87均值與方差在生活中的運(yùn)用（基礎(chǔ)）（原卷版）

8.7均值與方差在生活中的運(yùn)用（基礎(chǔ)）1．（2021·貴州高三一模（理））2020年遵義市高中生詩詞大賽如期舉行，甲、乙兩校進(jìn)入最后決賽的第一環(huán)節(jié)．現(xiàn)從全市高中老師中聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了第一環(huán)節(jié)的比賽方案：甲、乙兩校從6道不同的題目中隨機(jī)抽取3道分別作答，已知這6個(gè)問題中，甲校選手只能正確作答其中的4道，乙校選手正確作答每道題目的概率均為，甲、乙兩校對(duì)每道題的作答都是相互獨(dú)立，互不影響的．（1）求甲、乙兩?？偣舱_作答2道題目的概率；（2）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩校哪所學(xué)校獲得第一環(huán)節(jié)勝利的可能性更大？2．（2021·河北滄州·）在我國(guó)，月日的月日數(shù)恰好與火警號(hào)碼相同，而且這一天前后，正值風(fēng)干物燥、火災(zāi)多發(fā)之際，全國(guó)各地都在緊鑼密鼓地開展冬季防火工作，為增加全民的消防安全意識(shí)，于年發(fā)起，公安部將每年的月日定為全國(guó)的“消防日”．為切實(shí)提高中學(xué)生消防安全知識(shí)，增強(qiáng)火災(zāi)的應(yīng)對(duì)能力，某市特舉辦以“消防安全進(jìn)萬家，平安相伴你我他”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙同學(xué)將代表學(xué)校參加．為取得好成績(jī)，二人在消防知識(shí)題庫(kù)中各隨機(jī)選取題練習(xí)，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)得分，練習(xí)結(jié)果甲得分，乙得分．若以二人練習(xí)中答題正確的頻率作為競(jìng)賽答題正確的概率，回答下列問題．競(jìng)賽第一環(huán)節(jié)，要求甲乙二人各選兩題做答，每題答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；第二環(huán)節(jié)中，要求二人自選兩道題或四道題做答，要求一半及一半以上正確才能過關(guān)，那么甲乙二人怎樣選擇，各自過關(guān)的可能性較大．3．（2021·廣東羅湖·深圳第三高中高三月考）某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步籃兩個(gè)項(xiàng)目.每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步籃考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為0.8，三步籃考核合格的概率為0.7，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無關(guān).（1）若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說明理由.4．（2021·河北高三月考）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，在10天中，甲、乙機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)如下表所示：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101（1）若從這10天中隨機(jī)選取1天，設(shè)甲機(jī)床這天生產(chǎn)的次品數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知丙機(jī)床這10天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為，方差為．以平均數(shù)和方差為依據(jù)，若要從這三臺(tái)機(jī)床中淘汰一臺(tái)，你應(yīng)該怎么選擇？這三臺(tái)機(jī)床你認(rèn)為哪臺(tái)性能最好？5．（2021·廣東揭陽·高三模擬預(yù)測(cè)）小田開小汽車上班的道路要經(jīng)過5個(gè)紅綠燈路口，若小田到達(dá)每一個(gè)路口是相互獨(dú)立的，到達(dá)每一個(gè)路口遇到紅燈的概率都為，遇到綠燈的概率都為.（1）若小田從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要5分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為2分鐘，求小田從出門到辦公室的時(shí)間的平均值；（2）小田騎電動(dòng)車上班的道路只要經(jīng)過3個(gè)紅綠燈路口(只有紅燈或綠燈)，隨機(jī)到達(dá)第一個(gè)路口遇到紅燈?綠燈的概率都為，一個(gè)路口遇到紅燈時(shí)下一個(gè)路口遇到紅燈和一個(gè)路口遇到綠燈時(shí)下一個(gè)路口遇到綠燈的概率都為，求小田遇到紅燈個(gè)數(shù)的平均值；（3）若小田騎電動(dòng)車走道路，從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要4分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為5分鐘.從時(shí)間來考慮，請(qǐng)問小田上班是開小汽車好，還是騎電動(dòng)車好？6．（2021·甘肅靖遠(yuǎn)·高三模擬預(yù)測(cè)（理））隨著移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展，人們的生活發(fā)生了很大變化，其中在購(gòu)物時(shí)利用中的支付寶?微信等APP軟件進(jìn)行掃碼支付也日漸流行開來.某商場(chǎng)對(duì)近幾年顧客使用掃碼支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：年份20162017201820192020年份代碼x12345使用掃碼支付的人次y(單位：萬人)512161921（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關(guān)系滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：，通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性.設(shè)，利用與x的相關(guān)性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程，并估計(jì)2021年該商場(chǎng)使用掃碼支付的人次；（2）為提升銷售業(yè)績(jī)，該商場(chǎng)近期推出兩種付款方案：方案一：使用現(xiàn)金支付，每滿200元可參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)方法如下：在抽獎(jiǎng)箱里有8個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球有3個(gè)，黑球有5個(gè))，顧客從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出3個(gè)球，若摸到3個(gè)紅球，則打7折；若摸出2個(gè)紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時(shí)系統(tǒng)自動(dòng)對(duì)購(gòu)物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，采用掃碼支付時(shí)有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受立減10元優(yōu)惠.若小張?jiān)诨顒?dòng)期間恰好購(gòu)買了總價(jià)為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時(shí)實(shí)際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個(gè)方案更劃算？附：最小二乘法估計(jì)公式：經(jīng)過點(diǎn)的回歸直線為相關(guān)數(shù)據(jù)：(其中.7．（2021·河北高三模擬預(yù)測(cè)）某市甲?乙兩個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場(chǎng)份額，推向國(guó)內(nèi)外，創(chuàng)造更高的收益，準(zhǔn)備從甲?乙兩個(gè)企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會(huì).現(xiàn)從甲?乙兩個(gè)企業(yè)中各隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：甲9089938791乙9189908892規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為“優(yōu)質(zhì)品”，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體，頻率作為概率，求解以下問題：（1）若從甲?乙兩個(gè)企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出2件去參加2021年的廣交會(huì)，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機(jī)取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；（3）若兩個(gè)企業(yè)中只能選一個(gè)企業(yè)參加這次廣交會(huì)，如果你是該市貿(mào)易部門的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性方面考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)企業(yè)？8．（2021·廣州市第一中學(xué)高三月考）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.9．（2021·深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)高三月考）某產(chǎn)品每件成本元，買方收貨前要進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)方案規(guī)定：每件產(chǎn)品隨機(jī)檢測(cè)件，若合格，按一等品付款，每件售價(jià)元；若檢測(cè)到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機(jī)檢測(cè)件，若合格則按一等品付款，每件售價(jià)元；若仍然檢測(cè)到次品，按二等品付款，每件售價(jià)元.檢測(cè)后的合格品需要重新包裝，每件需花費(fèi)元；次品不再出售.若出售后發(fā)現(xiàn)一件一等品為次品需換貨并支付售價(jià)的倍賠款；根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該產(chǎn)品的次品率為（按每件有件次品計(jì)算）.（1）求該產(chǎn)品檢測(cè)為一等品的概率；（2）為加大檢測(cè)力度，質(zhì)檢部門提出新的檢測(cè)方案：每件產(chǎn)品隨機(jī)檢測(cè)件，若全部合格，按一等品付款；若檢測(cè)到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機(jī)檢測(cè)件，若全部合格按一等品付款；若仍然檢測(cè)到次品，按二等品付款.根據(jù)件產(chǎn)品凈利潤(rùn)，試比較原檢測(cè)方案合理還是新檢測(cè)方案合理.10．（2021·合肥市第六中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)（理））高一某學(xué)生參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，本次考試共有道選擇題組成.得分規(guī)定：做對(duì)一道題得分，做錯(cuò)一道題得分，不做得分，分及格.該學(xué)生的目標(biāo)至少得分，且確定該學(xué)生前道題的均正確，而剩下的道題每道題做對(duì)的概率均為.（1）若該學(xué)生道題全都做，求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）該學(xué)生做多少道題時(shí)及格的概率最大？11．（2021·沙坪壩·重慶八中高三模擬預(yù)測(cè)）某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了兩種摸球活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)方案．先制作一個(gè)不透明的盒子，里面放有形狀大小完全相同的4個(gè)白球和2個(gè)紅球．方案一：不放回地從盒子中逐個(gè)摸球，消費(fèi)金額每滿300元摸一次，最終根據(jù)顧客摸到的紅球個(gè)數(shù)發(fā)放獎(jiǎng)金，如表格所示．紅球個(gè)數(shù)012獎(jiǎng)金0元30元75元方案二：可放回地從盒子中逐個(gè)摸球，消費(fèi)金額每滿200元摸一次，每摸到一個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)15元．（1）若顧客甲消費(fèi)的金額為600元，且選擇了方案一，求甲獲得獎(jiǎng)金數(shù)為30元的概率；（2）若顧客乙消費(fèi)的金額為800元，但他可以在摸出第一個(gè)球后，根據(jù)所摸出球的顏色，再?zèng)Q定執(zhí)行方案一或方案二繼續(xù)摸球．請(qǐng)從獎(jiǎng)金數(shù)期望最大的角度為顧客乙制定第一次摸球后的方案選擇，并說明理由．12．（2021·山東濰坊·高三三模）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行，其中冰壺比賽項(xiàng)目是本屆奧運(yùn)會(huì)的正式比賽項(xiàng)目之一，1998年中國(guó)女子冰壺隊(duì)第一次參加奧運(yùn)會(huì)冰壺比賽就獲得了銅牌．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)．某學(xué)校冰壺隊(duì)舉行冰壺投擲測(cè)試，規(guī)則為：①每人至多投3次，先在點(diǎn)處投第一次，冰壺進(jìn)入營(yíng)壘區(qū)得3分，未進(jìn)營(yíng)壘區(qū)不得分；②自第二次投擲開始均在點(diǎn)處投擲冰壺，冰壺進(jìn)入營(yíng)壘區(qū)得2分，未進(jìn)營(yíng)壘區(qū)不得分；③測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過測(cè)試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結(jié)果互不影響．（1）求甲通過測(cè)試的概率；（2）設(shè)為本次測(cè)試中乙的得分，求的分布列；（3）請(qǐng)根據(jù)測(cè)試結(jié)果來分析，甲，乙兩人誰的水平較高？13．（2021·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則，已知完成各工序所需時(shí)長(zhǎng)(小時(shí))如下表：原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）14．（2021·中區(qū)·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三一模）2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時(shí)的聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會(huì)提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復(fù)．記某同學(xué)第天選擇類套餐的概率為．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇類套餐的人數(shù)為，求的分布列并求；（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐．如果你是組長(zhǎng)，如何安排分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．15．（2021·山西太原·高三一模（理））某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平．為此該地區(qū)旅游部門，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表．滿意度老年人中年人青年人報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？（2）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機(jī)抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？16．（2021·遼寧朝陽·高三一模）選手甲分別與乙、丙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果甲、乙比賽，那么每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，如果甲、丙比賽，那么每局比賽甲、丙獲勝的概率均為．（1）若采用局勝制，兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率分別是多少？（2）若采用局勝制，兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率分別是多少？你能否據(jù)此說明賽制與選手實(shí)力對(duì)比賽結(jié)果的影響？17（2021·河南高三月考（文））某果園新采摘了一批蘋果，從中隨機(jī)抽取個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），將重量按照，，，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（1）估計(jì)這批蘋果的重量的平均數(shù)．（2）該果園準(zhǔn)備把這批蘋果銷售給一家超市，據(jù)市場(chǎng)行情，有兩種銷售方案：方案一：所有蘋果混在一起，價(jià)格為元/千克；方案二：將不同重量的蘋果分開，重量不小于克的蘋果的價(jià)格為元/千克，重量小于克的蘋果的價(jià)格為元/千克，但果園需支付每個(gè)蘋果元的分揀費(fèi)．分別估計(jì)并比較兩種方案下果園銷售個(gè)蘋果的收入．18．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考）某單位規(guī)定每位員工每年至少參加兩項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試，測(cè)