∴M(1，).（3）存在，分兩種情況：①如圖，當BC為梯形的底邊時，點P與D重合時，四邊形ADCB是梯形，此時點P為(－2，0).∴P(6，6).綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形，點P的坐標為(－2，0)或(6，6).考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；4.軸對稱的應(yīng)用（最短線路問題）；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.梯形存在性問題；7.分類思想的應(yīng)用.3.（珠海）（本題滿分9分）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC的延長線上，連結(jié)EF與邊CD相交于點G，連結(jié)BE與對角線AC相交于點H，AE=CF，BE=EG.（1）求證：EF//AC；（2）求∠BEF大??；（3）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定．（2）先確定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通過△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．（3）因為△BEG是等邊三角形，∠ABC=90°，∠ABE=∠CBG，從而求得∠ABE=15°，然后通過求得△AHB∽△FGB，即可求得．（3）∵△BAE≌△BCG，∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°，∴△AHB∽△FGB.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.平行四邊形的判定和性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.銳角三角函數(shù)定義.4.（珠海）（本題滿分9分）如圖，矩形OABC的頂點A（2，0）、C（0，）.將矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點M、P、N、D，連結(jié)MH.（1）若拋物線經(jīng)過G、O、E三點，則它的解析式為：▲；（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點D的坐標；（3）在（1）（2）的條件下，直線MN拋物線l交于點R，動點Q在拋物線l上且在R、E兩點之間（不含點R、E）運動，設(shè)ΔPQH的面積為s，當時，確定點Q的橫坐標的取值范圍.【答案】（1）；（2）；.【解析】（3）∵點E，G的坐標分別是，∴由待定系數(shù)法可求得直線EG的解析式為.如答圖，過點Q作QT∥y軸交GE于點T，設(shè)，則.考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.面動旋轉(zhuǎn)和單動點問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；5.矩形的性質(zhì)；6.含30度角直角三角形的性質(zhì)；7.平行四邊形的性質(zhì)；8.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；9.分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.5.（玉林、防城港）（10分）如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）BM=MC，理由見解析.【解析】∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP.∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN.∴MN∥BP.∴四邊形BMNP是平行四邊形.（2）BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ.又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ.∴.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.平行四邊形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì).6.（遵義）（10分）如圖，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（2）∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°.∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°.∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°.∴△ODG是等腰直角三角形.∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形.∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF.∴GF=OF=OE，即2FG=EF.∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG=.∵AB∥CD，∴，即.∴AD=.考點：1.平行四邊形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；等3.腰直角三角形的判定和性質(zhì)；4.平行線分線段成比例定理．7.（河北）（本小題滿分11分）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到△ADE，連接BD，CE交于點F.（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度數(shù)；（3）求證：四邊形ABFE是菱形.【答案】（1）證明見解析；（2）20°；（3）證明見解析.【解析】∴∠BAD=∠CAE=100°.考點：1.全等三角形的判定和性質(zhì)；2.菱形的判定；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．9.（河南）（9分）如圖,CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為點A、B.（1）連接AC，若∠APO＝300，試證明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①當DP=▲cm時，四邊形AOBD是菱形；②當DP=▲cm時，四邊形AOBP是正方形．【答案】（1）證明見解析；（2）①1；②.【解析】試題分析：（1）連接AO，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓周角定理得到∠APO＝∠ACP＝300，從而根據(jù)等角對等邊的判定得出結(jié)論.（3）①如答圖，要求四邊形AOBD是菱形，由于OA=OB，故只要AD=BC且AD∥BC；由于OA=OD，故只要△AOD是等邊三角形，即∠AOP=600；由于PA是⊙O的切線，故只要OP=2AO=2OD=2cm，即DP=1cm.②如答圖，要求四邊形AOBP是正方形，由于PA是⊙O的切線，故只要AP=BP=OA=OA=1cm；根據(jù)勾股定理可得，從而.試題解析：（1）如答圖，連接AO，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝900.∵∠APO＝300，∴∠AOP＝600.∴∠ACP＝300.∴∠APO＝∠ACP.∴∠AP＝∠AC，即△ACP是等腰三角形.（2）①1.②.考點：1.切線的性質(zhì)；2.等腰三角形的判定和性質(zhì)；3.菱形和正方形的判定；4.等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì).10.（河南）（10分）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE.填空：①∠AEB的度數(shù)為▲；②線段AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系是▲.（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=.若點P滿足PD=1，且∠BPD=900，請直接寫出點A到BP的距離.【答案】（1）①60；②AD=BE；（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE，理由見解析；（3）或.【解析】∵CD=，∴BD=2，BP=.∴AM=PP/=(PB-BP/)=.第二種情況如圖②，可得AM=PP/=(PB+BP/)=.試題解析：（1）①60；②AD=BE.（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，考點：1.等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.切線的判定和性質(zhì)；5.分類思想的應(yīng)用.11.（黃岡）如圖，已知雙曲線與兩直線、（且）分別相交于A、B、C、D四點．（1）當C(－1，1)時，A、B、D三點的坐標分別是A(▲，▲)、B(▲，▲)、D(▲，▲)．（2）證明：以A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）當k為何值時，ADBC是矩形？【答案】（1），D（1，-1）；（2）證明見解析；（3）4.【解析】試題分析：（1）由C坐標，利用反比例函數(shù)的中心對稱性確定出D坐標，聯(lián)立雙曲線與直線，試題解析：（1），D（1，-1）.（2）∵雙曲線與兩直線、（且）分別相交于A、B、C、D四點，且三者都是中心對稱圖形，∴OA=OB，OC=OD.∴以點A、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形.（3）若ADBC是矩形，可得AB=CD，考點：1.反比例函數(shù)與正比例函數(shù)綜合題；2.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；3.平行四邊形的判定；4矩形的性質(zhì)；5.勾股定理；6.反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的中心對稱性質(zhì).12.（十堰）（8分）如圖，點B（3，3）在雙曲線（x＞0）上，點D在雙曲線（x＜0）上，點A和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點A，B，C，D構(gòu)成的四邊形為正方形．（1）求k的值；（2）求點A的坐標．【答案】（1）9.（2）（1，0）．【解析】試題分析：（1）把B的坐標代入求出即可；（2）過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，設(shè)MD=a，OM=b，求出ab=4，證△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．試題解析：解：（1）∵點B（3，3）在雙曲線上，∴k=3×3=9.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用．13.（南京）（8分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，過點E作EF∥AB，交BC于點F．（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形DBEF是菱形？為什么？【答案】（1）證明見解析；（2）當AB=BC時，四邊形DBEF是菱形，理由見解析.【解析】又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形．考點：1.三角形中位線定理；2.平行四邊形的判定；3.菱形的判定．14.（揚州）（本題10分）如圖，已知中，，先把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至后，再把沿射線AB平移至，ED、FG相交于點H.（1）判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說明理由；（2）連結(jié)CG，求證：四邊形CBEG是正方形.【答案】（1）FG⊥ED，理由見解析；（2）證明見解析.【解析】考點：1.旋轉(zhuǎn)和平移問題；2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3.正方形的判定；平移的性質(zhì)．15.（揚州）（本題12分）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處.（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP，OP，OA.①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1:4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點P恰巧是CD邊的中點，求∠OAB的度數(shù)；（3）如圖2，在（1）條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP.動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E.試問當點M，N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求線段EF的長度.【答案】（1）①證明見解析；②10；（2）30o；（3）不變，.【解析】試題分析：（1）①由矩形和折疊對稱的性質(zhì)可得∠C=∠D=90o和∠DAP=∠CPO，從而證出結(jié)論.②由①和△OCP與△PDA的面積比為1:4，可求出CP的長，從而設(shè)AB=AP=x，在Rt△APD中，由勾股定理列方程求解即可.（2）求出即可得到∠PAD=30o，從而由∠OAB=∠OAP即可得∠OAB=30o.（3）不變，過點M作MH∥BN交PB于點H，則由AAS可證明△NBF≌△MHF，從而得到EF=，（3）不變.如答圖，過點M作MH∥BN交PB于點H，則∠MHP=∠ABP，∠MHF=∠NBF.∵AP=CD，∴∠APB=∠ABP.∴∠MHP=∠APB.∴MP=MH.∵MP=BN，∴BN=MH.又∵∠NFB=∠MFH，∴△NBF≌△MHF（AAS）.∴FH=FB.∵MP=MH，ME⊥PB，∴PE=EH.∵EF=EH+FH，∴EF=EP+FB=.由（1）得AB=10，AD=8，∴DP=6.∴PC=4.∴.∴.考點：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.含30度直角三角形的性質(zhì)；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.16.（呼和浩特）（7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿AC折疊，點B落在點E處，AE與DC的交點為O,連接DE．（1）求證：?ADE≌?CED；（2）求證：DEAC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】考點：1.折疊問題；2.矩形的性質(zhì)；3.折疊對稱的性質(zhì)；4.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.平行的判定.17.（寧夏）（6分）在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對折，使點B落在B'處，AB'‘和CD相交于點O．求證：OA=OC．【答案】證明見解析.【解析】17.（濱州）（本小題滿分10分）如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)30°到DC′處，連接AC′，BC′，CC′，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程．【答案】△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由見解析.【解析】考點：1.線動旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的性質(zhì)；3.等腰三角形的判定；4.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．18.（濱州）（本小題滿分12分）如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.（1）求證：△APQ∽△CDQ；（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，移動時間為t秒.①當t為何值時，DP⊥AC？②設(shè)，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）①5；②，8-9.【解析】（2）①當DP⊥AC時，∴∠4+∠2=90o.又∵∠5+∠2=90o，∴∠4=∠5.又∵∠ADC=∠DAP=90o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.∵P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，∴t=5.從表中可看出：當時；y隨t的值的增大而減小；當時；y隨t的值的增大而增大.∴P點運動到第8秒到第9秒之間時，y取得最小值.考點：1.單動點問題；2.相似三角形的判定和性質(zhì)；3.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；4.列表求函數(shù)值分析函數(shù)的性質(zhì).19.（濰坊）（本小題滿分12分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．（1）求證：AE⊥BF；（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延長FP交BA的延長線于點Q，求sin∠BQP的值；（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴，即，解得x=k.∴sin∠BQP=.（3）∵正方形ABCD的面積為4，∴AB=2.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAE=∠EAM，又由（1）AE⊥BF，∴△ABG≌△ANG（ASA）.∴AN=AB.=2.∵∠BAE=∠GAN，∠ABE=∠AGN=900，∴△ABE∽△AGN.∴.∵在Rt△ABE中，AB=2，BN=1，∴.∴.∴.∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴.∴四邊形GHMN的面積是.考點：1.折疊和旋轉(zhuǎn)問題；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)定義；6.勾股定理；7.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.20.（上海）（本題滿分12分，每小題滿分各6分）已知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，對角線AC、BD相交于點F，點E是邊BC延長線上一點，且∠CDE＝∠ABD．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）連接AE，交BD于點G，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】∴.考點：1.等腰梯形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.平行四邊形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.比例的性質(zhì).21.（上海）（本題滿分14分，第（1）小題滿分3分，第（1）小題滿分5分，第（1）小題滿分6分）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的⊙C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點G．（1）當⊙C經(jīng)過點A時，求CP的長；（2）連接AP，當AP//CG時，求弦EF的長；（3）當△AGE是等腰三角形時，求⊙C的半徑長．【答案】（1）5；（2）；（3）.【解析】∴在Rt△AHC中,.∴CP=AC=5.（2）若AP//CG，則四邊形APCE是平行四邊形.又∵CE=CP，∴四邊形APCE是菱形.如圖，連接AC，EP，則AC⊥EP，AM=MC=.由（1）得，AC=AB=5，∴∠ACB=∠B.∴在Rt△CPM中,.∴CE=CP=.（3）∵cosB=，∴.又∵，∴.又∵，∴當時，A、E、G重合.∴只能.∵AD∥BC，∴△AEG∽△BCG.∴，即.解得.∴，即⊙C的半徑長為.考點：1.銳角三角函數(shù)定義；2.勾股定理；3.菱形的判定和性質(zhì)；4.垂徑定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì).22.（成都）（本小題滿分10分）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點，（為大于2的整數(shù)），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點F，G，F(xiàn)G與BE的交點為O，連接BF和EG.（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；（2）當（為常數(shù)），時，求FG的長；（3）記四邊形BFEG的面積為，矩形ABCD的面積為，當時，求的值.（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）；（3）6.【解析】設(shè)菱形BFEG的邊長為x，∵AB2＋AF2＝BF2，∴，解得：x＝.∴OF＝.∴FG＝.（3）n＝6.考點：1.矩形的性質(zhì)；2.線段垂直平分線的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；5.菱形的判定和性質(zhì)；6.勾股定理；7.特殊元素法和方程思想的應(yīng)用.23.（天津）（本小題10分）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE’D’F’，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）如圖①，當α＝90°，求AE'，BF'的長；（2）如圖②，當α＝135°，求證AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直線AE'與直線BF'相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】在Rt△AE′O中，．在Rt△BOF′中，∴AE′，BF′的長都等于．（2）當α=135°時，如圖②．考點：1.面動旋轉(zhuǎn)問題；2.三角形的外角性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.含30度角的直角三角形的性質(zhì)；5.勾股定理．24.（新疆、兵團）（10分）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．（1）求證：△AED≌△CFD；（2）求證：四邊形AECF是菱形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】∴EC=EA=FC=FA.∴四邊形AECF為菱形．考點：1.作圖—基本作圖；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.菱形的判定.25.（舟山）已知：如圖，在ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF．（1）求證：△DOE≌△BOF．（2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形?請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）當∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，理由見解析.【解析】考點：1.平行四邊形的判定和性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.菱形的判定.26.（舟山）類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度數(shù)．（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：①小紅畫了一個“等對角