631平面向量基本定理精講

6.3.1平面向量基本定理(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:對基底的理解題型2：用基底表示向量題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)題型4：平面向量基本定理的綜合應用題型5：運用平面向量基本定理解決證明問題三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量,有且只有一對實數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.（2）對平面向量基本定理的理解(1)這個定理告訴我們,平面內任意兩個不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內的任一向量都可用該組基底唯一表示.(2)對于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.(3)同一個非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.(4)這個定理可推廣為:平面內任意三個不共線的向量中,任何一個向量都可表示例示為其余兩個向量的線性組合,且形式唯一.知識點2：平面向量基本定理的有關結論（1）設,是平面內一組基底，若，當時，與共線；當時，與共線；當時，，同樣的時，.（2）設是同一平面內的兩個不共線的向量，若，則.二、重點題型分類研究題型1:對基底的理解典型例題例題1．（2022·全國·高一假期作業(yè)）若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】對于A，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，A不選；對于B，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，B不選；對于C，假設存在實數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C例題2．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學?？茧A段練習）已知，是平面內一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【詳解】A選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D例題3．（多選）（2022秋·廣東韶關·高一?？计谥校┮阎蛄?、不共線，則下列各組向量中，能作平面向量的一組基底的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因為向量、不共線，對于A選項，設、共線，可設，可得出，無解，所以，、不共線，A中的向量能作基底，同理可知CD選項中的向量也可作平面向量的基底，對于B選項，因為，所以，所以不能作平面向量的基底．故選：ACD.同類題型演練1．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學校校考開學考試）如果表示平面內所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據平面基底的定義知，向量為不共線非零向量，即不存在實數(shù)，使得，對于A中，向量和，不存在實數(shù)，使得，可以作為一個基地；對于B中，向量和，假設存在實數(shù)，使得，可得，此時方程組無解，所以和可以作為基底；對于C中，向量和，假設存在實數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對于D中，向量和，假設存在實數(shù)，使得，可得，此時方程組無解，所以和可以作為基底；故選：C.2．（2022·高一課時練習）設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【詳解】∵，是平面內的一組基底，∴，不共線，而，則根據向量共線定理可得，與共線，根據基底的定義可知，選項D不符合題意.其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.3．（多選）（2022·高一課時練習）已知是平面內的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】ABD【詳解】解：對于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；對于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；對于C，，故不能作為一組基底，故C錯誤；對于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.故選:ABD.題型2：用基底表示向量典型例題例題1．（2022春·廣東江門·高二臺山市第一中學期中）在中，為邊上的中線，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為邊上的中線，所以，因為為的中點，所以可得，故選：A例題2．（2022秋·四川綿陽·高一?？计谀┰谥?，點在邊上，且.設，，則可用基底，表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以.所以故選：C例題3．（多選）（2022·浙江·模擬預測）如圖，已知，點，滿足，，與交于點，交于點，.則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】三點共線，設，三點共線，設，A選項：，，∴，解得，，所以A選項錯誤；B選項：由，得，三點共線，則，即，得，即，有，得，所以B選項正確；C選項：，所以C選項正確；D選項：，所以D選項錯誤.故選：BC同類題型演練1．（2022春·福建·高三階段練習）在中，點在邊上，.記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為點在邊上，，所以，即，所以.故選:B.2．（2022春·貴州遵義·高三遵義市南白中學校考階段練習）在中，點在邊上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，故選：B3．（2022春·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期中）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題可得圖，如下：則，又為邊上的中線所以，則.故選：D.4．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，故，故，故選：A.題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）點為內一點，若，設，則實數(shù)和的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】如圖所示，延長交于，顯然，由面積關系可得，所以，而，所以，所以，即，又由題可知，所以，所以，整理得，所以，故選：A例題2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接交于點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設則顯然得顯然因為所以有即根據向量的性質可知解得故選：C例題3．（2022春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校聯(lián)考階段練習）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有∵三點共線，則又∵三點共線，則∴，解得即則∴，即故選：A.例題4．（2022春·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）中，，若，則___________．【答案】【詳解】，，即．.故答案為：.例題5．（2022·高一單元測試）如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】##【詳解】因為，所以為的中點，因為是的中點，所以，所以,因為，所以，故答案為：同類題型演練1．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期中）中，D為BC中點，，AD交BE于P點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為D為BC中點，所以，因為，所以，因為三點共線，所以設，即，整理得：，令，則，則，其中，因為，所以，故，因為，所以，又，解得：故選：C.2．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）在中，為邊的中點，在邊上，且，與交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有：∵三點共線，則，又∵三點共線，且為邊的中點，則，∴，解得，即.∵，∴，則.故選：A.3．（2022秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）在中，點D在邊AB的延長線上，，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因為點D在邊AB的延長線上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故選：B4．（2022秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點為上的點，且，若，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【詳解】由題意得，所以，所以.故選：C5．（2022春·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點，G為線段EF上一點，且滿足，則m=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，為的中點，，，因為、、三點共線，設，又，，解得．故選：A．6．（2022春·廣東廣州·高三廣州市第五中學?？茧A段練習）在中，是邊上的點，且，設，則___________.【答案】【詳解】由題，是邊上的點，且，，∴故答案為：6．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在梯形中，，且，設.(1)試用和表示；(2)若點滿足，且三點共線，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，，，，則整理得：．（2）解：，，三點共線，．，，，又．．，解得，．．題型4：平面向量基本定理的綜合應用典型例題例題1．（2022春·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習）銳角三角形中，為邊上一動點（不含端點），點滿足，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】依題意，設，則，所以，所以，當且僅當時等號成立.故選：D例題2．（2022春·江蘇南通·高三開學考試）在中，，，過的外心的直線(不經過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為中，，由余弦定理可得，即，且，設，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因為，，所以，因為三點共線，可得，因為，所以，所以，同理可得，所以所以，設，可得，令，可得，令，解得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當時，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.例題3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在中，為線段上一點，且，為線段的中點，過點的直線分別交直線，于，兩點，，，則的最小值為_______【答案】【詳解】因為，所以，即，又因為G為線段AO的中點，所以，因為，，所以，因為D、G、E三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號．故答案為：．同類題型演練1．（2022秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，，過點O的直線分別交直線于M，N兩個不同的點，若，其中m，n為實數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】C【詳解】三點共線即故的最小值為.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）設點P在內且為的外心，，如圖.若的面積分別為，x，y，則的最大值是________.【答案】##【詳解】根據奔馳定理得，，即，平方得，又因為點P是的外心，所以，且，所以，，解得，當且僅當時取等號.所以.故答案為：.3．（2022春·遼寧沈陽·高三沈陽市第四十中學校聯(lián)考期中）在中，點是邊上（不包含頂點）的動點，若，則的最小值______.【答案】##【詳解】如圖，可知x，y均為正，且，，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為.故答案為：.4．（2022秋·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點，設為中間小正方形內一點（不含邊界）.若，則的取值范圍為__________.【答案】【詳解】過點作，分別交于點，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，如圖，由可知，點在線段上運動（不含端點）.當點與點重合時，，可知.當點與點重合時，，可知.故的取值范圍為.故答案為：題型5：運用平面向量基本定理解決證明問題典型例題例題1．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀┤鐖D所示，在中，在線段上，滿足，是線段的中點．(1)延長交于點Q（圖1），求的值；(2)過點的直線與邊，分別交于點，（圖2），設，．（i）求證為定值；（ii）設的面積為，的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）依題意，因為，所以，因為是線段的中點，所以，設，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以，所以；（2）（i）根據題意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，化簡得，即為定值，且定值為3；（ii）根據題意，，，所以，由（i）可知，則，所以，易知，當時，有最小值，此時.例題2．（2022秋·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習）（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）已知G是的重心，，過點作直線交、邊分別于點、點，設，，證明：是定值．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1），因為，所以，所以，，所以值域為，所以的值域為.（2）因為G是重心，所以又因為三點共線，所以聯(lián)立，得所以，兩邊乘以3得，，所以是定值.同類題型演練1．（2022春·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習）已知M，P，N是平面上不同的三點，點A是此平面上任意一點，則“M，P，N三點共線”的充要條件是“存在實數(shù)，使得”．此結論往往稱為向量的爪子模型．(1)給出這個結論的證明；(2)在的邊、上分別取點E、F，使，，連結、交于點G．設，．利用上述結論，求出用、表示向量的表達式．【答案】(1)證明見解析(2)（1）先證充分性．若，則，，即，，故M，P，N三點共線．再證必要性．若M，P，N三點共線，則存在實數(shù)，使得，即，，故．綜上知，結論成立．（2）利用A，G，F(xiàn)和B，G，E共線的充要條件，存在實數(shù)，使得則，解得．故．2．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點M．設，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點E，在線段BD上取點F，使EF過點M，設，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為5.（1）設，由A，M，D三點共線，可知存在（，且），使得，則，因為，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三點共線，可知存在（，且），使得，則，又，所以，由平面向量基本定理得即，②由①②得，，故；（2）由于E，M，F(xiàn)三點共線，則存在實數(shù)（，且）使得，即，于是，又，，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故為定值，該定值為5.三、高考（模擬）題體驗1．（2022·河南·統(tǒng)考一模）在中，是的中點，是的中點，若，則（

）A． B．