2020-2024五年高考數(shù)學真題分類匯編專題07 函數(shù)的應用（真題4個考點精準練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07函數(shù)的應用（真題4個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年春考9、16、21題分段函數(shù)的應用，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)與方程的綜合運用2023春考9、19題函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型2022秋考8題2022春考21題分段函數(shù)的應用函數(shù)與方程的綜合運用2021年秋考19題函數(shù)的實際應用2020年秋考11、19題2020年春考19題函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，分段函數(shù)的實際應用根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型一．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系（共2小題）1．（2023?上海）已知函數(shù)，且，則方程的解為．〖祥解〗分和分別求解即可．【解答】解：當時，，解得；當時，，解得（舍；所以的解為：．故答案為：．【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的基本運算、指數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?上海）設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：（1）對任意的，的值為或；（2）關(guān)于的方程無實數(shù)解，則的取值范圍是，，，．〖祥解〗根據(jù)條件（1）可知或1，進而結(jié)合條件（2）可得的范圍【解答】解：根據(jù)條件（1）可得或（1），又因為關(guān)于的方程無實數(shù)解，所以或1，故，，，，故答案為：，，，．【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二．函數(shù)與方程的綜合運用（共3小題）3．（2024?上海）現(xiàn)定義如下：當時，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當時，與均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（1）存在，；，與有無窮個交點（2）存在，；，與有無窮個交點A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立〖祥解〗根據(jù)題意，對于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得①錯誤，對于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，當時，與均為延展函數(shù)，對于①，對于，，則是周期為1的周期函數(shù)，其值域為，因為，與不會有無窮個交點，所以（1）錯；對于②，當時，存在使得直線可以與在區(qū)間的函數(shù)部分重合，因而有無窮個交點，所以（2）正確．故選：．【點評】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?上海）已知函數(shù)的定義域為，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)．（1）設(shè)，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；（2）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；（3）設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．〖祥解〗（1）推導出，由此能求出．（2）推導出，當時，恒成立；當時，，由此能求出的解集．（3）先求出，從而，先求出，從而，由，得，再由在上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【解答】解：（1），，為做變換后的結(jié)果，，，解得．（2），為做變換后的結(jié)果，，，當時，恒成立；當時，，解得，或，綜上，不等式：的解集為，，．（3）證明：先做變換后得到，再做變換后得到，，，先做變換后得到，再做變換后得到，，，，在上單調(diào)遞增，，對恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增．【點評】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．5．（2024?上海）記（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求證：對于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定義在上有最小值，求證“是偶函數(shù)“的充要條件是“對于任意正實數(shù)，均有（c）”．〖祥解〗（1）根據(jù)條件，直接求出（1）和（1）即可；（2）由題意知，（a），，記，判斷的單調(diào)性，求出極值，再對分類討論，進一步證明結(jié)論成立即可；（3）必要性：若為偶函數(shù)，則，，（c）（c），，結(jié)合條件，得到（c）即可；充分性：若對于任意正實數(shù)，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨設(shè)（a），進一步證明是偶函數(shù)即可．【解答】解：（1）由題意，得（1），，；．（2）證明：由題意知，（a），，記，則或2．02正0負0正極大值極小值現(xiàn)對分類討論，當，有，為嚴格增函數(shù)，因為（a），所以此時（a），，符合條件；當時，，先增后減，，因為取等號），所以，則此時（a），，也符合條件；當時，，，在，嚴格增，在，嚴格減，在，嚴格增，，因為（a），當時，（a），則（a），則此時（a），，成立；綜上可知，對于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）證明：必要性：若為偶函數(shù)，則，，（c）（c），，當，（c），因為，故（c）；充分性：若對于任意正實數(shù)，均有（c），其中，，（c）（c），，因為有最小值，不妨設(shè)（a），由于任意，令，則，，所以最小元素為（a）．（c）中最小元素為（c），又（c）（c）對任意成立，所以（a），若，則（c）對任意成立是偶函數(shù)；若，此后取，，綜上，任意，（c），即是偶函數(shù)．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，充分必要條件的證明，函數(shù)的奇偶性與集合間的關(guān)系，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬難題．三．分段函數(shù)的應用（共2小題）6．（2024?上海）已知，求的的取值范圍，．〖祥解〗根據(jù)已知求得，再分以及分別求解即可．【解答】解：根據(jù)題意知，所以當時，，解得，；同理當時，，解得；綜上所述：，．故答案為：，．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的相關(guān)知識，考查不等式的求解，考查計算能力，屬于中檔題．7．（2022?上海）若函數(shù)，為奇函數(shù)，求參數(shù)的值為1．〖祥解〗由題意，利用奇函數(shù)的定義可得，故有（1），由此求得的值．【解答】解：函數(shù)，為奇函數(shù)，，（1），，即，求得或．當時，，不是奇函數(shù)，故；當時，，是奇函數(shù)，故滿足條件，綜上，，故答案為：1．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．四．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型（共4小題）8．（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）（2）定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當，時，試求當該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)”最?。枷榻狻剑?）利用圓柱體的表面積和體積公式，結(jié)合題目中的定義求解即可；（2）利用導函數(shù)求的單調(diào)性，即可求出最小時的值．【解答】解：（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：，所以．（2）由題意可得，，所以，令，解得，所以在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，所以的最小值在或7取得，當時，，當時，，所以在時，該建筑體最小．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．9．（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長．（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？〖祥解〗（1）由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，則首項，公差，再利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可．（2）解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的，則，令，，遞推作差可得當時，遞減；當時，遞增，注意到（1），所以若，則只需考慮的情況即可，再驗證出，，即可得到利潤首次超過該季度營業(yè)額的的時間．解法二：設(shè)今年第一季度往后的第季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為，則，所以數(shù)列滿足，再由，的值即可判斷出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，則首項，公差，，即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元．（2）解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的，則，令，，即要解，則當時，，令，解得：，即當時，遞減；當時，遞增，由于（1），因此的解只能在時取得，經(jīng)檢驗，，，所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的．解法二：設(shè)今年第一季度往后的第季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為，則，數(shù)列滿足，注意到，，，今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的．【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應用，考查了等差數(shù)列的實際應用，同時考查了學生的計算能力，是中檔題．10．（2020?上海）在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密度是該路段一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為，為道路密度，為車輛密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范圍；（2）已知道路密度時，測得交通流量，求車輛密度的最大值．〖祥解〗（1）由交通流量隨著道路密度的增大而減小，知是單調(diào)遞減函數(shù)，進而知，于是只需，解不等式即可；（2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，分段判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出各自區(qū)間上的最大值，取較大者即可．【解答】解：（1）按實際情況而言，交通流量隨著道路密度的增大而減小，故是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當時，最大為85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范圍為．（2）把，代入中，得，解得．，①當時，，．②當時，是關(guān)于的二次函數(shù)，，對稱軸為，此時有最大值，為．綜上所述，車輛密度的最大值為．【點評】本題考查分段函數(shù)的實際應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，以及運算能力，屬于中檔題．11．（2020?上海）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點，若以為原點，為軸正半軸建立直角坐標系，設(shè)點，現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點，函數(shù)表示與點距離最近的垃圾投放點的距離．（1）若，求、、的值，并寫出的函數(shù)解析式；（2）若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？〖祥解〗（1）利用題目所給定義表示出，，分類討論可得；（2）利用題意可得，表示出與坐標軸圍成的面積，進而表示出面積不等式，解出不等式即可【解答】解：（1）投放點，，表示與距離最近的投放點（即的距離，所以，同理分析，，，由題意得，，，則當，即時，；當，即時，；綜上；（2）由題意得，，所以，則與坐標軸圍成的面積如陰影部分所示，所以，由題意，，即，解得，即垃圾投放點建在與之間時，比建在中點時更加便利．【點評】本題是新定義問題，考查對題目意思的理解，分類討論是關(guān)鍵，屬于中檔題．一．選擇題（共4小題）1．（2024?普陀區(qū)校級模擬）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是A． B． C． D．〖祥解〗由二分法求函數(shù)零點的條件即可得解．【解答】解：當函數(shù)的圖象在軸的同一側(cè)時，不能用二分法進行求解，選項、、的圖象均在軸的兩側(cè)，可用二分法求解，只有選項的圖象在軸的同一側(cè)，不能用二分法求解．故選：．【點評】本題考查用二分法求函數(shù)的近似零點，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?松江區(qū)校級模擬）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，用的大小評價在，這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．則下列正確的命題是A．在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱 B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱 C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標 D．甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，的污水治理能力最強〖祥解〗根據(jù)題目中的數(shù)學模型建立關(guān)系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力．【解答】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系為，對于選項，在，這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力，乙企業(yè)的污水治理能力．由圖可知，，所以，即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故選項錯誤；對于選項，由圖可知，在時刻的切線斜率小于在時刻的切線斜率，但兩切線斜率均為負值，故在時刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故選項錯誤；對于選項，在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達標排放量，故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達標，故選項錯誤；對于選項，由圖可知，甲企業(yè)在，，，，，這三段時間中，在，時的污水治理能力最強，故選項正確，故選：．【點評】本題考查利用數(shù)學解決實際生活問題，考查讀圖和識圖能力，屬于中檔題．3．（2024?普陀區(qū)校級模擬）定義在實數(shù)集上的函數(shù)，如果，使得，則稱為函數(shù)的不動點．給定函數(shù)，，已知函數(shù)，，在上均存在唯一不動點，分別記為，，，則A． B． C． D．〖祥解〗由已知可得，則，．然后證明在上恒成立．令，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，即可得出令，根據(jù)導函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可推得．【解答】解：由已知可得，，則，且，所以．又，．令，，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以．所以，，即．令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．又，，所以．因為在上單調(diào)遞減，，所以．又，所以，即．令，，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞減．又，，所以．綜上可得，．故選：．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明在上恒成立．然后即可采用放縮法構(gòu)造函數(shù)，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，屬于中檔題．4．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，①若函數(shù)有最大值，并將其記為（a），則的最大值為，（a）的最小值為；②若函數(shù)有零點，并將零點個數(shù)記為（a），則函數(shù)（a）為偶函數(shù)A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗求函數(shù)，的極大值2及對應的值，再按，，討論取得最大值的條件，函數(shù)（a）的最小值判斷①；再取，，分別求出函數(shù)的零點個數(shù)判斷②即可．【解答】解：令，，求導得，當或時，，當時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值（1），令，即，整理得，解得，當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由函數(shù)有最大值，得，則，（a）（a）；當時，函數(shù)在，上的最大值為2，若，則，因此當時，（a）；當時，，，恒成立，而在，上單調(diào)遞減，（a），顯然，有，因此當時，（a），于是，此時的最大值為，顯然（a）在上單調(diào)遞減，（a），在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)（a）在，上有最小值，命題①成立；當時，，由，得或解得，即函數(shù)只有一個零點，因此（2），當時，，由，得或，解得或，即函數(shù)有3個零點，因此，顯然（2），所以（a）不是偶函數(shù)，命題②不成立．故選：．【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應用，還考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題．二．填空題（共16小題）5．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）方程的解是3．〖祥解〗解關(guān)于對數(shù)的方程，求出的值即可．【解答】解：，，，解得：，故答案為：3．【點評】本題考查了解對數(shù)的運算，考查解對數(shù)方程問題，是一道基礎(chǔ)題．6．（2024?奉賢區(qū)三模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則3．〖祥解〗根據(jù)題意，當時，，求出、的表達式，由奇函數(shù)的定義分析可得、、的值，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，當時，，則，，又由為奇函數(shù)，則恒成立，必有，，，則．故答案為：3．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?楊浦區(qū)二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)，的值域為．〖祥解〗根據(jù)題意，當時，，求出此時的值域，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，當時，，當時，有，則有，又由為奇函數(shù)，則時，為值域為．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?閔行區(qū)三模）對24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度進行如下定義：①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一個圓錐形容器接了24小時的雨水，則這一天的雨水屬于等級②．（只填入雨水等級所對應的序號）〖祥解〗由圓錐的體積公式，求出雨水的體積，再除以圓的面積，即可求解．【解答】解：設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為，則，解得，所以積水厚度為，所以．所以一天的雨水屬于中雨．故答案為：②．【點評】本題考查圓錐的體積計算，考查分析問題解決問題以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?靜安區(qū)二模）我們稱右圖的曲線為“愛心線”，其上的任意一點都滿足方程．現(xiàn)將一邊在軸上，另外兩個頂點在愛心線上的矩形稱為心吧．若已知點到“愛心線”上任意一點的最小距離為，則用表示心吧面積的最大值為．〖祥解〗由方程得，則曲線上的任意一點求出的最小值為，即可求出心吧面積的最大值．【解答】解：由，時，則曲線上的任意一點，，有，的最小值為，所以最小值為，當時，心吧面積的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查了兩點間的距離公式應用問題，也考查了推理與運算能力，是基礎(chǔ)題．10．（2024?閔行區(qū)校級模擬）若，，則滿足的的最大值為．〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷出在上先減后增，結(jié)合為偶函數(shù)建立關(guān)于的不等式，解之可得的最大值．【解答】解：當時，，為，上的增函數(shù)，當時，，為上的減函數(shù)．而對任意成立，所以為上的偶函數(shù)，因此，不等式等價于，即，解得，即實數(shù)的最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查指數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、分段函數(shù)及其應用，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．11．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知函數(shù)在上恰有5個零點，則實數(shù)的最大值為．〖祥解〗根據(jù)正弦的二倍角公式可得或，進而可得的零點情況，結(jié)合區(qū)間即可確定的最大值．【解答】解：由得，令，可得，解得或，當，，，當時，或，，所以當，，的零點按從小到大排列有：，，，，0，，，，，故在上恰有5個零點，則這5個零點為，，0，，，故的最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，涉及二倍角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．（2024?長寧區(qū)二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量（單783182258338油費（元107150110264110376平均每單里程（公里）151515平均每公里油費（元0.70.70.7出租車空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為、、，則20.68（精確到．〖祥解〗根據(jù)甲乙兩車的空駛率可得空駛率的模型，再將丙車的相關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可．【解答】解：由題意可知甲車行駛的總里程為：（公里），甲車接單行駛的總里程為：（公里），所以甲車沒有載客行駛的總里程為：（公里），所以甲車的空駛率；同理可得乙車的空駛率為；由此可得空駛率的模型；所以丙車的空駛率為．故答案為：20.68．【點評】本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，考查了學生的計算能力，屬于中檔題．13．（2024?浦東新區(qū)校級四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處20才能使水管費用最省．〖祥解〗根據(jù)題意建立數(shù)學模型，通過適當設(shè)定變元，構(gòu)造相應的函數(shù)關(guān)系，通過求導，求出最值，可確定供水站的位置．【解答】解：根據(jù)題意可知點在線段上某一適當位置時，才能使總運費最省，設(shè)點距點，則，，，又設(shè)總的水管費用為元，由題意得，令，解得，在上，只有一個極值點，根據(jù)實際意義，函數(shù)在處取得最小值，此時，故供水站建在岸邊、之間距甲廠處，能使鋪設(shè)水管的費用最?。蚀鸢笧椋?0．【點評】本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．14．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知函數(shù)，若函數(shù)的零點一共有3個，則實數(shù)的取值為．〖祥解〗函數(shù)的零點，即的零點，由于，則零點一共有3個，即可轉(zhuǎn)化為時，有一個根即可，整理成方程以在時有一個根，令，求，判斷函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，即可得的取值．【解答】解：的零點滿足，即的根，由于，所以，則是的一個根；所以的根三個，則滿足當時，有一個根即可，又時，，所以，所以在時有一個根，即在時有一個根，令，所以，令，得，所以時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增；又趨于0，趨于；比增長的快，所以趨于，趨于．所以．故答案為：．【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想及導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．15．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若有最小值，則的取值范圍是；②當時，若無實根，則的取值范圍是，，；③當時，不等式的解集為；④當時，若存在，滿足，則．其中，所有正確結(jié)論的序號為②③④．〖祥解〗①若有最小值，則，當時，求出函數(shù)的最小值，當時，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，從而列出不等式組，解此不等式組，即可求得結(jié)果；②當時，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，根據(jù)無實根，求出的范圍；③當時，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，從而得出在單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式；④當時，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，若存在，滿足，則，，利用分析法和函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．【解答】解：①若有最小值，則，當時，當時，，當時，在，單調(diào)遞減，，當時，在單調(diào)遞減，，有最小值；當時，當時，在單調(diào)遞減，，當時，在，單調(diào)遞減，，當時，在單調(diào)遞減，，，解得，綜上，有最小值，則的取值范圍是，故①錯誤；②當時，當時，在單調(diào)遞增，，當時，在，單調(diào)遞減，，當時，在單調(diào)遞減，，若無實根，則的取值范圍是，，，故②正確；③當時，當時，在，單調(diào)遞減，，當時，在單調(diào)遞減，，在，單調(diào)遞減，，，，解得，故③正確；④當時，當時，在單調(diào)遞增，當時，在，單調(diào)遞減，若存在，滿足，則，，要證，即證，而在單調(diào)遞增，，令，，，在，單調(diào)遞增，，成立，，故④正確．故答案為：②③④．【點評】本題考查分段函數(shù)單調(diào)性及應用，函數(shù)零點，極值點偏移問題，屬中檔題．16．（2024?普陀區(qū)模擬）已知，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有一個負整數(shù)，則的取值范圍是．〖祥解〗原式可化為，然后研究函數(shù)的圖象，只需當時，在下方時，只有一個負整數(shù)即可，構(gòu)造不等式組求解．【解答】解：原不等式可化為：，令，，顯然時，，遞減；時，，遞增，所以，且時，，同一坐標系中，做出與（過定點的圖象：據(jù)圖可知，滿足題意的整數(shù)解為，此時應滿足，解得．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法，數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．17．（2024?楊浦區(qū)二模）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米．現(xiàn)將它們堆放在一起．若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為134．〖祥解〗設(shè)最下層堆放的鋼管為，共堆放了層，可得每一次堆放的鋼管數(shù)為，由題意可得，即，再根據(jù)與的奇偶性不同及，分、和、分別求解即可．【解答】解：設(shè)最下層堆放的鋼管為，共堆放了層，則每一次堆放的鋼管數(shù)為以為首項，為公差的等差數(shù)列，即，又因為共有2024根鋼管，所以，即，因為與的奇偶性不同，所以與的奇偶性不同，又因為，所以當時，，解得，此時最上層有119根，等腰梯形的上底為，下底為，兩腰長為，求得等腰梯形的高為：，滿足題意；當時，，解得，此時最上層有，不符題意．綜上，即最下層圓鋼根數(shù)為134．故答案為：134．【點評】本題考查了數(shù)列在生活實際中的應用，考查了等差數(shù)列的求和公式及通項公式，屬于中檔題．18．（2024?青浦區(qū)二模）對于函數(shù)，其中，若關(guān)于的方程有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的特征，作出函數(shù)的圖象，關(guān)于的方程有兩個不同的零點轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：①當時，函數(shù)單調(diào)遞減可得：；②當時，由函數(shù)單調(diào)遞增可得：，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知：由，可得，故當時，函數(shù)與的圖象有且只有兩個交點，滿足關(guān)于的方程有兩個不同的實根的實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查了由方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題．19．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是，．〖祥解〗通過討論和1的大小，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解結(jié)論．【解答】解：函數(shù)，由，得，當時，，不等式無解；當時，由得，此時不合題意．當時，由得，若不等式恰有一個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，再結(jié)合圖像知，，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．【點評】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．20．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為．〖祥解〗根據(jù)題意，不妨設(shè)，分類討論當，，三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出和的值，即可得出的值的集合．【解答】解：由題可知，不妨設(shè)，對于，對任意實數(shù)，，方程有解，當時，方程可化為有解，所以恒成立，所以；當時，同上；當時，方程可化為有解，所以，，綜上得：；對于，對任意實數(shù)，，方程也有解，當時，方程可化為有解，所以，；當時，同上；當時，方程可化為有解，所以恒成立，所以，所以的值的集合為．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)，以及分類討論與，的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學生的分類討論思想和邏輯分析能力．三．解答題（共11小題）21．（2024?寶山區(qū)三模）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會生活，是名種民俗活動的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念、實踐經(jīng)驗、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對角線長為為常數(shù)），從中裁出一個內(nèi)接正方形紙片，使得點，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當時，求正方形紙片的邊長（結(jié)果用表示）；（2）當變化時，求的最大值及對應的值．〖祥解〗（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，計算得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案．（2）確定，，計算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案．【解答】解：（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，則，，，即，整理得到，當時，．（2），，，則，，，則，令，在，上單調(diào)遞減，故，故的最大值為，此時，，故．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．22．（2024?閔行區(qū)校級三模）如圖所示，為沿海岸的高速路，海島上碼頭離高速路最近點的距離是，在距離的處有一批藥品要盡快送達海島．現(xiàn)要用海陸聯(lián)運的方式運送這批藥品，設(shè)登船點到的距離為，已知汽車速度為，快艇速度為．（參考數(shù)據(jù)：（1）寫出運輸時間關(guān)于的函數(shù)；（2）當選在何處時運輸時間最短？〖祥解〗（1）根據(jù)題意先求出和，然后利用勾股定理以及時間距離速度，即可得到答案；（2）對進行求導，利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由題意知，；（2），令，得，當時，，當時，，所以時，取最小值，所以當點選在距點時運輸時間最短．【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應用，屬于中檔題．23．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅（寬度不計），點在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為元，單人弧形椅的造價每米為元，記銳角，總造價為元．（1）試將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當?shù)拈L為多少時，能使總造價最?。枷榻狻剑?）總造價由兩部分組成，根據(jù)弧長公式可求得，而切線長需構(gòu)造直角三角形或借助坐標求解，最后由線段長為正，可得的取值范圍；（2）利用導數(shù)求函數(shù)最值，先求導數(shù)，確定導函數(shù)零點，分析函數(shù)單調(diào)性，確定極值點，即最值點即可得答案．【解答】（1）解：過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，在中，，則，在中，，則，由題意易得，所以，；（2），令，得，又，所以，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，總造價最小，最小值為，此時，所以當米時，能使總造價最?。军c評】本題考查了三角函數(shù)在實際生活中的應用，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)，其中．（1）求在，上的解；（2）已知，若關(guān)于的方在，時有解，求實數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）由特殊角的正弦函數(shù)值，可得所求解；（2）運用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得所求取值范圍．【解答】解：（1），可得，或，即，或，，則在，上的解為，；（2），關(guān)于的方程，即在，時有解．由，，可得，，，，所以，的取值范圍是，．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程的根的個數(shù)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．25．（2024?長寧區(qū)校級三模）設(shè)函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間，，若滿足以下兩個性質(zhì)之一，則稱區(qū)間是的一個“好區(qū)間”．性質(zhì)①：對于任意，都有；性質(zhì)②：對于任意，都有．（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個“好區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域為，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個“好區(qū)間”．〖祥解〗（1）由“好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)“好區(qū)間”的定義可判斷出上滿足性質(zhì)②，再由，，，求解即可；（3）由題意可得在任意區(qū)間，上對應的函數(shù)值區(qū)間長度必大于，從而可得在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，且在上單調(diào)遞減，即有即存在，分，，證明即可．【解答】解：（1），當，時，，，滿足性質(zhì)①，所以，是的“好區(qū)間”；當，時，，，既不滿足性質(zhì)①，也不滿足性質(zhì)②，所以，不是的“好區(qū)間”；（2），03012單調(diào)遞減極小值3單調(diào)遞增若在區(qū)間，上滿足性質(zhì)①，則，，，而，，，所以在區(qū)間，上不滿足性質(zhì)①若在區(qū)間上滿足性質(zhì)②，當時，（3），所以，，，當時，因為（3），所以不符合；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（3）證明：因為任意，都有（a）（b）．所以在任意區(qū)間，上對應的函數(shù)值區(qū)間長度必大于，即在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，因為對于任意，都有（a）（b），所以在上單調(diào)遞減，所以不恒成立，即存在，若，取，則（a）（b），在區(qū)間，上對應函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，所以，是一個“好區(qū)間”；若，取，則（b）（a），在區(qū)間，上對應函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，，是一個“好區(qū)間”；所以存在“好區(qū)間”；記，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減；又圖像是一條連續(xù)的曲線，所以圖像也是一條連續(xù)的曲線，先證明有零點，設(shè)，若，則有零點為，若，則，，，在區(qū)間上有零點；若，則，，，在區(qū)間上有零點；所以必有零點，記為，即的“好區(qū)間”都滿足性質(zhì)②，所以不屬于任意一個“好區(qū)間”．【點評】本題屬于新概念題，考查了導數(shù)的綜合應用、分類討論思想，理解定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．26．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）函數(shù)．（1）當時，是否存在實數(shù)，使得為奇函數(shù)；（2）若函數(shù)過點，且函數(shù)圖像與軸負半軸有兩個不同交點，求實數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）將代入得，先考慮其定義域，再假設(shè)為奇函數(shù)，得到方程無解，從而得以判斷；（2）先把點代入求得，從而得到，再利用二次函數(shù)的根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之可得，最后再考慮的情況，從而得到的取值范圍．【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，當時，，定義域為，，，假設(shè)為奇函數(shù)，則（1），而（1），，則，此時無實數(shù)滿足條件，所以不存在實數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）圖像經(jīng)過點，則代入得，解得，所以，定義域為，，，令，則的圖像與軸負半軸有兩個交點，所以，即，解得，若，即是方程的解，則代入可得，解得或．由題意得，所以實數(shù)的取值范團且，即的取值范圍為且．【點評】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．27．（2024?金山區(qū)二模）已知函數(shù)，記，，，．（1）若函數(shù)的最小正周期為，當時，求和的值；（2）若，，函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）由周期公式求解，由，求解；（2）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為，在，有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，又因為當時，，所以，得，因為，所以取，得，所以，；（2）當，時，，，設(shè)．由題意得，在，有解．即，又因為在，上單調(diào)遞減，所以，．【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．28．（2024?靜安區(qū)二模）江南某公園內(nèi)正在建造一座跨水拱橋．如平面圖所示，現(xiàn)已經(jīng)在地平面以上造好了一個外沿直徑為20米的半圓形拱橋洞，地平面與拱橋洞外沿交于點與點．現(xiàn)在準備以地平面上的點與點為起點建造上、下橋坡道，要求：①；②在拱橋洞左側(cè)建造平面圖為直線的坡道，坡度為（坡度為坡面的垂直高度和水平方向的距離的比）；③在拱橋洞右側(cè)建造平面圖為圓弧的坡道；④在過橋的路面上騎車不顛簸．（1）請你設(shè)計一條過橋道路，畫出大致的平面圖，并用數(shù)學符號語言刻畫與表達出來；（2）并按你的方案計算過橋道路的總長度；（精確到0.1米）（3）若整個過橋坡道的路面寬為10米，且鋪設(shè)坡道全部使用混凝土．請設(shè)計出所鋪設(shè)路面的相關(guān)幾何體，提出一個實際問題，寫出解決該問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設(shè)的運算結(jié)果列式說明，不必計算）．〖祥解〗（1）以線段的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意可得圓的方程，從而得答案；（2）由題意可得點坐標，進而可得圓弧的長度，由，的坐標可得圓弧的長，即可得答案；（3）讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，從而可得幾何體，提問：鋪設(shè)坡道共需要混凝土多少立方米？方案1：由求解即可；方案2：由求解即可．【解答】解：（1）如圖，以線段的中點為坐標原點建立平面直角坐標系．則圓的方程為；由，，得，．過點作圓的切線，切點為，則直線的斜率為，其方程為．所以直線的斜率為，其方程為，將其代入，得點的坐標為．經(jīng)過點作圓與圓切于點（圓與軸的交點），設(shè)圓的半徑為，則，即，解得．所以圓的方程為，故用函數(shù)表示過橋道路為：；（2）由點的坐標為，得，所以圓弧的長為，由點的坐標為，點的坐標為，得，所以圓弧的長為，故過橋道路的總長度為；（3）設(shè)計讓橋的側(cè)面所在平面垂直于地平面，則橋拱左側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形為底面，高為10米的柱體；橋拱右側(cè)鋪設(shè)的是以曲邊形為底面，高為10米的柱體；提問：鋪設(shè)坡道共需要混凝土多少立方米？方案，所以鋪設(shè)過橋路需要混凝土為．方案，所以鋪設(shè)過橋路需要混凝土．【點評】本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．29．（2024?松江區(qū)校級模擬）對于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動點．其中一階不動點簡稱不動點，二階不動點也稱為穩(wěn)定點．（1）已知，求的不動點；（2）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證：“為函數(shù)的不動點”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點”的充分必要條件；（3）已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點個數(shù)．〖祥解〗（1）設(shè)，判斷該函數(shù)單調(diào)性，確定其解，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)新定義的含義，結(jié)合充分性以及必要性的證明，即可證明結(jié)論；（3）由題意可知只需研究的不動點即可，令，求出其導數(shù)，判斷其單調(diào)性，然后分類討論的取值范圍，判斷的零點情況，即可判斷的穩(wěn)定點個數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又（1），故函數(shù)在上有唯一零點，即有唯一不動點1；（2）證明：充分性：設(shè)為函數(shù)的不動點，則，則，即為函數(shù)的穩(wěn)定點，充分性成立；必要性：設(shè)為函數(shù)的穩(wěn)定點，即，假設(shè)，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，與矛盾；若，則，與矛盾；故必有，即，即，故為函數(shù)的不動點，綜上，“為函數(shù)的不動點”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點”的充分必要條件；（3）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（2）知的穩(wěn)定點與的不動點等價，故只需研究的不動點即可；令，則，則在上單調(diào)遞減，①當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當無限接近于0時，趨向于負無窮小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此時有唯一不動點；②當時，即時，，當趨向無窮大時，趨近于0，此時，存在唯一，使得，此時在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故，當趨近于0時，趨向于負無窮大，當趨向正無窮大時，趨向于負無窮大，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，又在時單調(diào)遞增，故當時，即，此時，方程有一個解，即有唯一不動點；當，即，此時，方程無解，即無不動點；當時，即，此時，方程有兩個解，即有兩個不動點；綜上，當時或時，有唯一穩(wěn)定點；當時，無穩(wěn)定點；當，有兩