（尖子生培優(yōu)）專題06運(yùn)用不變技巧探究算式規(guī)律-三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展培優(yōu)講義

（尖子生培優(yōu)）專題06運(yùn)用不變技巧探究算式規(guī)律三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展培優(yōu)講義（通用版）有的放矢有的放矢根據(jù)算式的規(guī)律解決問題時(shí)，首先要觀察算式中什么不變，什么在變；變化的量按照什么規(guī)律在變。特別要思考，變化的量之間，一個(gè)量的變化，引起另一個(gè)量怎樣變化，在不斷思考中培養(yǎng)數(shù)感。能力鞏固提升能力鞏固提升1．先觀察下面的算式和得數(shù)，然后填一填并接著寫出一個(gè)這樣的算式。123456789×9×2＝2222222202123456789×9×3＝3333333303123456789×9×4＝()123456789×9×5＝()________________________2．9÷9＝1；108÷9＝12；1107÷9＝123；11106÷9＝1234；…那么111105÷9＝()。3．根據(jù)規(guī)律填空，9×9＝81，98×9＝882，987×9＝8883，9876×9＝()。4．根據(jù)第一道算式的得數(shù)，直接寫出其余各算式的得數(shù)．111111111÷9＝12345679（1）222222222÷18＝______

（2）333333333÷______

＝12345679（3）_____÷63＝123456795．觀察下面一組式子，根據(jù)規(guī)律填空。3×3－1×1＝4×2

4×4－2×2＝6×2

5×5－3×3＝8×2

…(1)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)填空：7×7－5×5＝()×()。(2)請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫一道得數(shù)是100的算式()。6．找規(guī)律填空。9×9－1＝8098×9－2＝880987×9－3＝88809876×9－4＝()987654×9－6＝()999×11＝10989999×12＝11988999×13＝12987999×14＝()999×16＝()7．1＋3＝41＋3＋5＝91＋3＋5＋7＝161＋3＋5＋7＋9＝25觀察以上算式，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出下面算式的得數(shù)：1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝()8．已知，，，，那么()。9．12×9+1=109123×9+2=11091234×9+3=11109……123456×9+_______=______________×9+8=________11×11=121111×11=12211111×11=12221……111111×11=_______________×11=122222222110．已知：6×7＝426.6×6.7＝44.226.66×66.7＝444.222那么：()11．根據(jù)已有的結(jié)果找出規(guī)律，直接寫出得數(shù)。1×0.9＋0.2＝1.1

123456×0.9＋0.7＝()12×0.9＋0.3＝11.1

()×0.9＋()＝11111111.1123×0.9＋0.4＝111.112．根據(jù)規(guī)律計(jì)算。37037×3＝111111

37037×12＝444444

37037×21＝77777737037×18＝()

37037×9＝()13．觀察下面的算式和得數(shù)，根據(jù)其中的規(guī)律寫出下一個(gè)等式。34×55＝1870，34×555＝18870，34×5555＝188870，……_______。14．按規(guī)律填空：綜合拔高拓展綜合拔高拓展15．按規(guī)律填一填。()＝()()()16．觀察下面算式與結(jié)果的規(guī)律，把最后一道算式補(bǔ)充完整。6×9＝5466×69＝4554666×669＝445554……()×()＝44444555555417．先用計(jì)算器計(jì)算出橫線里是幾，再根據(jù)規(guī)律直接寫出后兩道題的結(jié)果．1×9＝92×99＝_____9_____3×999＝_____99_____4×9999＝_____999_____5×99999＝____________6×999999＝____________18．請(qǐng)你用在本學(xué)期學(xué)習(xí)中累積的方法和經(jīng)驗(yàn)探索出下面算式的計(jì)算結(jié)果：1+2+1=()1+2+3+2+1=()請(qǐng)你接著寫一個(gè)：___________________________……1+2+3+4+……+48+49+50+49+48+……+4+3+2+1=()19．找規(guī)律，寫得數(shù)。1＋2＝2×2－1＝31＋2＋4＝2×4－1＝71＋2＋4＋8＝2×8－1＝151＋2＋4＋8＋16＝2×16－1＝311＋2＋4＋8＋16＋32＝()1＋2＋4＋…＋64＝()1＋2＋4＋…＋()＝2×512－1＝1023。20．根據(jù)（22－4）÷18＝1，（222－6）÷18＝12，（2222－8）÷18＝123，可得出（22222－10）÷18＝()。21．按規(guī)律填出下面算式的得數(shù)。999×2＝1998999×3＝2997999×4＝3996999×5＝________999×________＝799222．根據(jù)前面三道算式，直接填出括號(hào)里的數(shù)。9×9＋19＝10098×9＋118＝1000987×9＋1117＝10000……()×9＋1111114＝()98765432×9＋()＝()23．有趣的計(jì)算。(先用計(jì)算器計(jì)算前四道算式結(jié)果，再按照規(guī)律寫出后三道算式及其結(jié)果。)21×9＝_____321×9＝_____4321×9＝_____54321×9＝__________×9＝__________×9＝__________×9＝_____24．先觀察，再填數(shù)。，，，()，()。25．根據(jù)給出的規(guī)律填數(shù)()＝()26．計(jì)算111÷3＝37、222÷6＝37、333÷9＝37中，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是()，請(qǐng)你根據(jù)這樣的規(guī)律再寫兩個(gè)算式()、()。27．想一想．你能不計(jì)算，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面各題的結(jié)果嗎？1÷9＝0.111……

2÷9＝0.222……

3÷9＝0.333……

4÷9＝________

8÷9＝________

……

3×4＝123.3×3.4＝11.223.33×33.4＝111.2223.333×333.4＝________3.3333×3333.4＝________……28．奇妙的算式，請(qǐng)根據(jù)規(guī)律填空.5×5＝25；

95×95＝9025；

995×995＝990025；9995×9995＝()；

99995×99995＝()參考答案參考答案1．44444444045555555505123456789×9×6＝6666666606【分析】根據(jù)題意可知，三個(gè)數(shù)相乘，第一個(gè)因數(shù)是123456789，第二個(gè)因數(shù)都是9，第三個(gè)因數(shù)都是一位數(shù)，積的十位上都是0，0的左邊是8個(gè)第三個(gè)因數(shù)，0的右邊（個(gè)位上）是第三個(gè)乘數(shù)，依此填空。【詳解】123456789×9×2＝2222222202123456789×9×3＝3333333303123456789×9×4＝4444444404123456789×9×5＝5555555505123456789×9×6＝6666666606【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)算式的規(guī)律寫出得數(shù)，應(yīng)先發(fā)現(xiàn)前面幾個(gè)算式中，積與因數(shù)之間的關(guān)系。2．12345【分析】根據(jù)題意可知：被除數(shù)十位上是0，0前面的所有1和0后面的數(shù)字之和是9，所得商的末尾數(shù)字與被除數(shù)的末尾數(shù)字之和是10，即算式的商為：最高位從1開始寫（每一位上的數(shù)與前一位上的數(shù)的差是1），10與被除數(shù)的末尾的數(shù)字的差是多少，一直就寫到這個(gè)數(shù)為止，依此填空。【詳解】111105÷9，被除數(shù)末尾的數(shù)字是5，10－5＝5，因此111105÷9＝12345；【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)算式的規(guī)律求商，要熟練掌握。3．88884【分析】根據(jù)前三道算式的結(jié)果可知：乘積的末尾的數(shù)字與第一個(gè)因數(shù)的末位數(shù)字之和是10，乘積中除末尾的數(shù)字其它都是8，8的個(gè)數(shù)和第一個(gè)因數(shù)的位數(shù)相同，并且第一個(gè)因數(shù)由9、8、7、6……依次遞增?！驹斀狻?×9＝8198×9＝882987×9＝88839876×9＝88884【點(diǎn)睛】仔細(xì)觀察前三道算式，找出特點(diǎn)或規(guī)律是解題的關(guān)鍵。4．1234567927777777777【詳解】略5．(1)122(2)26×26－24×24【分析】（1）3×3－1×1＝4×2、4×4－2×2＝6×2、5×5－3×3＝8×2這3道算式都是把乘減算式改寫成幾乘2的形式，乘減算式中減號(hào)前后都是相同的數(shù)相乘且減號(hào)前后的乘數(shù)相差2，改寫成幾乘2的形式時(shí)，幾是這兩個(gè)乘數(shù)的和。據(jù)此解答即可。（2）根據(jù)這個(gè)規(guī)律得數(shù)是100的算式改寫成幾乘2的形式是50×2，乘減算式中減號(hào)前后都是相同的數(shù)相乘且減號(hào)前后的乘數(shù)相差2，26＋24＝50，減號(hào)前是26與26相乘，減號(hào)后是24與24相乘?！驹斀狻浚?）7×7－5×5＝（7＋5）×2＝12×2根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)填空：7×7－5×5＝（12）×（2）。（2）26×26－24×24＝（26＋24）×2＝50×2＝100請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫一道得數(shù)是100的算式（26×26－24×24）。【點(diǎn)睛】本題主要考查式的規(guī)律，解答此題關(guān)鍵是通過前面算式找到規(guī)律。6．8888088888801398615984【分析】第一組算式是乘減算式，第二個(gè)乘數(shù)都是9，第一個(gè)乘數(shù)從高位起依次遞減1，第一個(gè)乘數(shù)是幾位數(shù)，減數(shù)就是幾，減數(shù)是幾，得數(shù)中的8就有幾個(gè)。第二組算式中第一個(gè)乘數(shù)都是999，第二個(gè)乘數(shù)依次遞加1，積的前兩位是第二個(gè)乘數(shù)減1，積的后三位是從989開始依次遞減1。【詳解】9×9－1＝8098×9－2＝880987×9－3＝88809876×9－4＝（88880）987654×9－6＝（8888880）999×11＝10989999×12＝11988999×13＝12987999×14＝（13986）999×16＝（15984）【點(diǎn)睛】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。7．100【分析】觀察這組算式，從1開始相差2的幾個(gè)數(shù)相加，和是加數(shù)的個(gè)數(shù)乘加數(shù)的個(gè)數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?＋3＋5＋7＋9＋…＋19是10個(gè)數(shù)相加，則和是10×10＝100。則1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝100?！军c(diǎn)睛】根據(jù)已知的算式得出前后算式之間的變化關(guān)系和規(guī)律，然后利用這個(gè)變化規(guī)律解決問題。8．63【分析】根據(jù)觀察可知：，可看作；，可看作；，可看作；，可看作。則143乘一個(gè)數(shù)與7的乘積，求得的積為四位數(shù)，千位和個(gè)位均為這個(gè)數(shù)，百位和十位均為0。【詳解】，即?！军c(diǎn)睛】根據(jù)已知的算式得出算式之間的變化關(guān)系和規(guī)律，然后利用這個(gè)變化規(guī)律解決問題。9．5111110912345678911111111091222221111111111【詳解】略10．4444.2222【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，若第一個(gè)因數(shù)小數(shù)點(diǎn)右邊有（n－1）個(gè)6，第二個(gè)因數(shù)小數(shù)點(diǎn)左邊有（n－1）個(gè)6，（n＝1，2，3，…），則積的小數(shù)點(diǎn)左邊有n個(gè)4，積的小數(shù)點(diǎn)右邊有n個(gè)2，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?444.2222【點(diǎn)睛】對(duì)于這樣的題目，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析，探索出規(guī)律。11．111111.1123456780.9【分析】觀察已知算式可知，算式由從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的幾位數(shù)乘0.9，再分別加上一位小數(shù)0.1、0.2……，結(jié)果都是1組成的一位小數(shù)，并且得數(shù)的整數(shù)位數(shù)與幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的整數(shù)位數(shù)相等，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?23456×0.9＋0.7＝111111.1；12345678×0.9＋0.9＝11111111.1【點(diǎn)睛】認(rèn)真觀察已知算式，找到規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵。12．666666333333【分析】觀察這組算式，第一個(gè)因數(shù)均是37037，第二個(gè)因數(shù)依次是3、12、21。乘積依次是111111，444444，777777。則第二個(gè)因數(shù)是3的幾倍，乘積就是111111的幾倍。據(jù)此解答即可。【詳解】37037×18＝666666

37037×9＝333333【點(diǎn)睛】根據(jù)已知的算式得出算式之間的變化關(guān)系和規(guī)律，然后利用這個(gè)變化規(guī)律解決問題。13．34×55555＝1888870【分析】認(rèn)真觀察各個(gè)算式發(fā)現(xiàn)：各個(gè)算式，每增加一個(gè)5，結(jié)果就在1和7之間多增加一個(gè)8，根據(jù)這一規(guī)律直接將后面的算式計(jì)算出結(jié)果即可。【詳解】34×55＝187034×555＝1887034×555＝188870下一個(gè)等式是：34×55555＝1888870【點(diǎn)睛】根據(jù)上面算式的結(jié)果找出規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵。14．25【詳解】試題分析：根據(jù)圖可知：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，由此得出：從1開始的連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)相加，是幾個(gè)數(shù)相加，則和等于幾的平方；由此即可得出：1+3+5+7+9=52．解：1=1，1+3=22，1+3+5=32，…，則1+3+5+7+9=52=25；故答案為25．15．5111100123456711111100【分析】這是一組乘減算式，第一個(gè)乘數(shù)按照1，2，3，4，5，6……9的順序增加一個(gè)數(shù)位，減數(shù)按照8，7，6……0的順序遞減，第二個(gè)乘數(shù)是9保持不變，得數(shù)的最后兩位是0，前幾位隨著第一個(gè)乘數(shù)和減數(shù)的變化而在最高位不斷增加一個(gè)數(shù)位，且值為1?！驹斀狻?2×9－8＝100123×9－7＝11001234×9－6＝1110012345×9－（5）＝111100（1234567×9）－3＝11111100【點(diǎn)睛】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。16．666666666669【分析】第一個(gè)因數(shù)中有幾個(gè)6，積中就有幾個(gè)4和幾個(gè)5，所得結(jié)果中間是5，兩邊是4，其中最右邊只有一個(gè)，剩下的在左邊，由此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可得：666666×666669＝444445555554【點(diǎn)睛】本題考查算式的規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵。17．1827364999955999994【解析】略18．491+2+3+4+3+2+1=162500【詳解】略19．63127512【分析】連加算式的第一個(gè)加數(shù)都是1，后面的每一個(gè)加數(shù)都是前面一個(gè)加數(shù)的2倍，不難發(fā)現(xiàn)：這樣的連加算式都可以用最后一個(gè)加數(shù)乘2減1來計(jì)算。【詳解】根據(jù)分析得：1＋2＋4＋8＋16＋32＝2×32－1＝63；1＋2＋4＋…＋64＝2×64－1＝127；1＋2＋4＋…＋512＝2×512－1＝1023?！军c(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)之間的特征，推理出轉(zhuǎn)化的規(guī)律。20．1234【分析】括號(hào)里的被減數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是2（被減數(shù)最少是兩位數(shù)），減去被減數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，再除以18，結(jié)果的最高位上是1，相鄰的后面數(shù)位上的數(shù)比前面數(shù)位上的數(shù)大1，結(jié)果的位數(shù)比被減數(shù)的位數(shù)少1，據(jù)此即可解答?！驹斀狻扛鶕?jù)（22－4）÷18＝1，（222－6）÷18＝12，（2222－8）÷18＝123，可得出（22222－10）÷18＝1234。【點(diǎn)睛】找算式的規(guī)律，本題主要考查學(xué)生的分析推理能力。21．49958【分析】通過觀察給出的例子，發(fā)現(xiàn)：一個(gè)因數(shù)是999，另一個(gè)因數(shù)為a時(shí)，得數(shù)中的最高位就是a－1，中間兩個(gè)數(shù)字都是99，最低位數(shù)字分別是a×9的個(gè)位數(shù)字。據(jù)此解答?！驹斀狻?99×5＝4995999×8＝7992故答案為4995，7992。22．987654100000001111111121000000000【分析】縱觀各式，都是乘、加混合運(yùn)算，第一個(gè)因數(shù)分別是9、98、987…，第二個(gè)因數(shù)都是9，加數(shù)分別是19、118、1117（即第一個(gè)因數(shù)多一位，除最低位外，其余位上都是1，所有位上的數(shù)字之和是10），計(jì)算結(jié)結(jié)果都分別是100、1000、10000（最高位是1，其余位上都是0，0的個(gè)數(shù)與加數(shù)的位數(shù)相同），根據(jù)這一規(guī)律還可以算出算式?！驹斀狻?×9＋19＝10098×9＋118＝1000987×9＋1117＝10000……987654×9＋1111114＝1000000098765432×9＋111111112＝1000000000【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是找規(guī)律，只要找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律寫出最后一個(gè)算式的得數(shù)就容易了。23．189288938889488889654321588888976543216888888987654321788888889【詳解】先用計(jì)算器計(jì)算前四道算式結(jié)果，我們就可以找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律我們可以算出后面的題目。24．594035【分析】觀察算式可知，相鄰兩個(gè)數(shù)平方之差等于這兩個(gè)數(shù)的和，據(jù)此填空?！驹斀狻?0＋29＝59；2018＋2017＝4035【點(diǎn)睛】認(rèn)真觀察前幾個(gè)算式，找出結(jié)果與式子之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵。25．999799960003【分析】第一個(gè)因數(shù)數(shù)字全是9，第幾個(gè)算式，就有幾個(gè)9，第二個(gè)因數(shù)的位數(shù)與第一個(gè)因數(shù)相同，個(gè)位數(shù)字是7其余數(shù)字是9，積中從高位到低位9的個(gè)數(shù)與第二個(gè)因數(shù)