四川省達州市2020年中考試題（解析版）

初中學業(yè)水平考試試題PAGEPAGE1達州市2020年高中階段學校招生統一考試暨初中學業(yè)水平考試數學本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．考試時間120分鐘，滿分120分．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置．待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己的準考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規(guī)范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內，超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．保持答題卡整潔，不要折疊、弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．4．考試結束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1.人類與病毒的斗爭是長期的，不能松懈．據中央電視臺“朝日新聞”報道，截止北京時間2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者確診病例達到1002萬．1002萬用科學記數法表示，正確的是（）A. B. C. D.萬『答案』A『解析』〖分析〗通過科學記數法的公式計算即可：；〖詳解〗1002萬=10020000=．故答案選A．〖點睛〗本題主要考查了科學記數法的表示，準確判斷小數點位置是解題的關鍵．2.下列各數中，比3大比4小的無理數是（）A.3.14 B. C. D.『答案』C『解析』〖分析〗根據無理數的定義找出無理數，再估算無理數的范圍即可求解．〖詳解〗解：∵四個選項中是無理數的只有和，而17＞42，32＜12＜42∴＞4，3＜＜4∴選項中比3大比4小的無理數只有．故選：C．〖點睛〗此題主要考查了無理數的定義和估算，解題時注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環(huán)小數為無理數．3.下列正方體的展開圖上每個面上都有一個漢字．其中，手的對面是口的是（）A. B.C. D.『答案』B『解析』〖分析〗正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點逐項判斷即可．〖詳解〗解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，A、手的對面是勤，所以本選項不符合題意；B、手的對面是口，所以本選項符合題意；C、手的對面是罩，所以本選項不符合題意；D、手的對面是罩，所以本選項不符合題意．故選：B．〖點睛〗本題考查了正方體相對面上的文字，屬于常考題型，熟知正方體相對兩個面的特征是解題的關鍵．4.下列說法正確的是（）A.為了解全國中小學生的心理健康狀況，應采用普查．B.確定事件一定會發(fā)生．C.某校6位同學在新冠肺炎防疫知識競賽中成績分別為98、97、99、99、98、96，那么這組數據的眾數為98．D.數據6、5、8、7、2的中位數是6．『答案』D『解析』〖分析〗可用普查的定義或適用范圍判斷A選項；根據確定事件的定義判斷B選項；用眾數的概念判斷C選項；最后用中位數的定義判斷D選項．〖詳解〗全國中小學生數量極大，不適合全面普查，為了解全國中小學生心理狀況，應采用抽樣調查方式，故A選項錯誤；確定事件包括必然事件與不可能事件，不可能事件不會發(fā)生，故B選項錯誤；眾數為一組數據當中出現次數最多的數據，該組數據中98，99均分別出現兩次，故眾數為98，99，C選項錯誤；將一組數據按數值大小順序排列，位于中間位置的數值為該組數據的中位數，2，5，6，7，8中位數為6，故D選項正確；綜上：本題答案為D選項．〖點睛〗本題考查統計知識當中的相關概念，解答本題關鍵是熟悉各概念的定義，按照定義逐項排除即可．5.圖2是圖1中長方體的三視圖，若用表示面積，，，則（）A. B. C. D.『答案』A『解析』〖分析〗直接利用已知視圖的邊長結合其面積得出另一邊長，即可得出俯視圖的邊長進而得出答案．〖詳解〗解：∵S主，S左，∴主視圖的長，左視圖的長，則俯視圖的兩邊長分別為：、，S俯，故選：A．〖點睛〗此題主要考查了已知三視圖求邊長，正確得出俯視圖的邊長是解題關鍵．6.如圖，正方體的每條棱上放置相同數目的小球，設每條棱上的小球數為m，下列代數式表示正方體上小球總數，則表達錯誤的是（）A. B. C. D.『答案』A『解析』〖分析〗先根據規(guī)律求出小球的總個數,再將選項逐項化簡求值即可解題.〖詳解〗解:由題可知求小球的總數的方法會按照不同的計數方法而規(guī)律不同,比如可以按照一共有12條棱,去掉首尾銜接處的小球,則每條棱上剩下12(m-2)個小球,加上銜接處的8個小球,則小球的個數為,選項B中,故B,C,D均正確,故本題選A.〖點睛〗本題考查了圖形的規(guī)律,合并同類項,需要學生具有較強的邏輯抽象能力,能夠不重不漏的表示出小球的總數是解題關鍵.7.中國奇書《易經》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來計數，即“結繩計數”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿5進1，用來記錄孩子自出生后的天數．由圖可知，孩子自出生后的天數是（）A.10 B.89 C.165 D.294『答案』D『解析』〖分析〗類比十進制“滿十進一”，可以表示滿5進1的數從左到右依次為：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它們相加即可．〖詳解〗依題意，還在自出生后的天數是：2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，故選：D．〖點睛〗本題考查了實數運算的實際應用，解答的關鍵是運用類比的方法找出滿5進1的規(guī)律列式計算．8.如圖，在半徑為5的中，將劣弧沿弦翻折，使折疊后的恰好與、相切，則劣弧的長為（）A. B. C. D.『答案』B『解析』〖分析〗如圖畫出折疊后所在的⊙O＇，連O＇B，O＇A，根據題意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四邊形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根據弧長公式計算即可．〖詳解〗解：如圖：畫出折疊后所在的⊙O＇，連O＇B，O＇A∵恰好與、相切∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA∵OB=OA=O＇B=O＇A,∴四邊形O＇BOA是正方形∴∠O=90°∴劣弧的長為．故答案為B．〖點睛〗本題考查了折疊的性質、正方形的判定與性質、弧長公式等知識點，其中掌握弧長公式和折疊的性質是解答本題的關鍵．9.如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，則的圖象可能是（）A. B.C. D.『答案』B『解析』〖分析〗根據題目所給圖像，首先判斷中k＞0，其次判斷中a＜0，b＜0，c＜0，再根據k、b、的符號判斷中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判斷出圖像．〖詳解〗解：由題圖像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，∴b-k＜0，∴函數對稱軸x=＜0，交x軸于負半軸，∴當時，即，移項得方程，∵直線與拋物線有兩個交點，∴方程有兩個不等的解，即與x軸有兩個交點，根據函數對稱軸交x軸負半軸且函數圖像與x軸有兩個交點，∴可判斷B正確．故選：B〖點睛〗本題考查二次函數與一次函數的圖象與性質，解題的關鍵是根據圖像判斷k、a、b、c的正負號，再根據二次函數與一元二次方程的關系判斷出正確圖像．10.如圖，，，點A在上，四邊形是矩形，連接、交于點E，連接交于點F．下列4個判斷：①平分；②；③；④若點G是線段的中點，則為等腰直角三角形．正確判斷的個數是（）A.4 B.3 C.2 D.1『答案』A『解析』〖分析〗①，先說明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性質可得DE=BE，最后根據等腰三角形的性質即可判斷；②證明△OFA≌△OBD即可判斷；③過F作FH⊥AD，垂足為H,然后根據角平分線定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函數即可判定；④連接AG,然后證明△OGA≌△ADE,最后根據全等三角形的性質和角的和差即可判斷．〖詳解〗解：①∵∴△OBD是等腰三角形∵四邊形矩形∴DE=BE=BD，DA⊥OB∴平分，OE⊥BD故①正確；②∵OE⊥BD,DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°∵∠EDF=∠AOF∵DA⊥OB，∴OA=AD在△OFA和△OBD中∠EDF=∠AOF,OA=AD,∠DAO=∠DAB∴△OFA≌△DAB∴OF=BD,即②正確；③過F作FH⊥OD，垂足為H,∵平分，DA⊥OB∴FH=AF∵，DA⊥OB∴∠HDF=45°∴sin∠HDF=,即；故③正確；④由②得∠EDF=∠AOF，∵G為OF中點∴OG=OF∵DE=BE=BD，OF=BD∴OG=DE在△OGA和△AED中OG=DE,∠EDF=∠AOF，AD=OA∴△OGA≌△AED∴OG=EF,∠GAO=∠DAE∴△GAE是等腰三角形∵DA⊥OB∴∠OAG+∠DAG=90°∴∠DAE+∠DAG=90°,即∠GAE=90°∴△GAE是等腰直角三角形，故④正確．故答案為A．〖點睛〗本題考查了全等三角形的判定與性質、矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、角平分線的性質以及解直角三角形等知識點，考查知識點較多，故靈活應用所學知識成為解答本題的關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共18分）11.2019年是中華人民共和國成立70周年，天安門廣場舉行了盛大的國慶閱兵式和群眾游行活動．其中，群眾游行隊伍以“同心共筑中國夢”為主題，包含有“建國創(chuàng)業(yè)”“改革開放”“偉大復興”三個部分，某同學要統計本班學生最喜歡哪個部分，制作扇形統計圖．以下是打亂了的統計步驟：①繪制扇形統計圖②收集三個部分本班學生喜歡的人數③計算扇形統計圖中三個部分所占的百分比其中正確的統計順序是____________．『答案』②③①『解析』〖分析〗制作扇形統計圖的一般步驟是：1、計算各部分在總體中所占的百分比；2、計算各個扇形的圓心角的度數；3、在圓中依次作出上面的扇形，并標出百分比；據此解答即可．〖詳解〗解：正確的統計順序是：②收集三個部分本班學生喜歡的人數；③計算扇形統計圖中三個部分所占的百分比；①繪制扇形統計圖；故答案為：②③①．〖點睛〗本題考查了扇形統計圖的相關知識，解題的關鍵明確制作扇形統計圖的一般步驟．12.如圖，點與點關于直線對稱，則______．『答案』-5『解析』〖分析〗根據點與點關于直線對稱求得a，b的值，最后代入求解即可．〖詳解〗解：∵點與點關于直線對稱∴a=-2，,解得b=-3∴a+b=-2+（-3）=-5故答案為-5．〖點睛〗本題考查了關于y=-1對稱點的性質，根據對稱點的性質求得a、b的值是解答本題的關鍵．13.小明為測量校園里一顆大樹的高度，在樹底部B所在的水平面內，將測角儀豎直放在與B相距的位置，在D處測得樹頂A的仰角為．若測角儀的高度是，則大樹的高度約為_____．（結果精確到．參考數據：）『答案』11m『解析』〖分析〗過D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解決問題．〖詳解〗如圖，過D作DE⊥AB，則四邊形BCDE是矩形，∴BC=DE，BE=CD，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為52o，∴∠ADE=52o，∵BC=DE=8m，∴AE=DE?tan52o≈8×1.28≈10.24m，∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.∴AB約為：11m.故答案為：11m．〖點睛〗本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，構造直角三角形是解答的關鍵．14.如圖，點A、B在反比函數的圖象上，A、B的縱坐標分別是3和6，連接、，則的面積是__________．『答案』9『解析』〖分析〗設BD⊥y軸于點D，AC⊥y軸于點C，AC與OB的交點為點E，證得S四邊形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四邊形ABDC，根據梯形的面積公式求解即可．〖詳解〗如圖，設BD⊥y軸于點D，AC⊥y軸于點C，AC與OB的交點為點E，∵A、B的縱坐標分別是3和6，代入函數關系式可得橫坐標分別為4,2；∴A（4,3），B（2,6）；∴AC=4，BD=2，CD=3由反比例函數的幾何意義可得S△BOD=S△AOC，∴S四邊形EBDC=S△AOE，∴S△AOB=S四邊形ABDC=，故答案：9．〖點睛〗本題考查了反比例函數中三角形面積的求解，要能夠熟練掌握反比例函數的性質和幾何意義；雙曲線上任意一點向x軸或y軸引垂線，則該點、垂足、原點組成的三角形的面積相等，都是．15.已知的三邊a、b、c滿足，則的內切圓半徑=____．『答案』1『解析』〖分析〗先將變形成，然后根據非負性的性質求得a、b、c的值，再運用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．〖詳解〗解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內切圓半徑==1．故答案為1．〖點睛〗本題考查了非負數性質的應用、勾股定理逆定理的應用以及直角三角形內切圓的求法，掌握直角三角形內切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關鍵．16.已知k為正整數，無論k取何值，直線與直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是_________；記直線和與x軸圍成的三角形面積為，則_____，的值為______．『答案』(1).(2).(3).『解析』〖分析〗聯立直線和成方程組，通過解方程組，即可得到交點坐標；分別表示出直線和與x軸的交點，求得交點坐標即可得到三角形的邊長與高，根據三角形面積公式進行列式并化簡，即可得到直線和與x軸圍成的三角形面積為的表達式，從而可得到和，再依據分數的運算方法即可得解．〖詳解〗解：聯立直線與直線成方程組，，解得，∴這兩條直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是；∵直線與x軸的交點為，直線與x軸的交點為，∴，∴，故答案為：；；〖點睛〗本題考查了一次函數（k≠0，b為常數)的圖象與兩坐標軸的交點坐標特點，與x軸的交點的縱坐標為0，與y軸的交點的橫坐標為0；也考查了坐標與線段的關系、三角形的面積公式以及分數的特殊運算方法．解題的關鍵是熟練掌握一次函數（k≠0，b為常數)的圖象與性質，能靈活運用分數的特殊運算方法．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共72分）17.計算：．『答案』1『解析』〖分析〗先運用乘方、負整數指數冪、零次冪、立方根的知識化簡，然后計算即可．〖詳解〗解：==1．〖點睛〗本題考查了乘方、負整數指數冪、零次冪、立方根等知識，掌握相關知識的運算法則是解答本題的關鍵．18.求代數式的值，其中．『答案』，『解析』〖分析〗先根據分式的混合運算法則化簡原式，再把x的值代入化簡后的式子計算即可．〖詳解〗解：原式=====，當時，原式=．〖點睛〗本題考查了分式的化簡求值以及二次根式的混合運算，屬于常考題型，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．19.如圖，點O在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點D，過點D作于點E．（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補全圖形；（2）判斷與交點的個數，并說明理由．『答案』（1）見解析；（2）與有1個交點，理由見解析『解析』〖分析〗（1）根據已知圓心和半徑作圓、作已知角的平分線、過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖的步驟作圖即可；（2）連接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分線得出∠1=∠3，等量代換進而證出OD∥BA，根據兩直線平行同旁內角互補，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切線，即與有1個交點.〖詳解〗解：（1）如下圖，補全圖形：（2）如下圖，連接OD，∵點D在上，∴OB=OD，∴∠1=∠2，又∵BM平分，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BA，∴∠ODE+∠BED=180°，∵∴∠ODE=90°，∴ED是的切線，∴與有1個交點.〖點睛〗本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的步驟及圓的切線的判定定理是解題的關鍵.20.爭創(chuàng)全國文明城市，從我做起．尚理中學在八年級開設了文明禮儀校本課程，為了解學生的學習情況，隨機抽取了20名學生的測試成績，分數如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的數據，得到頻數分布表和扇形統計圖：等級成績/分頻數AaB8C5D4根據以上信息，解答下列問題．（1）填空：_______，______；（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計該校1200名八年級學生中，達到優(yōu)秀等級的人數；（3）已知A等級中有2名女生，現從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．『答案』（1）3，40；（2）660人；（3）『解析』〖分析〗（1）用20分別減去其它三個等級的人數即為a的值，用B等級的頻數除以20即可求出b的值；（2）用A、B兩個等級的人數之和除以20再乘以1200計算即可；（3）先畫出樹狀圖求出所有等可能的結果數，再找出恰好抽到一男一女的結果數，然后根據概率公式解答．〖詳解〗解：（1）；8÷20=40%，∴b=40；故答案為：3，40；（2）人；答：估計該校1200名八年級學生中，達到優(yōu)秀等級的人數是660人；（3）記A等級中的2名女生為M、N，1名男生為Y，所有可能的情況如圖所示：由上圖可知：共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一男一女的結果有4種，∴恰好抽到一男一女的概率=．〖點睛〗本題考查了頻數分布表、扇形統計圖、利用樣本估計總體和求兩次事件的概率等知識，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．21.如圖，中，，D、E分別是邊、的中點．將繞點E旋轉180度，得．（1）判斷四邊形的形狀，并證明；（2）已知，，求四邊形的面積S．『答案』（1）菱形，理由見解析；（2）7『解析』〖分析〗（1）根據三角形中位線定理可得，根據旋轉的性質，，可證明四邊形是平行四邊形，再根據，D、E分別是邊、的中點，可知，所以四邊形是菱形；（2）由（1）得菱形的對角線互相垂直平分，再根據，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根據菱形的面積求解公式計算即可；〖詳解〗（1）四邊形ABCD是菱形，理由如下：∵D、E分別是邊、的中點，∴，又∵繞點E旋轉180度后得，∴，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，連接AD、BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD與BF相互垂直且平分，又∵，∴，令，，在Rt△ABO中，，∴,即，解得：，，即由圖可知，，∴，，∴．〖點睛〗本題主要考查了菱形的判定和性質綜合應用，準確理解中位線定理和旋轉性質是解題的關鍵．22.某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如下表：原進價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）餐桌a380940餐椅160已知用600元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量相同．（1）求表中a的值；（2）該商場計劃購進餐椅的數量是餐桌數量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數量不超過200張．若將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？『答案』（1）a=260；（2）購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．『解析』〖分析〗（1）用含a的代數式分別表示出600元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量，再根據二者數量相等即可列出關于a的方程，解方程并檢驗即得結果；（2）設購進餐桌x張，銷售利潤為W元．根據購進總數量不超過200張，得出關于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范圍，再根據“總利潤＝成套銷售的利潤+零售餐桌的利潤+零售餐椅的利潤”即可得出W關于x的一次函數，然后根據一次函數的性質即可解決問題．詳解〗解：（1）根據題意，得：，解得：a=260，經檢驗：a=260是所列方程的解，∴a=260；（2）設購進餐桌x張，則購進餐椅（5x+20）張，銷售利潤為W元．由題意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．∵a＝260，∴餐桌的進價為260元/張，餐椅的進價為120元/張．依題意可知：W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，∵k＝280＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當x＝30時，W取最大值，最大值為9200元．故購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．〖點睛〗本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式和一次函數的應用，屬于?？碱}型，解題的關鍵是：（1）正確理解題意、由數量相等得出關于a的分式方程；（2）根據數量關系找出W關于x的函數解析式，靈活應用一次函數的性質．23.如圖，在梯形中，，，，．P為線段上的一動點，且和B、C不重合，連接，過點P作交射線于點E．聰聰根據學習函數的經驗，對這個問題進行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變的長度，運動點P，得到不同位置時，、的長度的對應值：當時，得表1：…12345……0.831.331501.330.83…當時，得表2：…1234567……1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點P在線段上運動時，要保證點E總在線段上，的長度應有一定的限制．①填空：根據函數的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，_____的長度為自變量，_____的長度為因變量；②設，當點P在線段上運動時，點E總在線段上，求m的取值范圍．『答案』（1）證明見解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤『解析』〖分析〗（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因為∠B＝∠C＝90°，即可證得相似；（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，即可判斷自變量和因變量；②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，由△ABP∽△PCE，利用對應邊成比例求出y與x的函數關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；〖詳解〗解：（1）證明：∵，∴∠APE＝90°，∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，∴∠APB＝∠CEP，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE；（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，所以BP的長度為自變量，CE的長度為因變量；故答案為：BP，CE；②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，∵△ABP∽△PCE，∴，即，∴y＝＝，∴當x＝時，y取得最大值，最大值為，∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，∴≤2，解得m≤，∴m的取值范圍為：0＜m≤．〖點睛〗本題考察了代數幾何綜合題、相似三角形的判定與性質、梯形的性質、二次函數最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度．注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數性質的應用．24.（1）〖閱讀與證明〗如圖1，在正的外角內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．①完成證明：點E是點C關于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）〖類比與探究〗把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數量關系___________．（3）〖歸納與拓展〗如圖3，點A在射線上，，，在內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．則線段、、之間的數量關系為__________．『答案』（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．『解析』〖分析〗（1）①根據等量代換和直角三角形的性質即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據（1）（2）的結論，即可總結出答案．〖詳解〗解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點C關于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點E是點C關于的對稱點，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點C關于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當∠BAC=60°時BF=AF+2FG=；由（2）得：當∠BAC=90°時BF=AF+2FG=；以此類推，當當∠BAC=60°時，．〖點睛〗本題考查了軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及三角函數的應用，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵．25.如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線與x軸交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點P，使？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為直線下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當的面積最大時，求的最小值．『答案』（1）；（2）存在點P