專題08 計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1計(jì)數(shù)原理（5年幾考）2024：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2023：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2022：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；2021：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；2020：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實(shí)踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;該部分考查的必備知識(shí)在選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項(xiàng)式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計(jì)總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問題為主,注重概率和其他知識(shí)的綜合考查.重點(diǎn)考查知識(shí)的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性,考查的關(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學(xué)科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索?？键c(diǎn)2概率（5年幾考）2024：用頻率估計(jì)概率；離散型隨機(jī)變量的均值；2023：古典概型的概率；獨(dú)立事件的乘法公式；2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機(jī)變量的均值；2021：二項(xiàng)分布求分布列；2020：離散型隨機(jī)變量分布列及均值；考點(diǎn)3統(tǒng)計(jì)（5年幾考）2022：折線統(tǒng)計(jì)圖考點(diǎn)01計(jì)數(shù)原理1．（2023·北京·高考真題）在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B．40 C． D．80【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式定理寫出的展開式的通項(xiàng)即可.【詳析】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得所以的展開式中的系數(shù)為.故選：D.2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳析】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.3．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B〖祥解〗利用賦值法可求的值.【詳析】令，則，令，則，故，故選：B.4．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C〖祥解〗首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【『點(diǎn)石成金』】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．5．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．【答案】〖祥解〗利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計(jì)算得到答案.【詳析】的展開式的通項(xiàng)令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：.考點(diǎn)02概率6．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大小．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值〖祥解〗（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.【詳析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬元），從而.7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)不變〖祥解〗（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；（2）分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；（3）通過統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.【詳析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計(jì)第次不變的概率最大.8．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙〖祥解〗(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【『點(diǎn)石成金』】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．〖祥解〗（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳析】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.考點(diǎn)03統(tǒng)計(jì)11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D〖祥解〗根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).【詳析】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，因,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D1．（2010·陜西·高考真題）展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于【】A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【詳析】解：∵Tr+1=C5r?x5-r?（a/x）r=arC5rx5-2r，又令5-2r=3得r=1，∴由題設(shè)知C51?a1=10?a=2．故選D2．（2024·北京通州·三模）若，則（

）A．80 B． C．40 D．81【答案】C〖祥解〗利用二項(xiàng)展開式即可得到答案.【詳析】由題意，.故選：C.3．（2023·北京西城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì).【詳析】設(shè)的通項(xiàng)，則，化簡得，令，則的系數(shù)為，即A正確.故選：A4．（2024·北京通州·二模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】D〖祥解〗寫出通項(xiàng)，令的次數(shù)為零，求出，再計(jì)算常數(shù)項(xiàng)即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)為，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為240.故選：D.5．（2024·河北唐山·一模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）【答案】〖祥解〗先由二項(xiàng)式定理求出的展開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)即可．【詳析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：6．（2024·北京通州·三模）已知隨機(jī)變量，，且，，則．【答案】〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再由二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得.【詳析】因?yàn)榍遥?，則，又且，所以，解得.故答案為：7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號(hào)信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由個(gè)黑白方塊構(gòu)成的二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對(duì)其進(jìn)行安全性測試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成個(gè)不重復(fù)的二維碼，為確保一個(gè)二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為.【答案】7〖祥解〗根據(jù)題意可得，即可由不等式求解.【詳析】由題意可知的二維碼共有個(gè)，由可得，故，由于，所以，故答案為：78．（2024·北京朝陽·二模）在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，此時(shí)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】6135〖祥解〗利用二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求解值，利用通項(xiàng)公式求解的系數(shù).【詳析】由二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，；通項(xiàng)公式為，令，所以的系數(shù)為.故答案為：；.9．（2024·北京房山·一模）設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，．【答案】〖祥解〗令可求出；先求出的通項(xiàng)，令和，求出，再由，即可求出的值.【詳析】令可得：，的通項(xiàng)為：，令可得，令可得，所以由可得，所以.故答案為：；.10．（2024·北京海淀·一模）若，則；.【答案】〖祥解〗借助賦值法，分別令、、計(jì)算即可得.【詳析】令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，則，即，則，故.故答案為：；.11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)【答案】15〖祥解〗集合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.12．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和期望；（3），運(yùn)用二項(xiàng)分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳析】（1）10個(gè)超大城市中包含4個(gè)一線城市，所以從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個(gè)超大城市中包含6個(gè)新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量，，所以.13．（2024·北京順義·三模）高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中41312754(1)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率；(2)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求其中至少有1名初中學(xué)生的概率；(3)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算，即可得解.【詳析】（1）女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，參加體育活動(dòng)時(shí)間在”，由題意可知，，因此，所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在的概率為.（2）時(shí)間在的學(xué)生有人，活動(dòng)時(shí)間在的初中學(xué)生有人，記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到初中學(xué)生”，事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，由題意知，事件C，D相互獨(dú)立，且,所以至少有1名初中學(xué)生的概率；（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：時(shí)間人數(shù)類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中781111108高中41312754初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又，，，可得由.14．（2020·北京·模擬預(yù)測）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時(shí)，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳析】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計(jì)算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【『點(diǎn)石成金』】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中等題.15．（2024·北京海淀·二模）圖象識(shí)別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識(shí)別性別的程序.在對(duì)該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識(shí)別結(jié)果真實(shí)性別男女無法識(shí)別男902010女106010假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R(shí)別都是獨(dú)立的.(1)從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識(shí)別結(jié)果為女性，求識(shí)別正確的概率；(2)在新一輪測試中，小組同學(xué)對(duì)3張不同的男性人臉照片依次測試，每張照片至多測一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識(shí)別正確或3張照片全部測試完畢，則停止測試.設(shè)表示測試的次數(shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為處理無法識(shí)別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：方案一：將無法識(shí)別的照片全部判定為女性；方案二：將無法識(shí)別的照片全部判定為男性；方案三：將無法識(shí)別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別，其識(shí)別正確的概率估計(jì)值分別記為.試比較的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析；(3)〖祥解〗（1）利用用頻率估計(jì)概率計(jì)算即可（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可（3）分別求出方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別正確的概率，然后比較大小可得【詳析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有張照片被識(shí)別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概率為.（2）設(shè)事件輸入男性照片且識(shí)別正確.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計(jì)為.由題意知的所有可能取值為..所以的分布列為123所以.（3）由題可知，調(diào)查的200張照片中，其中女生共有80個(gè)，男生共有120個(gè)，程序?qū)⒛猩R(shí)別正確的頻率為，識(shí)別為女生的頻率為，無法識(shí)別的頻率為，程序?qū)⑴R(shí)別正確的頻率為，識(shí)別為男生的頻率為，無法識(shí)別的頻率為，由頻率估計(jì)概率得，，，所以16．（2024·北京朝陽·二模）科技發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車受到越來越多消費(fèi)者的青睞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區(qū)（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區(qū)（單位：萬輛）7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動(dòng)汽車市場的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.(1)在2023年2月至12月中隨機(jī)抽取1個(gè)月，求A地區(qū)電動(dòng)汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；(2)從2023年1月至12月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，求在這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5的概率；(3)記2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）由表中數(shù)據(jù)找出符合的月份個(gè)數(shù)即可求解.（2）先由表中數(shù)據(jù)找出月銷量比超過8的月份個(gè)數(shù)和低于5的月份個(gè)數(shù)再結(jié)合組合分配情況即可求解.（3）由表中數(shù)據(jù)和方差定義即可判斷.【詳析】（1）設(shè)事件C為“A地區(qū)電動(dòng)汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量”，在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動(dòng)汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9個(gè)月，所以.（2）設(shè)事件D為“這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5”，在2023年1月至12月中，月銷量比超過8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，則.（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動(dòng)較大；相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度較小，變化較為平穩(wěn)；故.17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對(duì)于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年歲到歲來體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機(jī)構(gòu)進(jìn)一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對(duì)的健康問題越多，具體統(tǒng)計(jì)情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等余種常見健康問題．(1)根據(jù)上表，求從年該體檢機(jī)構(gòu)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；(2)用頻率估計(jì)概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，有人認(rèn)為“該體檢機(jī)構(gòu)年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題個(gè)數(shù)平均值一定大于個(gè)，且小于個(gè)”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望(3)不正確，理由見解析.〖祥解〗（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)直接求解即可；（2）由題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式可得；（3）根據(jù)平均數(shù)的估計(jì)方法，通過反例可說明論斷錯(cuò)誤.【詳析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：從年該體檢機(jī)構(gòu)歲到歲體檢人群中抽取人，此人年齡不低于歲的頻率為：.（2）用頻率估計(jì)概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，此人年齡不低于歲的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）這種說法不正確，理由如下：假設(shè)在體檢人群年齡歲到歲（不含歲）中，、、、體檢人群所占頻率分別為、、、，則歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題平均值為個(gè)，與該說法結(jié)論不同，該說法是不正確的．18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：項(xiàng)目國際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60女子跳遠(yuǎn)6.656.355.855.204.50在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級(jí)能達(dá)到國家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立，(1)估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；(3)在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級(jí)比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時(shí)，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)或.〖祥解〗（1）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率；（2）由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)兩人成績滿足的模型，方差相等.【詳析】（1）甲以往的10次比賽成績中，有4次達(dá)到國家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn)，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率為；（2）設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員分別為事件，以往的比賽成績中，用頻率估計(jì)概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，，，，，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（3）甲的6次試跳成績從小到大排列為：，設(shè)這6次試跳成績依次從小到大為，丙的5次試跳成績從小到大排列為：，設(shè)丙的6次試跳成績從小到大排列依次為，當(dāng)時(shí)，滿足，成立；當(dāng)時(shí)，滿足，成立.所以或.19．（2024·北京海淀·一模）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302(1)當(dāng)時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；(2)從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.【答案】(1)（i）；（ⅱ）；(2)7.〖祥解〗（1）（i）求出科普過程性積分不少于3分的學(xué)生數(shù)，再求出頻率，并用頻率估計(jì)概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的結(jié)論結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題求出各個(gè)取值的概率，再求出期望即得