2020-2024五年高考數(shù)學真題分類匯編專題08 平面向量及其應用（真題5個考點精準練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08平面向量及其應用（真題5個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考5、15題向量平行的坐標表示，平面向量基本定理、空間向量基本定理2023秋考2題2023春考2、12題平面向量的數(shù)量積運算平面向量的坐標運算，平面向量數(shù)量積的性質及其運算、空間向量的坐標運算2022秋考11題2022春考10題平面向量數(shù)量積的性質及其運算平面向量數(shù)量積的性質及其運算2021年秋考4題2021年春考16題平面向量數(shù)量積的性質及其運算平面向量數(shù)量積的性質及其運算2020年秋考12題2020年春考9、11題兩個平面向量的和或差的模的最值平面向量數(shù)量積的性質及其運算、向量垂直的充要條件，利用向量坐標解決向量問題的方法一．兩個平面向量的和或差的模的最值（共1小題）1．（2020?上海）已知，，，，，是平面內兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是6．〖祥解〗設，，結合向量的模等于1和2畫出圖形，由圓的交點個數(shù)即可求得的最大值．【解答】解：如圖，設，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫圓，其中任意兩圓的公共點共有6個．故滿足條件的的最大值為6．故答案為：6．【點評】本題考查兩向量的線性運算，考查向量模的求法，正確理解題意是關鍵，是中檔題．二．平面向量的數(shù)量積運算（共1小題）2．（2023?上海）已知向量，，則4．〖祥解〗直接利用平面向量的坐標運算法則求解．【解答】解：向量，，．故答案為：4．【點評】本題主要考查了平面向量的坐標運算，屬于基礎題．三．平面向量數(shù)量積的性質及其運算（共6小題）3．（2021?上海）在中，為中點，為中點，則以下結論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗設，，，，，由向量數(shù)量的坐標運算即可判斷①；為中點，可得，由為中點，可得與的交點即為重心，從而可判斷②【解答】解：不妨設，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點，，與的交點即為重心，因為為的三等分點，為中點，所以與不共線，即②不成立．故選：．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，共線向量的判斷，屬于中檔題．4．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．〖祥解〗利用平面向量的數(shù)量積進行分析，即可得出結果．【解答】解：由題意，有，則，設，則得，，由同角三角函數(shù)的基本關系得：，則，，則．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學生的運算能力，屬于中檔題．5．（2022?上海）在中，，，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為．〖祥解〗建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐標系如下，則，，，直線的方程為，即，點在直線上，設，，，，的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)量積的坐標運算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．6．（2021?上海）如圖正方形的邊長為3，求9．〖祥解〗根據(jù)，直接求解即可．【解答】解：由數(shù)量積的定義，可得，因為，所以．故答案為：9．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與計算，屬于基礎題．7．（2020?上海）已知、、、、五個點，滿足，2，，，2，，則的最小值為．〖祥解〗可設，從而據(jù)題意可得出，，并設，根據(jù)是求的最小值，從而可得出，從而可求出，從而根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：設，則，，設，如圖，求的最小值，則：，，，，當且僅當，即時取等號，的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了向量垂直的充要條件，利用向量坐標解決向量問題的方法，基本不等式求最值的方法，考查了計算能力，屬于中檔題．8．（2020?上海）三角形中，是中點，，，，則．〖祥解〗根據(jù)余弦定理即可求出，并得出，然后進行數(shù)量積的運算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點，．故答案為：．【點評】本題考查了余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．四．平面向量的坐標運算（共1小題）9．（2023?上海）已知向量，，則．〖祥解〗根據(jù)平面向量的坐標運算法則，計算即可．【解答】解：因為向量，，所以，，．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎題．五．平面向量共線（平行）的坐標表示（共1小題）10．（2024?上海）已知，，，則的值為15．〖祥解〗根據(jù)向量平行的坐標表示，列方程求解即可．【解答】解：由，，，可得，解得．故答案為：15．【點評】本題考查向量平行的坐標表示，屬基礎題．一．選擇題（共6小題）1．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知為不共線的兩個單位向量，，為非零實數(shù)，設，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖祥解〗由向量的夾角公式，可得若，則有或，又為不共線的兩個單位向量，故，從而可得結論．【解答】解：由題意，，，若，則有，即，整理得，即，即，則有或，又為不共線的兩個單位向量，故，故“”是“”的充要條件．故選：．【點評】本題考查向量的夾角公式，數(shù)量積運算及充要條件的判定，屬基礎題．2．（2024?浦東新區(qū)三模）設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能構成基底的是A．和 B．和 C．和 D．和〖祥解〗當兩向量不共線時，可作為基底，據(jù)此判斷即可．【解答】解：對于，可設，可知且，顯然不成立，所以這兩個向量可作為基底，同理可知，，選項中的兩個向量都可構成基底；對于，，所以這兩個向量不構成基底．故選：．【點評】本題考查平面向量基本定理與向量共線的判斷方法，屬于基礎題．3．（2024?徐匯區(qū)校級模擬）在中，，，．為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8．其中，正確結論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗以為原點，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標系，設，然后表示出的坐標，由題意可得，再逐個分析判斷即可．【解答】解：如圖，以為原點，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以設，則，，所以，所以，即為任意角），所以（其中，所以的最大值為，最小值為，所以①③錯誤，因為，所以（其中，因為，所以，所以，所以的最小值為，最大值為14，所以②正確，④錯誤．故選：．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．4．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知，，，，．若，，則的最小值為A．0 B． C．1 D．〖祥解〗根據(jù)給定條件，畫出圖形，確定點的位置，再利用向量模的幾何意義，借助對稱思想求解作答．【解答】解：令，，，依題意，，而，則．因為，，，所以有點在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因為，，所以表示直線上的點與直線上的點間距離，，分別是點到點，的距離，因此，表示三點，，兩兩距離的和，作點關于直線對稱點，關于直線對稱點，連交，分別于點，，連，，，，則有，，令，則，，于是得：，而，由余弦定理可得：，因此，，對于直線上任意點、直線上任意點，連接，，，，，，則，，，當且僅當點與重合且點與點重合時取“”，從而得，所以的最小值為．故選：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的應用，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題．5．（2024?楊浦區(qū)二模）平面上的向量、滿足：，，．定義該平面上的向量集合．給出如下兩個結論：①對任意，存在該平面的向量，滿足②對任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①正確，②正確 D．①錯誤，②錯誤〖祥解〗首先建立平面直角坐標系，進一步利用向量的數(shù)量積運算和點到直線的距離公式求出結果．【解答】解：不妨設，，，如圖所示：由于，所以，化簡得：，①，由于，得到，②，由①②得：，如圖所示：其寬度．故得到命題①②正確．故選：．【點評】本題考查的知識點：向量的坐標運算，向量的數(shù)量積運算，點到直線的距離公式，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．6．（2024?嘉定區(qū)二模）已知，，且、不共線，則的面積為A． B． C． D．〖祥解〗由已知先求出到的距離，然后結合三角形面積公式即可求解．【解答】解：設到的距離為，因為，，則的一個法向量，，則，，故．故選：．【點評】本題主要考查了向量的坐標表示的應用，屬于中檔題．二．填空題（共31小題）7．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知平面內，，三點不共線，且點滿足，則是的垂心．（填“重”或“垂”或“內”或“外”〖祥解〗由條件等式移項后，逆用數(shù)量積的分配律將其化簡成，即得，同理可得另外兩個垂直關系，即得點為其垂心．【解答】解：因為，同理，，故為的垂心．故答案為：垂．【點評】本題主要考查逆用數(shù)量積的分配律，屬于基礎題．8．（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知點在以為直徑的球面上，若，則．〖祥解〗根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，求解即可．【解答】解：因為點在以為直徑的球面上，且，所以．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應用問題，是基礎題．9．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知非零向量，滿足，且，則向量與的夾角為．〖祥解〗根據(jù)題意，設向量與的夾角為，分析可得，變形可得，由向量夾角公式計算可得的值，結合的范圍分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設向量與的夾角為，又由，則有，變形可得，又由非零向量，滿足，即，則，又由，則，故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量垂直與向量數(shù)量積的關系，屬于基礎題．10．（2024?寶山區(qū)三模）若向量在向量上的投影向量為，則等于．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結合投影向量的定義，即可求解．【解答】解：向量，向量，則，，故向量在向量上的投影向量為：，故．故答案為：．【點評】本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎題．11．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）向量在向量方向上的投影向量是．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，，向量在向量方向上的投影向量是：．故答案為：．【點評】本題考查了向量坐標的數(shù)量積的運算，投影的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．12．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，，把向量順時針旋轉定角得到，關于軸的對稱點記為，，1，，10，則的坐標為．〖祥解〗根據(jù)題意求出的前幾個值，發(fā)現(xiàn)以2為周期出現(xiàn)，即可求出．【解答】解：進行實際操作，則，，，，注意到，重合，因此所有操作以2為周期，故．故答案為：．【點評】本題考查向量的坐標表示，屬于基礎題．13．（2024?閔行區(qū)校級模擬）設平面向量，，若，不能組成平面上的一個基，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結合向量共線的性質，即可求解．【解答】解：由題意可知，，，，則，解得．故答案為：．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．14．（2024?青浦區(qū)二模）已知向量，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：向量，，則，，，故，故．故答案為：．【點評】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎題．15．（2024?金山區(qū)二模）已知向量，，若，則實數(shù)的值為3．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結合向量垂直的性質，即可求解．【解答】解：，，，則，解得．故答案為：3．【點評】本題主要考查向量垂直的性質，屬于基礎題．16．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知向量，且，則．〖祥解〗根據(jù)題意，有，根據(jù)向量平行的充要條件，構造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：，即故答案為：【點評】本題考查的知識點是向量平行的坐標運算：，則17．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知向量，的夾角為，，，則．〖祥解〗由平面向量的數(shù)量積運算計算即可求得．【解答】解：因為向量，的夾角為，，，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎題．18．（2024?黃浦區(qū)校級三模）中，，，為上一點，，則．〖祥解〗由數(shù)量積的定義計算即可．【解答】解：作交于，如圖，則，又，則，因此，故．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，屬基礎題．19．（2024?閔行區(qū)三模）已知，若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實數(shù)的值為3．〖祥解〗利用向量投影的計算公式求解．【解答】解：，，，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得．故答案為：3．【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，考查了向量投影的概念，屬于基礎題．20．（2024?寶山區(qū)校級四模）如圖，矩形中，為中點，與交于點，若將，作為平面向量的一個基，則向量可表示為（用表示）．〖祥解〗根據(jù)平行線的性質證出，由此得到，結合，化簡整理可得，從而可得答案．【解答】解：矩形中，由，得，所以，即，整理得，結合，，可得．故答案為：．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、平面向量基本定理等知識，屬于基礎題．21．（2024?虹口區(qū)模擬）已知向量滿足，，，則等于．〖祥解〗由平面向量數(shù)量積的運算，結合平面向量模的運算求解即可．【解答】解：由，則，即，即，則，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量模的運算，屬基礎題．22．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為．〖祥解〗根據(jù)條件對兩邊平方，進行數(shù)量積的運算即可求出的值，然后即可求出和的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得解．【解答】解：均為單位向量，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運算，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，是基礎題．23．（2024?浦東新區(qū)校級四模）向量，且，則．〖祥解〗根據(jù)題意，用，表示，利用模長公式求出，，再計算，的數(shù)量積和夾角余弦值．【解答】解：因為向量，，且，所以，所以，所以，，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，．故答案為：．【點評】本題考查向量的數(shù)量積，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在所在的平面上有一點，滿足，則．〖祥解〗由可得，則．即可求解．【解答】解：由可得，則．，則．故答案為：．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積運算，向量的線性運算，屬于中檔題．25．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為．〖祥解〗以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設，，，利用向量的坐標運算，結合三角函數(shù)的恒等變形與性質求解即可．【解答】解：如圖，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設，，，由題意：，，，，則，由，可得，，，，即，解得，所以，因為，，則，所以當時，取得最大值1，則的最大值為．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的坐標運算及三角恒等變換，屬中檔題．26．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）平面內互不重合的點、、、、、、，若，其中，2，3，4，則的取值范圍為，．〖祥解〗根據(jù)三角形重心的性質，推導出，其中為△的重心，可知點在以點為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)向量加減法的幾何意義與三角形的性質，算出的最大值與最小值，進而可得所求取值范圍．【解答】解：設為△的重心，則，因為，所以，即在以點為圓心，為半徑的圓上，不妨設點與坐標原點重合，作出半徑分別為，，1，的同心圓，如圖所示，則，當且僅當，，都在線段上，等號成立，而，當且僅當，，在線段上，且在線段上，在線段上時，等號成立．綜上所述，的最大值為5，最小值為1，可知，．故答案為：，．【點評】本題主要考查三角形重心的性質、向量的加法則、向量的模及其性質，考查了圖形的理解能力，屬于中檔題．27．（2024?虹口區(qū)二模）已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則的最大值為．〖祥解〗作出圖形，設，，設，根據(jù)題意易得，在以為圓心，1為半徑的圓上，從而可得，取得最大值，從而得解．【解答】解：如圖，設，，設，則，，，，，又向量滿足，，即，在以為圓心，1為半徑的圓上，又，當，，三點共線，且在之間時，取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查向量模的最值的求解，解三角形問題，數(shù)形結合思想，屬中檔題．28．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知、、，點是圓上的動點，則的取值范圍是，．〖祥解〗設點坐標，將用函數(shù)表示，用正弦函數(shù)取值范圍求解．【解答】解：設，，，，，，，因為，，所以的取值范圍是，，故答案為：，．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質及其運算，屬于中檔題．29．（2024?閔行區(qū)校級三模）空間中，、兩點間的距離為8，設△的面積為，令，若，則的取值范圍為．〖祥解〗根據(jù)公式對向量進行處理，再結合不等式得出，即可推出點，，在以為球心4為半徑的球面上，從可求得答案．【解答】解：由題意可知，設，中點為，則，，所以，由，得，則，當且僅當時等號成立，則，即，即，則，即，．即點，，在以為球心4為半徑的球面上，先說明圓的內接三角形為正三角形時，面積最大；設為半徑為的圓的內接三角形，則，當且僅當時等號成立，即為正三角形時，其面積取到最大值．由于點，，在以為球心4為半徑的球面上，故△的面積可以無限小，，即的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積運算以及性質，屬于偏難題．30．（2024?普陀區(qū)模擬）若向量在向量上的投影為，且，則，．〖祥解〗由平面向量的模的運算，結合平面向量數(shù)量積及夾角的運算求解．【解答】解：若向量在向量上的投影為，則，即，又，則，即，則．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的模的運算，重點考查了平面向量數(shù)量積及夾角的運算，屬中檔題．31．（2024?浦東新區(qū)校級三模）已知向量，函數(shù)，若函數(shù)在內有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗由題意，函數(shù)在內有且只有一個零點，等價于對應的方程在給定區(qū)間內只有一個根，進而轉化為兩個函數(shù)在給定區(qū)間內只有一個交點的問題，數(shù)形結合，即可求出參數(shù)的值．【解答】解：由題意，函數(shù)，因為函數(shù)在內有且只有一個零點，所以在內有且只有一個實根，則有，即，故函數(shù)在上的圖象與直線只有一個交點，因為，所以，結合函數(shù)圖象可知，當函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線只有一個交點時，所以，即的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查三角函數(shù)的化簡及函數(shù)零點與方程的根的關系，屬中檔題．32．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知，是平面內兩個定點，且，點集．若，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是．〖祥解〗先求出的軌跡方程，再利用向量的夾角公式即可．【解答】解：以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，，，由得，，，，解得，因為，所以，代入，得，設，，，，與的夾角，則，，，當或時，取最小值為，當時，取最大值為1．故向量、夾角的余弦值的取值范圍是是．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和夾角，屬與中檔題．33．（2024?寶山區(qū)二模）空間直角坐標系中，從原點出發(fā)的兩個向量、滿足：，，且存在實數(shù)，使得成立，則由構成的空間幾何體的體積是．〖祥解〗由不等式有解，結合數(shù)量積運算，求得，又且，可得，從而根據(jù)錐體體積公式求得結論．【解答】解：由已知得，所以，所以存在實數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因為且，設，所以，則，故由構成的空間幾何體的體積為．故答案為：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質及運算，考查不等式能成立問題及錐體體積公式，屬中檔題．34．（2024?崇明區(qū)二模）已知、、是半徑為1的圓上的三個不同的點，且，則的最小值是．〖祥解〗根據(jù)正弦定理，分類討論構建三角函數(shù)模型，再通過三角函數(shù)的性質，即可求解．【解答】解：根據(jù)正弦定理可，，，或，或，①當時，，，，，當，即時，取得最小值；②當時，，，，，，無最值，綜合①②可得的最小值是．故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，正弦定理的應用，屬中檔題．35．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）平面直角坐標系中，、兩點到直線和的距離之和均為．當最大時，的最小值為．〖祥解〗利用點到直線的距離公式可得：，通過分類討論可知：點，的運動軌跡是如圖所示的正方形的4條邊．結合向量運算即可得到最小值．【解答】解：設動點，由題意得，，即，如圖所示：按區(qū)域①④去絕對值討論：①區(qū)域中，，化為，；②區(qū)域中，且，化為，；③區(qū)域中，，化為，；④區(qū)域中，且，化為，；所以點的軌跡為一個正方形，即點，的運動軌跡為如圖正方形的四條邊．當最大時，有，所以為中點），所以的最小值的等價于最小時，顯然當正方形①或④中的邊時，，所以．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算問題，也考查了數(shù)形結合思想，是難題．36．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知平面向量兩兩都不共線．若，，2，3，4，，則的最大值是．〖祥解〗的最大值就是在上的投影之和最大值，依題意可得相鄰兩向量夾角為，以相鄰兩向量的模為邊長的第三邊長度為1，結合圖象即可得解．【解答】解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值，由，，2，3，4，知，相鄰兩向量夾角為，以相鄰兩向量的模為邊長的第三邊長度為1，取，作出圖象如下圖所示，則，由圖可知，當時，所有向量在上的投影之和