2024-2025學年吉林省延邊高二上學期第一次月考數(shù)學階段檢測試卷（含解析）

2024-2025學年吉林省延邊高二上學期第一次月考數(shù)學階段檢測試卷一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每題只有一個選項正確）1.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或2.已知圓過點，則圓的標準方程是（）AB.C.D.3.已知雙曲線的焦距為6，直線與雙曲線的一條漸近線平行，則（）A. B. C. D.34.已知點，，直線：與線段有交點，則的值不可能是（

）A6 B.2 C.1 D.5.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或6.阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為（）A. B. C. D.7.若平面內兩定點A，B間的距離為3，動點P滿足，則△PAB面積的最大值為（）A.2 B. C.4 D.38.已知橢圓的右焦點為，，在橢圓上但不在坐標軸上，若，，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A. B.C. D.二、多項選擇題（共3小題，每小題6分，共18分）9.已知直線，，則（

）A.過定點 B.當時，C.若，則 D.當時，的斜率為010.已知圓，圓，則下列說法錯誤的是（

）A.若過點可作圓的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍是B.若，則圓，公共弦長為C.圓上的點到直線的最短距離為D.過點作圓的切線，則的方程是11.已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為F1?c,0，，直線：與雙曲線的右支相交于A，兩點（點A在第一象限），若，則（

）A.雙曲線的離心率為 B.C. D.面積為三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分，請將答案寫在答題紙上）12.已知直線與直線間的距離為，則_____13.若橢圓比橢圓更扁，則橢圓的長軸長的取值范圍是_______14.已知雙曲線的右頂點、右焦點為A、F，過點A的直線與C的一條漸近線交于點Q，直線QF與C的一個交點為B，，且，則雙曲線的離心率為___________.四、解答題（共5小題，共77分，請寫出必要的解答過程）15已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關于直線對稱，求標準方程．16.（1）在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離是到直線的距離的倍．求點的軌跡方程；（2）若動圓與圓?圓都外切.求動圓圓心的軌跡方程.17.已知橢圓離心率為，點是橢圓上一點，點，分別是橢圓的左、右焦點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）點在橢圓上，且，求的值.18.已知雙曲線C:x2a2?y2b（1）求雙曲線的標準方程；（2）設是雙曲線與圓在第一象限的交點，求的面積.（3）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求PQ.19.已知橢圓C：經過點，且焦距與長半軸相等，（1）求橢圓C的標準方程（2）點（）與上的點之間的距離的最大值為6．過點且斜率不為0的直線交于，兩點（點在點的右側），點關于軸的對稱點為．①證明：直線過定點；②已知為坐標原點，求面積的取值范圍．2024-2025學年吉林省延邊高二上學期第一次月考數(shù)學階段檢測試卷一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每題只有一個選項正確）1.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或【正確答案】D【分析】借助橢圓定義與充要條件的定義計算即可得.【詳解】若表示橢圓，則有，解得或.故選：D.2.已知圓過點，則圓的標準方程是（）A.B.C.D.【正確答案】A【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標準方程.【詳解】由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.3.已知雙曲線的焦距為6，直線與雙曲線的一條漸近線平行，則（）A. B. C. D.3【正確答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程，結合已知列式計算即得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，由雙曲線焦距為6，得，所以.故選：A4.已知點，，直線：與線段有交點，則的值不可能是（

）A.6 B.2 C.1 D.【正確答案】D【分析】求出直線恒過的定點的坐標，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直線的斜率的范圍，進而求出的范圍．【詳解】直線整理可得，聯(lián)立，解得，，即直線恒過定點，可得，因為，的橫坐標相同，所以斜率不存在，所以直線與線段有交點，則直線的斜率，而直線斜率，解得．故選：D．5.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】設出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經過圓心，直線方程為，或，將點代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.6.阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設橢圓的標準方程為，由橢圓的面積公式，離心率得到與的關系，解出、即可.【詳解】設橢圓的標準方程為，則橢圓的面積為，又，聯(lián)立解得．所以橢圓的標準方程為．故選：D.7.若平面內兩定點A，B間的距離為3，動點P滿足，則△PAB面積的最大值為（）A.2 B. C.4 D.3【正確答案】D【分析】令且，利用兩點距離公式求動點軌跡，結合軌跡圓的性質求三角形面積的最大值.【詳解】令且，則，整理得，所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，要使△PAB面積最大，只需到直線的距離最大，故最大值為.故選：D8.已知橢圓的右焦點為，，在橢圓上但不在坐標軸上，若，，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，可轉化為焦點三角形頂角為，根據(jù)頂角的取值范圍可知離心率的最值.【詳解】設橢圓的左焦點為，上頂點為，由，，可知四邊形平行四邊形，且為中點，又，，則，分別為，中點，所以，，由，可知，則四邊形為矩形，即，即在橢圓上存在點使得，所以，即，即，即，所以，所以，即，則，又橢圓離心率，則，故選：A.二、多項選擇題（共3小題，每小題6分，共18分）9.已知直線，，則（

）A.過定點 B.當時，C.若，則 D.當時，的斜率為0【正確答案】AB【分析】對A，將直線變形求出定點判斷；對B，代回直線方程驗證判斷；對C，根據(jù)兩直線平行的充要條件列式計算；對D，將代回直線方程驗證判斷.【詳解】對于A，由得，令，得，所以直線過定點，故A正確；對于B，當時，直線，，所以，故B正確；對于C，由，則，解得，故C錯誤；對于D，當時，，此時的斜率不存在，故D錯誤.故選：AB.10.已知圓，圓，則下列說法錯誤的是（

）A.若過點可作圓的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍是B.若，則圓，公共弦長為C.圓上的點到直線的最短距離為D.過點作圓的切線，則的方程是【正確答案】ABD【分析】A選項：根據(jù)圓的一般式，可得，再由于過點可作兩條切線，則在圓外，可得參數(shù)范圍；B選項：聯(lián)立兩圓，可得公共弦方程，再根據(jù)垂徑定理可得弦長；C選項：根據(jù)圓心到直線的距離可得最短距離；D選項：設切線方程，結合圓心到直線的距離，解方程即可得解.【詳解】A選項：，即，則，即，又過點可作兩條切線，則點在圓外，即，解得或，綜上所述或，即，A選項錯誤；B選項：時，，由，即，圓心，半徑，則公共弦方程為，即，圓心到直線的距離，則弦長為，B選項錯誤；C選項：到直線的距離，則圓上的點到直線距離的最小值為，C選項正確；D選項：由點在圓外，所以過點作切線有條，當直線斜率存在時，設直線，即，則圓心到直線的距離，解得，即直線方程為；當直線斜率不存在時，直線方程為，此時滿足與圓相切；綜上所述，直線的方程為或，D選項錯誤；故選：ABD.11.已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為F1?c,0，，直線：與雙曲線的右支相交于A，兩點（點A在第一象限），若，則（

）A.雙曲線的離心率為 B.C. D.面積為【正確答案】AC【分析】設，根據(jù)題意結合雙曲線的定義可得，，，利用余弦定理可得，，進而依次判斷求解各個選項.【詳解】由題意，可得，由于，可知直線過右焦點，斜率，設直線的傾斜角為，則，解得，設，由，可得，，，對于A，在中，可知，，由余弦定理得，，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為，故A正確；對于B，因為，所以，在中，，所以，故B錯誤；對于C，在中，，所以，即，解得，即，故C正確；對于D，由，可得，所以的面積為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分，請將答案寫在答題紙上）12.已知直線與直線間的距離為，則_____【正確答案】或【分析】根據(jù)平行線間距離公式可得方程，解方程即可.【詳解】直線與直線之間的距離，解得或，故或.13.若橢圓比橢圓更扁，則橢圓的長軸長的取值范圍是_______【正確答案】【分析】根據(jù)離心率公式，結合離心率與橢圓扁平程度的關系即可求解,即可根據(jù)長軸公式求解.【詳解】的離心率為，由于比橢圓更扁，故的離心率滿足，即，解得，故長軸長為，故14.已知雙曲線的右頂點、右焦點為A、F，過點A的直線與C的一條漸近線交于點Q，直線QF與C的一個交點為B，，且，則雙曲線的離心率為___________.【正確答案】【分析】寫出點A，F(xiàn)坐標，雙曲線C的漸近線方程，利用給定的向量關系，求出點B坐標，代入雙曲線方程即可得解.【詳解】雙曲線中，A(a，0)，漸近線，設右焦點為F，由,即，直線l：x=a，由雙曲線對稱性知，不妨令Q(a，b)，設，則，，因，則，解得，即點，又點B在雙曲線C上，則有，解得，因e>1，則.故方法點睛：求雙曲線的離心率，常見有兩種方法：(1)求出a，c，代入公式；(2)只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2=c2-a2轉化為a，c的齊次式，然后將等式兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程，解方程即可得e．四、解答題（共5小題，共77分，請寫出必要的解答過程）15.已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關于直線對稱，求的標準方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出圓的標準方程，由，設的方程，從而可求解.（2）設的圓心，由與關于直線對稱得，從而可求解.【小問1詳解】將的方程轉化為，可知的圓心為，半徑為4．因為，所以可設的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．【小問2詳解】設的圓心為，由與關于直線對稱，可得，解得所以的標準方程為．16.（1）在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離是到直線的距離的倍．求點的軌跡方程；（2）若動圓與圓?圓都外切.求動圓圓心的軌跡方程.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）設點，分別表示兩點間距離及點到直線的距離，化簡可得解；（2）由外切可知，，即，根據(jù)雙曲線的定義可軌跡方程.【詳解】（1）設點，由題意得：，化簡得：所以點的軌跡方程是；（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，則圓與圓外離，設圓的半徑為，由題意可得，所以，即圓心滿足到定點、的距離之差為定值，所以，圓心的軌跡是以點、分別為左右焦點的雙曲線的右支，設圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心軌跡方程為.17.已知橢圓的離心率為，點是橢圓上一點，點，分別是橢圓的左、右焦點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）點在橢圓上，且，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義表示焦點三角形周長，再結合離心率可得橢圓方程；（2）由橢圓定義可知，結合，可得，，根據(jù)余弦定理可知，進而可得.【小問1詳解】由已知橢圓離心率，則，又的周長為，解得，，所以，即橢圓方程為；【小問2詳解】由已知點在橢圓上，則，又，解得，，又，則，所以.18.已知雙曲線C:x2a2?y2b（1）求雙曲線的標準方程；（2）設是雙曲線與圓在第一象限的交點，求的面積.（3）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求PQ.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由已知，再將點代入雙曲線方程可得解；（2）聯(lián)立雙曲線與圓可得點坐標，進而可得三角形面積；（3）由已知可得直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線，結合韋達定理與弦長公式可得解.【小問1詳解】由已知雙曲線的實軸長為，即得，所以雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，解得，則雙曲線方程；【小問2詳解】聯(lián)立雙曲線與圓的方程，即，解得，由點在第一象限，則，又，所以；【小問3詳解】由已知直線，即，聯(lián)立直線與雙曲線，即，得，，且，，則弦長.19.已知橢圓C：經過點，且焦距與長半軸相等，（1）求橢圓C標準方程（2）點（）與上的點之間的距離的最大值為6．過點且斜率不為0的直線交于，兩點（點在點的右側），點關于軸的對稱點為．①證明：直線過定點；②已知為坐標原點，求面積的取值范圍．【正確答案】（1）（2）①證明見解析；②【分析】（1）將點的