2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題16 統(tǒng)計(jì)與概率（真題12個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題16統(tǒng)計(jì)與概率（真題12個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考8、13、19題2024年春考15、19題全概率公式；數(shù)據(jù)相關(guān)分析；用樣本估計(jì)總體、由頻率分布表求平均數(shù)及獨(dú)立性檢驗(yàn)?；コ馐录亩x；分層抽樣的平均數(shù)及方差公式的應(yīng)用2023秋考9、14、19題2023春考5、7、10、14題中位數(shù)和平均數(shù)的定義；線性相關(guān)的概念；離散型隨機(jī)變量的分布和期望的計(jì)算。對(duì)立事件概率計(jì)算公式；頻率分布直方圖；古典概型概率；統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別。2022秋考9題古典概型概率及其計(jì)算公式2021年秋考10題古典概型概率及其計(jì)算公式2020年秋考7題樣本的數(shù)據(jù)特征：中位數(shù)、平均數(shù)一．隨機(jī)事件（共1小題）1．（2024?上海）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有、、種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題可知，題庫(kù)占比為，題庫(kù)占比為，題庫(kù)占比為，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．互斥事件與對(duì)立事件（共1小題）2．（2024?上海）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立 C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立〖祥解〗根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：選項(xiàng)，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，（A），（B），，（A）（B），正確；選項(xiàng)，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，（A），，，（A），與不獨(dú)立，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式，考查互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．三．對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算（共1小題）3．（2023?上海）已知事件的對(duì)立事件為，若（A），則0.5．〖祥解〗利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式直接求解．【解答】解：事件的對(duì)立事件為，若（A），則．故答案為：0.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．四．古典概型及其概率計(jì)算公式（共3小題）4．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為0.5．〖祥解〗根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：從10人中任選3人的事件個(gè)數(shù)為，恰有1名男生2名女生的事件個(gè)數(shù)為，則恰有1名男生2名女生的概率為．故答案為：0.5．【點(diǎn)評(píng)】略5．（2022?上海）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為．〖祥解〗由題意，利用古典概率的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的方法共有種，而所有的抽取方法共有種，故每一類都被抽到的概率為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概率及其計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館，，，，甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為．〖祥解〗根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：甲選2個(gè)去參觀，有種，乙選2個(gè)去參觀，有種，共有種，若甲乙恰有一個(gè)館相同，則選確定相同的館有種，然后從剩余3個(gè)館中選2個(gè)進(jìn)行排列，有種，共有種，則對(duì)應(yīng)概率，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的計(jì)算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．五．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）（共1小題）7．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．〖祥解〗（1）根據(jù)概率公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．（2）分別求出三種結(jié)果對(duì)應(yīng)的概率，比較大小，確定對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列，利用期望公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個(gè)，米色內(nèi)飾2個(gè)，則對(duì)應(yīng)的概率（A），若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍(lán)色外觀8，則對(duì)應(yīng)的概率（B）．取到紅色外觀的模型同時(shí)是棕色內(nèi)飾的有12個(gè)，即，則．（A）（B），（A）（B），即事件和事件不獨(dú)立．（2）由題意知，300，150，則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率，外觀和內(nèi)飾都異色的概率，僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，，，，，則的分布列為：150300600則（元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，根據(jù)概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．六．根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定極差組距和組數(shù)（共1小題）8．（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為7．〖祥解〗計(jì)算極差，根據(jù)組距求解組數(shù)即可．【解答】解：極差為，組距為5，且第一組下限為153.5，，故組數(shù)為7組，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題．七．散點(diǎn)圖（共1小題）9．（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是A．身高越大，體重越大 B．身高越大，體重越小 C．身高和體重成正相關(guān) D．身高和體重成負(fù)相關(guān)〖祥解〗根據(jù)散點(diǎn)圖的分布情況，即可得解．【解答】解：根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性相關(guān)的概念，屬基礎(chǔ)題．八．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）10．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述錯(cuò)誤的是A．從2018年開(kāi)始，2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大 B．從2018年開(kāi)始，進(jìn)出口總額逐年增大 C．從2018年開(kāi)始，進(jìn)口總額逐年增大 D．從2018年開(kāi)始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小〖祥解〗結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中條形圖的高度、增量的變化，以及增長(zhǎng)率的計(jì)算方法，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：顯然2021年相對(duì)于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長(zhǎng)率最大，對(duì)；統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故對(duì)；2020年相對(duì)于2019的進(jìn)口總額是減少的，故錯(cuò)；顯然進(jìn)出口總額2021年的增長(zhǎng)率最大，而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相對(duì)于2018年的增量小，且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母還大，故2020年的增長(zhǎng)率一定最小，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)圖問(wèn)題，以及增長(zhǎng)率的計(jì)算，屬于中檔題．九．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（共2小題）11．（2020?上海）已知有四個(gè)數(shù)1，2，，，這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3，平均數(shù)是4，則36．〖祥解〗分別由題意結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)計(jì)算方法得，，解得，，再算出答案即可．【解答】解：因?yàn)樗膫€(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，所以，因?yàn)橹形粩?shù)是3，所以，解得，代入上式得，所以，故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本的數(shù)字特征，中位數(shù)，平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個(gè)季度的逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為946（億元）．〖祥解〗設(shè)第二季度為億元，第三季度為億元，則，由題意可得，可求出的值，從而求出該地一年的．【解答】解：設(shè)第二季度為億元，第三季度為億元，則，中位數(shù)與平均數(shù)相同，，，該地一年的為（億元）．故答案為：946（億元）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．一十．用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（共1小題）13．（2024?上海）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．〖祥解〗（1）由排列組合公式可得樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)及所求的事件的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由古典概型的概率公式可得所求的概率；（2）由兩個(gè)級(jí)別的箱數(shù)之比，可得樣本中兩個(gè)級(jí)別的箱數(shù)；（3）由分層抽樣的平均數(shù)及方差的計(jì)算公式，可得168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，進(jìn)而估計(jì)136箱單果的質(zhì)量．【解答】解：（1）古典概型：設(shè)事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，事件的樣本點(diǎn)的公式，所以（A）；（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)，所以8箱水果中有一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱；（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為，方差為，二級(jí)果質(zhì)量為，方差為，總體樣本平均質(zhì)量為平均值，方差為，因?yàn)椋?，，，所以克，克．預(yù)估：平均質(zhì)量為克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣的平均數(shù)公式及方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．一十一．樣本相關(guān)系數(shù)（共1小題）14．（2024?上海）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是A．氣候溫度高，海水表層溫度就高 B．氣候溫度高，海水表層溫度就低 C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì) D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)〖祥解〗利用變量的性關(guān)系，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)分析中，如果相關(guān)系數(shù)為正，當(dāng)?shù)闹涤尚∽兇?，的值具有由小變大的變化趨?shì)，所以、、選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)相關(guān)分析，是基礎(chǔ)題．一十二．獨(dú)立性檢驗(yàn)（共1小題）15．（2024?上海）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍，，，，，學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到．（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？〖祥解〗（1）由已知結(jié)合頻率與概率關(guān)系即可求解；（2）先求出樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)即可；（3）結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)即可判斷．【解答】解：（1）580人中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)占比，該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)的人數(shù)約為；（2）該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長(zhǎng)約為；（3）由題意可得列聯(lián)表，，其他總數(shù)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485①提出零假設(shè)：成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無(wú)關(guān)，②確定顯著性水平，，③，④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，由頻率分布表求平均數(shù)及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題．一．選擇題（共16小題）1．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”．那么下列結(jié)論正確的是A．與是對(duì)立事件 B．與是互斥事件 C．與是相互獨(dú)立事件 D．與是相互獨(dú)立事件〖祥解〗根據(jù)題意，由對(duì)立事件的定義分析，由互斥事件的定義分析，由相互獨(dú)立事件的定義分析、，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，由對(duì)立事件的定義，和不是對(duì)立事件，錯(cuò)誤；對(duì)于，表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，則有，錯(cuò)誤；對(duì)于，（B），（D），，事件、不是相互獨(dú)立事件，錯(cuò)誤；對(duì)于，為必然事件，則必有（B）（B），與是相互獨(dú)立事件，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)事件的定義，涉及相互獨(dú)立事件、互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?虹口區(qū)二模）給出下列4個(gè)命題：①若事件和事件互斥，則（A）（B）；②數(shù)據(jù)2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位數(shù)為10；③已知關(guān)于的回歸方程為，則樣本點(diǎn)的離差為；④隨機(jī)變量的分布為，則其數(shù)學(xué)期望．其中正確命題的序號(hào)為A．①② B．①③ C．②③ D．②④〖祥解〗由互斥事件的定義分析①，由百分位數(shù)的計(jì)算公式分析②，由殘差的計(jì)算公式分析③，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式分析④，綜合可得答案．【解答】解：對(duì)于①，若事件和事件互斥，，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，，根據(jù)百分位數(shù)的定義直接取第六位即可，②正確；對(duì)于③，若關(guān)于的回歸方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為，③正確；對(duì)于④，，④錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件、百分位數(shù)、殘差的計(jì)算，期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知隨機(jī)變量，和，，如圖為對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)圖像，則下列結(jié)論正確的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的圖象，即可求解．【解答】解：由圖可知，，隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的圖象“瘦高“，，對(duì)應(yīng)的圖象“矮胖“，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的圖象，是基礎(chǔ)題．4．（2024?楊浦區(qū)二模）某區(qū)高三年級(jí)3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試．已知考試成績(jī)服從正態(tài)分布．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為A．350 B．400 C．450 D．500〖祥解〗根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，又，所以，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?普陀區(qū)模擬）從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球，兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為、，白球標(biāo)記為，則它的一個(gè)樣本空間可以是A．， B．，， C．，，， D．，，，，〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合樣本空間的定義，即可求解．【解答】解：兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為、，白球標(biāo)記為，則抽取兩個(gè)球的情況為，，，即它的一個(gè)樣本空間可以是，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本空間的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有①：“所取3件中至多2件次品”，：“所取3件中至少2件為次品”；②：“所取3件中有一件為次品”，：“所取3件中有二件為次品”；③：“所取3件中全是正品”，：“所取3件中至少有一件為次品”；④：“所取3件中至多有2件次品”，：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④〖祥解〗所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個(gè)事件中都包含2件次品，所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時(shí)發(fā)生的．【解答】解：在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個(gè)事件中都包含2件次品，①中的兩個(gè)事件不是互斥事件．所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，②中的兩個(gè)事件是互斥事件．所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時(shí)發(fā)生的，③中的兩個(gè)事件是互斥事件故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件的意義，判斷兩個(gè)事件是否是互斥事件，是解題的關(guān)鍵，可以把事件中所包含的所有事件列出來(lái)進(jìn)行比較．7．（2024?奉賢區(qū)三模）如果、分別是、的對(duì)立事件，下列選項(xiàng)中不能判斷件與事件相互獨(dú)立的是A．（A）（B） B．（A）（B） C．（A） D．（B）〖祥解〗根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，驗(yàn)證（A）（B）是否成立，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，（A）（B），則事件、相互獨(dú)立，符合題意；對(duì)于，（A），（A）（B）（A）（A）（B），若（A）（B），即（A）（A）（A）（B），則（A）（B），必有事件、相互獨(dú)立，符合題意；對(duì)于，，若（A），即（A），則有（A），事件不一定相互獨(dú)立，不符合題意．對(duì)于，，若（B），即（B），變形可得（A）（B），必有事件、相互獨(dú)立，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的判斷，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知、分別為隨機(jī)事件、的對(duì)立事件，（A），（B），則下列等式錯(cuò)誤的是A． B．（A） C．若、獨(dú)立，則（A） D．若、互斥，則〖祥解〗結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷．【解答】解：由，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；（A），故選項(xiàng)正確；若、獨(dú)立，則（A）（B），，故選項(xiàng)正確；若、互斥，則，，，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）全概率公式在敏感性問(wèn)題調(diào)查中有著重要應(yīng)用．例如某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對(duì)食堂滿意度的真實(shí)情況，為防止學(xué)生有所顧忌而不如實(shí)作答，可以設(shè)計(jì)如下調(diào)查流程：每位學(xué)生先從一個(gè)裝有3個(gè)紅球，6個(gè)白球的盒子中任取3個(gè)球，取到至少一個(gè)紅球的學(xué)生回答問(wèn)題一“你出生的月份是否為3的倍數(shù)？”，未取到任何紅球的學(xué)生回答問(wèn)題二“你對(duì)食堂是否滿意？”．由于兩個(gè)問(wèn)題的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問(wèn)題他人并不知道（取球結(jié)果不被看到即可），因此理想情況下學(xué)生應(yīng)當(dāng)能給出符合實(shí)際情況的答案．已知某學(xué)校800名學(xué)生參加了該調(diào)查，且有250人回答的結(jié)果為“是”，由此估計(jì)學(xué)生對(duì)食堂的實(shí)際滿意度大約為A． B． C． D．〖祥解〗利用全概率公式可求答案．【解答】解：設(shè)學(xué)生對(duì)食堂的實(shí)際滿意度為，事件“回答問(wèn)題一”，事件“回答的結(jié)果為是”，由題意可知，則，又因?yàn)?，由全概率公式可得，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，，是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，隨機(jī)變量取值為，，的概率也都是，則A．， B．， C．， D．，〖祥解〗利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差公式能求出結(jié)果．【解答】解：，，是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，，設(shè)，則，隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，，，由，，是不全相等的實(shí)數(shù)，則，，綜上，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是A．甲乙兩班同學(xué)身高的極差相等 B．甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等 C．甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等 D．乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多〖祥解〗根據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計(jì)算，即可判斷選項(xiàng)是否正確．【解答】解：由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的極差為，乙班同學(xué)身高的極差為，兩班身高極差不相等，故錯(cuò)誤；甲班同學(xué)身高的平均值為，乙班同學(xué)身高的平均值為，顯然，甲乙兩班同學(xué)身高的平均值不相等，即錯(cuò)誤；根據(jù)莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為：，所以甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)不相等，即錯(cuò)誤；由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為4人，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，考查了極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）上海百聯(lián)集團(tuán)對(duì)旗下若干門店的營(yíng)業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷．【解答】解：由散點(diǎn)圖可以看出，圖①是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)，圖②和圖③是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，圖①和圖②的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以線性相關(guān)程度要強(qiáng)，所以接近于1，接近于，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用，考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?浦東新區(qū)二模）通過(guò)隨機(jī)抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價(jià)格（單位：百元）與該商品消費(fèi)者年需求量（單位：千克）的散點(diǎn)圖．若去掉圖中右下方的點(diǎn)后，下列說(shuō)法正確的是A．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān) B．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度不變 C．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變大 D．“每千克價(jià)格”與“年需求量”這兩個(gè)變量的線性相關(guān)系數(shù)變小〖祥解〗根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念逐一判斷．【解答】解：對(duì)于：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，根據(jù)圖象，兩個(gè)變量還是負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤；對(duì)于：去掉圖中右下方的點(diǎn)后，相對(duì)來(lái)說(shuō)數(shù)據(jù)會(huì)集中，相關(guān)程度會(huì)更高，但因?yàn)槭秦?fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)會(huì)更接近，線性相關(guān)系數(shù)會(huì)變小，故正確，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用，考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?崇明區(qū)二模）某單位共有、兩部門，1月份進(jìn)行服務(wù)滿意度問(wèn)卷調(diào)查，得到兩部門服務(wù)滿意度得分的頻率分布條形圖如下．設(shè)、兩部門的服務(wù)滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)和方差的定義求解．【解答】解：對(duì)于部門，因?yàn)椋?，?duì)于部門，因?yàn)?，所以，所以，由頻率分布條形圖可知，部門滿意度更集中，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了百分位數(shù)和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知貴州某果園中刺梨單果的質(zhì)量（單位：服從正態(tài)分布，且，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)的期望為A．20 B．60 C．40 D．80〖祥解〗由正態(tài)分布對(duì)稱性及已知得，又質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)，應(yīng)用二項(xiàng)分布的期望公式求期望．【解答】解：因?yàn)椋▎挝环恼龖B(tài)分布，且，所以，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，考查了二項(xiàng)分布的期望公式，屬于中檔題．16．（2024?浦東新區(qū)三模）有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球個(gè)，黑球．甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球．若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是①，且；②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題〖祥解〗寫出一局中不同情況下甲贏的概率尋找規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式，解答本題．【解答】解：對(duì)于第一局，甲獲勝的概率為：摸1次：（甲，摸3次：（甲乙甲，前兩次甲乙均摸到黑球，第3次甲摸到白球，下同理），摸5次：（甲乙甲乙甲），摸7次：（甲乙甲乙甲乙甲），根據(jù)上述，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)甲獲勝的概率是以，公比的等比數(shù)列．對(duì)等比數(shù)列的前項(xiàng)和取極限運(yùn)算，有：．設(shè)第局甲贏的概率為，根據(jù)馬爾科夫鏈有：整理得：；構(gòu)造數(shù)列求出通項(xiàng)公式：，整理得到：，不難發(fā)現(xiàn)：，則：，進(jìn)一步有：，根據(jù)題意有：，即：，即：，即：，即，解得，故，故①②都正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的綜合運(yùn)用，屬于難題．二．填空題（共27小題）17．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)隨機(jī)變量服從成功概率為的二項(xiàng)分布，若，，則．〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的公式，直接計(jì)算．【解答】解：因?yàn)榉某晒Ω怕蕿榈亩?xiàng)分布，且，，所以，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布的期望和方差的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?寶山區(qū)三模）盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明購(gòu)買4個(gè)盲盒，則他能集齊3種玩偶的概率是．〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出買4個(gè)盲盒的基本事件數(shù)，再求出集齊3種玩偶的基本事件數(shù)即可計(jì)算作答．【解答】解：小明購(gòu)買4個(gè)盲盒的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，能集齊3種玩偶的事件含有的基本事件數(shù)為：，所以能集齊3種玩偶的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?嘉定區(qū)二模）小張、小王兩家計(jì)劃假期來(lái)嘉定游玩，他們分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，記事件表示“兩家至少有一家選擇古猗園”，事件表示“兩家選擇景點(diǎn)不同”，則概率．〖祥解〗根據(jù)題意，由古典概型公式求出（A）、，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，兩家分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，有種情況，若兩家至少有一家選擇古猗園，有種情況，則（A），若兩家選擇景點(diǎn)不同且至少有一家選擇古猗園，有種情況，則，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知工廠庫(kù)房中的某種零件來(lái)自甲公司，正品率為；來(lái)自乙公司，正品率為，從庫(kù)房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為0.92．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：工廠庫(kù)房中的某種零件來(lái)自甲公司，正品率為；來(lái)自乙公司，正品率為，故從庫(kù)房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為：．故答案為：0.92．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則0.6．〖祥解〗說(shuō)明使用移動(dòng)支付的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用，求出概率，通過(guò)，列出不等式，判斷概率即可．【解答】解：由題意，使用移動(dòng)支付的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，則，解得或，又，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以．故答案為：0.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．22．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布列為，若是，的等差中項(xiàng)，則．〖祥解〗根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，變形可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，則有，又由是，的等差中項(xiàng)，則，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列，涉及分布列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)隨機(jī)變量，且，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，即可求解．【解答】解：隨機(jī)變量，且，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望與方差公式，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?黃浦區(qū)二模）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則0.28．〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得．【解答】解：服從正態(tài)分布，則，，或，則．故答案為：0.28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為0.35．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合概率分布密度函數(shù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解．【解答】解：隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，則，故，故圖中陰影部分的面積為0.35．故答案為：0.35．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布．若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于125的概率是．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，求出，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，即可求解．【解答】解：學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布．，則，故，從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，設(shè)選中的學(xué)生的成績(jī)高于125的人數(shù)為，由題意可知，，故至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于125的概率是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，以及二項(xiàng)分布的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?浦東新區(qū)二模）某校面向高一全體學(xué)生共開(kāi)設(shè)3門體育類選修課，每人限選一門．已知這三門體育類選修課的選修人數(shù)之比為，考核優(yōu)秀率分別為、和，現(xiàn)從該年級(jí)所有選擇體育類選修課的同學(xué)中任取一名，其成績(jī)是優(yōu)秀的概率為0.18．〖祥解〗設(shè)這三門體育類選修課的選修人數(shù)分別為，，，分別求出三門體育類選修課考核優(yōu)秀的人數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解，【解答】解：設(shè)這三門體育類選修課的選修人數(shù)分別為，，，則所求概率為．故答案為：0.18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會(huì)在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會(huì)有的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第1天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為．〖祥解〗根據(jù)全概率公式可得出，可得出，由此可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：當(dāng)且時(shí)，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，所以第天選擇餐廳的概率，即，所以．又由題意得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概率模型，屬于基礎(chǔ)題．29．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概率為．〖祥解〗先排男生共有種，男生排好后共有4個(gè)空隙，再把2個(gè)女生排進(jìn)去共有種排法，符合條件的共有種排法，由此能求出女生互不相鄰的排法的概率．【解答】解：先排男生共有種，男生排好后共有4個(gè)空隙，再把2個(gè)女生排進(jìn)去共有種排法，所以符合條件的共有種排法，故女生互不相鄰的排法的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．30．（2024?黃浦區(qū)二模）某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加．若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過(guò)抽簽來(lái)決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為．〖祥解〗根據(jù)題意可先排除甲乙之外的三人，再用插空法就可計(jì)算出甲乙不相鄰的排法，再結(jié)合古典概型可解．【解答】解：這5名選手上場(chǎng)順序共有種，要使甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰，則先排丙、丁、戊共有種，再利用插空法排甲乙，共有種排法，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰共有種排法，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合以及古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?虹口區(qū)模擬）對(duì)于獨(dú)立事件，，若，，則．〖祥解〗根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可解．【解答】解：因?yàn)椋瑸橄嗷オ?dú)立事件，且，，則（A）（B）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某一批花生種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率均為，那么播下4粒種子，恰有2粒發(fā)芽的概率是（用數(shù)字作答）．〖祥解〗根據(jù)次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率公式求得結(jié)果．【解答】解：如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是：故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率，等可能事件的概率，屬于中檔題．33．（2024?靜安區(qū)二模）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批．在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來(lái)檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的．假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過(guò)2個(gè)，并且其中恰有，1，個(gè)次品的概率如下：一批產(chǎn)品中有次品的個(gè)數(shù)012概率0.30.50.2則各批產(chǎn)品通過(guò)檢查的概率為0.91．（精確到〖祥解〗利用全概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件表示一批產(chǎn)品中有個(gè)次品，1，，則，，，設(shè)事件表示這批產(chǎn)品通過(guò)檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品，則，，，所以（A）．故答案為：0.91．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．34．（2024?徐匯區(qū)模擬）同時(shí)拋擲三枚相同的均勻硬幣，設(shè)隨機(jī)變量表示結(jié)果中有正面朝上，表示結(jié)果中沒(méi)有正面朝上，則．〖祥解〗先利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解．【解答】解：由題意可知，，，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題．35．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則2．〖祥解〗直接利用二項(xiàng)分布的方差公式求解．【解答】解：，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的方差公式，屬于基礎(chǔ)題．36．（2024?閔行區(qū)三模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則0.94．〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求出指定區(qū)間的概率．【解答】解：由正態(tài)分布的對(duì)稱性得．故答案為：0.94．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．37．（2024?靜安區(qū)二模）某地區(qū)高三年級(jí)2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試，已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間，的學(xué)生人數(shù)約為1360．〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得．【解答】解：數(shù)學(xué)成績(jī)低于8（0分）的概率為，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間，的概率為，其人數(shù)約為．故答案為：1360．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．38．（2024?浦東新區(qū)二模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則0.3．〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【解答】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，．故答案為：0.3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．39．（2024?普陀區(qū)模擬）為了提高學(xué)生參加體育鍛煉的積極性，某校本學(xué)期依據(jù)學(xué)生特點(diǎn)針對(duì)性的組建了五個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)，學(xué)校為了了解學(xué)生參與運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)每個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)的參與人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中一個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)開(kāi)學(xué)第1周至第5周參與運(yùn)動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示．周次12345參與運(yùn)動(dòng)的人數(shù)3536403945若表中數(shù)據(jù)可用回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)，則本學(xué)期第11周參與該特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)的人數(shù)約為57．（精確到整數(shù)）〖祥解〗由已知求出樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程，再取求解．【解答】解：，，把代入，得．可得線性回歸方程為．把代入，可得．故答案為：57．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．40．（2024?嘉定區(qū)二模）數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的方差為，數(shù)據(jù)3、6、9、12、15的方差為，則9〖祥解〗根據(jù)方差的計(jì)算公式求解．【解答】解：數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)為，所以，數(shù)據(jù)3、6、9、12、15的平均數(shù)為，所以，所以．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．41．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）甲乙兩人射擊，每人射擊一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，兩人每次射擊是否命中互不影響．已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為．〖祥解〗根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)事件為“兩人至少命中一次”，事件為“甲命中”，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，屬于中檔題．42．（2024?寶山區(qū)二模）某公司為了了解某商品的月銷售量（單位：萬(wàn)件）與月銷售單價(jià)（單位：元件）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的銷售量與銷售單價(jià)，并制作了如下對(duì)照表：月銷售單價(jià)（元件）1015202530月銷售量（萬(wàn)件）1110865由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測(cè)當(dāng)月銷售單價(jià)為40元件時(shí)，月銷售量為1.6萬(wàn)件．〖祥解〗先求出樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，，代入回歸方程求出的值，再進(jìn)行預(yù)測(cè)即可．【解答】解：由題意可知，，，所以樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)為，代入回歸方程得，，解得，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)月銷售單價(jià)為40元件時(shí)，月銷售量約為1.6萬(wàn)件．故答案為：1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于中檔題．43．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知，是兩個(gè)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量，其取值如下表：123454911其回歸方程為，則11．〖祥解〗利用線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心即可求解．【解答】解：由題設(shè)，，又在回歸直線上，所以，必有，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共17小題）44．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）火車晚點(diǎn)是人們?cè)诼眯羞^(guò)程中最常見(jiàn)的問(wèn)題之一，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，許多人都會(huì)打電話進(jìn)行投訴．某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率對(duì)每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對(duì)近8年年年）每年火車正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．60059243837.293.8（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若預(yù)計(jì)2024年火車的正點(diǎn)率為，試估算2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評(píng)為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評(píng)價(jià)“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，〖祥解〗（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應(yīng)用超幾何概率公式求對(duì)應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而求期望．【解答】解：（1）由題設(shè)，，則，所以，所以；當(dāng)時(shí)，代入，得到，所以2024年顧客對(duì)該市火車站投訴的次數(shù)約為20次．（2）由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的求解，以及超幾何分布的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．45．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）2024年1月5日起，第40屆中國(guó)哈爾濱國(guó)際冰雪節(jié)在黑龍江省哈爾濱市舉行．讓大家對(duì)冰雪文化進(jìn)一步了解，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)一步的熱愛(ài)．為了調(diào)查不同年齡層的人對(duì)“冰雪運(yùn)動(dòng)”的喜愛(ài)態(tài)度．某研究小組隨機(jī)調(diào)查了哈爾濱市社區(qū)年齡在，的市民300人，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下頻數(shù)分布表所示：年齡（單位：周歲），，，，，頻數(shù)3081996030持喜愛(ài)態(tài)度2465753012（1）求該樣本中市民年齡的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）從這300名市民中隨機(jī)抽取1人，在此人喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的前提下，求其年齡小于50周歲的概率：（3）為鼓勵(lì)市民積極參加這次調(diào)查，該研究小組決定給予參加調(diào)查的市民一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有兩種：方案一：按年齡進(jìn)行分類獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)10元：當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)30元：當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)40元；方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中年齡低于樣本中位數(shù)的可抽1次獎(jiǎng)，年齡不低于樣本中位數(shù)的可抽2次獎(jiǎng)．每次抽中獎(jiǎng)勵(lì)30元，未抽中獎(jiǎng)勵(lì)10元，各次抽獎(jiǎng)間相互獨(dú)立，且每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為，將頻率視為概率，利用樣本估計(jì)總體的思想，若該研究小組希望最終發(fā)出更多的獎(jiǎng)金，則從期望角度出發(fā)．該研究小組應(yīng)采取哪種方案．〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布表，利用平均數(shù)公式求解；（2）設(shè)事件表示抽中的此人喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)，事件表示抽中的此人年齡在50周歲以下，根據(jù)頻數(shù)分布表，利用古典概型的概率求得（A），，再利用條件概率求解；（3）對(duì)于方案一，設(shè)每名參與調(diào)查的市民可獲得的獎(jiǎng)金為元，則的所有可能取值為10，30，40，求得其對(duì)應(yīng)的概率，再求期望；對(duì)于方案二，設(shè)每名參與調(diào)查市民可獲得的獎(jiǎng)金為元，則的所有可能值為10，20，30，40，60，求得其相應(yīng)概率，再求期望，對(duì)比下結(jié)論．【解答】解：（1）樣本中市民年齡的平均數(shù)為．（2）設(shè)事件表示抽中的此人喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)，事件表示抽中的此人年齡在50周歲以下．則由頻數(shù)分布表可知，所以在此人喜愛(ài)冰雪運(yùn)動(dòng)的前提下，其年齡小于50周歲的概率為．（3）對(duì)于方案一，設(shè)每名參與調(diào)查的市民可獲得的獎(jiǎng)金為元，則的所有可能取值為10，30，40，其對(duì)應(yīng)的概率分別為，故．對(duì)于方案二，設(shè)每名參與調(diào)查的市民可獲得的獎(jiǎng)金為元，則的所有可能取值為10，20，30，40，60．可得，，，所以，因?yàn)?，所以從?shù)學(xué)期望的角度分析，該研究小組應(yīng)采取方案二．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．46．（2024?松江區(qū)二模）某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽．規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立．（1）計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；（2）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；（3）已知，若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰(shuí)先派出．〖祥解〗（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布，再結(jié)合期望公式求解；（3）分別計(jì)算出依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)和依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，所派出人員數(shù)目的期望，再利用作差法比較大小即可．【解答】解：（1）設(shè)事件表示“該小組比賽勝利”，則（A）；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布為：，所以；（3）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，由（2）可知，，若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，則，所以，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布和期望，屬于中檔題．47．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）某學(xué)校共有1200人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)比為，為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，擬舉行乒乓球比賽，從三個(gè)年級(jí)中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊(duì)員．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽5局中以或獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場(chǎng)比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分．已知最后一場(chǎng)比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽的獲勝概率為．（1）三個(gè)年級(jí)參賽人數(shù)各為多少？（2）在最后一場(chǎng)比賽甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率；（3）記最后一場(chǎng)比賽中甲所得積分為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．〖祥解〗（1）利用分層抽樣的等比例性質(zhì)列式求解即可；（2）分別求得最后一場(chǎng)比賽甲獲勝與其前2局獲勝的概率，再利用條件概率公式即可得解；（3）依題意得到的所有可能取值，分別求其對(duì)應(yīng)概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可得解．【解答】解：（1）三個(gè)年級(jí)的參賽人數(shù)分別為，，，故來(lái)自高一，高二，高三年級(jí)的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人．（2）記甲在最后一場(chǎng)獲勝為事件，其前兩局獲勝為事件，則，，故．（3）依題意，的所有可能取值為3，2，1，0，；；；，所以的概率分布列為：3210所以數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)評(píng)】本題在考查分層抽樣方法，條件概率的求法，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．48．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）新寧崀山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)、國(guó)家級(jí)景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片．為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分，假設(shè)每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．（1）從游客中隨機(jī)抽取2人，記總得分為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望；（2）（?。┯洷硎尽皬挠慰椭须S機(jī)抽取人，總分恰為分”的概率，求的前4項(xiàng)和；（ⅱ）在對(duì)游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查中，記表示“已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為分”的概率，探求與的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．〖祥解〗（1）先得到的所有取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，代入期望公式中即可求解；（2）根據(jù)題意可得“總分恰為分”的概率為，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可；因?yàn)椤耙颜{(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為分”的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得4分，概率為，則，再利用構(gòu)造法求解即可．【解答】解：（1）易知的所有取值為4，6，8，因?yàn)槊课挥慰瓦x擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立，此時(shí)，，，所以；（2）易知“總分恰為分”的概率為，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則；若“已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為分”的概率為，此時(shí)得不到分的情況只有先得分，再得4分，概率為，所以，即，此時(shí)，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)學(xué)期望以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．49．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在我國(guó)杭州舉行，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運(yùn)，講好浙江故事”的知識(shí)競(jìng)賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的競(jìng)賽成績(jī)分?jǐn)?shù)均分布在，內(nèi)，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制了學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖，如圖所示．高于850分的學(xué)生被稱為“特優(yōu)選手”．（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的第70百分位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)在，，，內(nèi)的兩組學(xué)生中共抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記被抽取的4名學(xué)生中是“特優(yōu)選手”的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．〖祥解〗（1）利用頻率分布直方圖的特征、百分位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的法則先確定兩組抽取到的人數(shù)，再由離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知，解得，設(shè)第70百分位數(shù)為，前兩組所占頻率為，前三組所占頻率為，則位于第三組數(shù)據(jù)中，所以，平均數(shù)；（2）由（1）知分?jǐn)?shù)在，，，內(nèi)的兩組學(xué)生分別有：人，人，所以各自抽取的人數(shù)分別為人，所以可取0，1，2，3，4，則，，所以分布列為：01234．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．50．（2024?閔行區(qū)三模）2021年國(guó)慶期間，某縣書畫協(xié)會(huì)在縣宣傳部門的領(lǐng)導(dǎo)下組織了慶國(guó)慶書畫展，參展的200幅書畫作品反映了該縣人民在黨的領(lǐng)導(dǎo)下進(jìn)行國(guó)家建設(shè)中的艱苦卓絕，這些書畫作品的作者的年齡都在，之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，作出如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求這200位作者年齡的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）縣委宣傳部從年齡在，和，的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出6人參加縣委組織的表彰大會(huì)，現(xiàn)要從6人中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間，的人數(shù)是，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)和方差的公式代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在，內(nèi)有2人，在，內(nèi)有4人，利用古典概型的概率公式代入計(jì)算，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望即可．【解答】解：（1）這200位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，．（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在，內(nèi)有2人，在，內(nèi)有4人，故可能的取值為0，1，2，，，，所以的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．51．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）求身高不低于的學(xué)生人數(shù)；（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個(gè)組，用分層抽樣的方法從三個(gè)組中抽取6人．①求從這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．〖祥解〗（1）先求出，的頻率可得結(jié)果．（2）由分層抽樣可得各組的人數(shù)，分別列舉各種情況可得概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，所以．身高在以上的學(xué)生人數(shù)為（人．（2），，三組的人數(shù)分別為30人，20人，10人．因此應(yīng)該從，，三組中每組各抽?。ㄈ耍ㄈ耍ㄈ耍O(shè)組的3位同學(xué)為，，，組的2位同學(xué)為，，組的1位同學(xué)為，則從6名學(xué)生中抽取2人有15種可能：，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中組的2位學(xué)生至少有1人被抽中有9種可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，．所以組中至少有1人被抽中的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖和分層抽樣，屬于中檔題．52．（2024?寶山區(qū)三模）由于“新冠肺炎”對(duì)抵抗力差的人的感染率相對(duì)更高，特別是老年人群體，因此某社區(qū)在疫情控制后，及時(shí)給老年人免費(fèi)體檢，通過(guò)體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖，高血脂，高血壓”，即“三高”老人較多．為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)生的建議為每位老人提供了一份詳細(xì)的健康安排表，還特地建設(shè)了一個(gè)老年人活動(dòng)中心，老年人每天可以到該活動(dòng)中心去活動(dòng)，以增強(qiáng)體質(zhì)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)每周到活動(dòng)中心去運(yùn)動(dòng)的老年人的活動(dòng)時(shí)間，得到了以下頻率分布直方圖．（1）從到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人中任意選取5人．①若將頻率視為概率，求至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在，（單位：的概率；②若抽取的5人中每周活動(dòng)時(shí)間在，（單位：的人數(shù)為2人，從5人中選出3人進(jìn)行健康情況調(diào)查，記3人中每周活動(dòng)時(shí)間在，（單位：的人數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某人的每周活動(dòng)時(shí)間量與所有老人的每周平均活動(dòng)時(shí)間量比較，當(dāng)超出所有老人的每周平均活動(dòng)量不少于時(shí)，則稱該老人為“活動(dòng)愛(ài)好者”，從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到人為“活動(dòng)愛(ài)好者”的可能性最大，試求的值．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）〖祥解〗（1）①記“至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在，（單位：”為事件，求出（A）的值即可；②分別計(jì)算，，的值，求出的值即可；（2）求出，若人的可能性最大，則，，1，2，3，，得到，得到關(guān)于的不等式，求出的范圍即可判斷．【解答】解：（1）由圖表的直方圖可知，事件“到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人中任意選取1人，每周活動(dòng)時(shí)間在，內(nèi)”的概率為，①記“至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在，（單位：”為事件，則（A）；②隨機(jī)變量所以可能的取值為0，1，2，則，，，的分布列如下：012故；（2）老人的周活動(dòng)時(shí)間的平均值為：，則老人中“活動(dòng)愛(ài)好者”的活動(dòng)時(shí)間為，，參加活動(dòng)的老人中為“活動(dòng)愛(ài)好者”的概率為，若從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到人為“活動(dòng)愛(ài)好者”，則，若人的可能性最大，則，，1，2，3，，由，即且，解得：，由于，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)變量的分布列和期望，考查概率求值以及不等式問(wèn)題，是中檔題．53．（2024?浦東新區(qū)二模）某商店隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名客戶的消費(fèi)金額，并分組如下：，，，，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該店當(dāng)天總共有1350名客戶進(jìn)店消費(fèi)，試估計(jì)其中有多少客戶的消費(fèi)額不少于800元；（2）若利用分層隨機(jī)抽樣的方法從消費(fèi)不少于800元的客戶中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率是多少；（3）為吸引顧客消費(fèi)，該商店考慮兩種促銷方案．方案一：消費(fèi)金額每滿300元可立減50元，并可疊加使用；方案二：消費(fèi)金額每滿1000元即可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響．中獎(jiǎng)1次當(dāng)天消費(fèi)金額可打9折，中獎(jiǎng)2次當(dāng)天消費(fèi)金額可打6折，中獎(jiǎng)3次當(dāng)天消費(fèi)金額可打3折．若兩種方案只能選擇其中一種，小王準(zhǔn)備購(gòu)買的商品又恰好標(biāo)價(jià)1000元，請(qǐng)幫助他選擇合適的促銷方案并說(shuō)明理．〖祥解〗（1）由頻率分布直方圖得出消費(fèi)額不少于800元的頻率，由此可計(jì)算出結(jié)論；（2）由頻率分布直方圖提供的概率及分層抽樣的定義得出抽取的6人在兩個(gè)區(qū)間中人數(shù)，再結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算概率；（3）根據(jù)兩個(gè)方案求出其付款的期望值，比較后可得，其中方案1每300元減小50元，計(jì)算出付款額，方案2由超幾何分布概率公式分別求得抽取3次得獎(jiǎng)次數(shù)分別是0，1，2，3的概率，再根據(jù)折扣計(jì)算出付款期望值．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖估計(jì)消費(fèi)額不少于800元的客戶人數(shù)約為，即約有405人；（2）由頻率分布直方圖抽取的6人中，有4人消費(fèi)金額在區(qū)間800，上，有2人不少于1000元，因此再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)直，則抽到的2人中至少有1人的消費(fèi)金額不少于1000元的概率為；（3）按方案1，小王實(shí)付款；按方案2，小王抽獎(jiǎng)3次，中1次獎(jiǎng)的概率為，中2次獎(jiǎng)的概率為，中3次獎(jiǎng)的概率為，一次都不中的概率為，因此本次購(gòu)物小王付款的期望值為，又，因此選取方案2較合適．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．54．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開(kāi)展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng)．活動(dòng)后，為了解閱讀情況，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以表示．（1）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中的所有可能取值；（2）將甲、乙兩組中閱讀量超過(guò)15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”．設(shè)，從20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，已知該生為閱讀達(dá)人，求該生為甲組學(xué)生的概率．（3）記甲組閱讀量的方差為．在甲組中增加一名學(xué)生得到新的甲組，若的閱讀量為10，則記新甲組閱讀量的方差為；若的閱讀量為20，則記新甲組閱讀量的方差為，試比較，，的大?。ńY(jié)論不要求證明）〖祥解〗（1）根據(jù)平均數(shù)公式列不等式解得，即可求解；（2）利用縮小樣本空間法求解條件概率即可；（3）根據(jù)方差表示數(shù)據(jù)穩(wěn)定性，即可作出大小判斷．【解答】解：（1）甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值為，乙組10名學(xué)生閱讀量的平均值為，由題意，得，又，所以．故圖中的取值為1或2．（2）記事件“從20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，已知該生為閱讀達(dá)人，該生為甲組學(xué)生”為．由圖可知，甲組“閱讀達(dá)人”有2人，在此分別記為，，乙組“閱讀達(dá)人”有3人，在此分別記為，，，從所有的“閱讀達(dá)人”里任取1人，所有可能結(jié)果有5種，即，，，，，事件的結(jié)果有2種，它們是，，所以，即該生為甲組學(xué)生的概率；（3）通過(guò)莖葉圖觀察，當(dāng)增加一名閱讀量為10學(xué)生后，甲的莖葉圖峰變瘦變尖，說(shuō)明數(shù)據(jù)更集中，即更穩(wěn)定，所以，當(dāng)增加一名閱讀量為20學(xué)生后，甲的莖葉圖峰變胖變矮，說(shuō)明數(shù)據(jù)更分散，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì)的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．55．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）環(huán)境監(jiān)測(cè)部門為調(diào)研汽車流量對(duì)空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)每日過(guò)往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對(duì)應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度的平均濃度合計(jì)（2）經(jīng)計(jì)算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價(jià)值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．〖祥解〗（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計(jì)算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果．（2）代入公式計(jì)算可判斷與的相關(guān)性強(qiáng)弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過(guò)樣本中心可求得的值．【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計(jì)的平均濃度16824的平均濃度62026合計(jì)222850零假設(shè)：“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛”無(wú)關(guān)，因?yàn)?，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因?yàn)榛貧w方程為，所以，又因?yàn)?，，所以．，與有較強(qiáng)的相關(guān)性，該回歸方程有價(jià)值．②，解得而樣本中心點(diǎn)位于回歸直線上，因此可推算．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，屬于中檔題．56．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個(gè)617390105119136149163（1）建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求回歸方程及相關(guān)系數(shù)．精確到0.1，精確到1，精確到（2）該公司進(jìn)行了第二次測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器占比，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828〖祥解〗（1）利用最小二乘法求出，，即可得出回歸方程，再根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意可將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根公式求得，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可得，，又由，，所以，，所以變量關(guān)于的線性回歸方程為；，，；（2）設(shè)零假設(shè)為：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無(wú)關(guān)，由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過(guò)的共臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共臺(tái)，補(bǔ)充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)6040100則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤概率不大于0.01．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程，獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．57．（2024?閔行區(qū)二模）是研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見(jiàn)的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確．某科技公司在使用對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18．假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問(wèn)題，的回答是否正確相互獨(dú)立．該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下，小張和各自從給定的10個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的9個(gè)．（1）求小張能全部回答正確的概率；（2）求一個(gè)問(wèn)題能被回答正確的概率；（3）在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和答對(duì)題數(shù)的期望與方差．〖祥解〗（1）由古典概型概率公式即可求解；（2）由全概率公式求解即可；（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是8、9，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得小張答對(duì)題數(shù)的期望和方差，設(shè)答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則．（2）設(shè)事件表示“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問(wèn)題能被正確回答”，由題意知，，，則，．（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是8、9，且，，則，，設(shè)答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求法，離散型隨