專題10概率（重難點突破）

專題10概率一、考情分析二、考點梳理考點一、條件概率1.條件概率一般地,當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=P(2.概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱上式為概率的乘法公式（multiplicationformula）.3.條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設P（A）>0，則（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是兩個互斥事件，則P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）；（3）設B和B互為對立事件，則P（B

|A）=1?考點二、全概率公式1.全概率公式一般地,設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)我們稱上面的公式為全概率公式．2.*貝葉斯公式：

三、題型突破重難點題型突破1條件概率（1）、（2022·全國·高二課時練習）已知表示在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由條件概率的計算公式可得.【詳解】根據(jù)條件概率的計算公式知.故選：D（2）．（2022·全國·模擬預測）（多選題）有兩個箱子，第1個箱子有3個白球，2個紅球，第2個箱子有4個白球，4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中隨機取1個球放到第1個箱子里，則下列判斷正確的是（

）A．從第2個箱子里取出的球是白球的概率為B．從第2個箱子里取出的球是紅球的概率為C．從第2個箱子里取出的球是白球前提下，則再從第1個箱子里取出的是白球的概率為D．兩次取出的球顏色不同的概率為【答案】ABC【解析】【分析】對于ABD，根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式求解，對于C，根據(jù)條件概率的公式求解即可【詳解】從第2個箱子里取出的球是白球的概率為，故選項A正確；從第2個箱子里取出的球是紅球的概率為，故選項B正確；設從第2個箱子取出的球是白球為事件，再從第1個箱子取出的球是白球為事件，則，故選項C正確；兩次取出的球顏色不同的概率為，故選項D錯誤，故選：ABC.【變式訓練11】、（2022·全國·模擬預測）從3個“0”和3個“1”中任選3個組成三位數(shù)組，若用A表示“第二位數(shù)字為‘0’的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事件”，則等于（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由條件概率的計算公式即可求解.【詳解】解：由“0”“1”組成的三位數(shù)組共有（個），第一位數(shù)字為“0”的三位數(shù)組有（個），則，第一位和第二位數(shù)字均為“0”的三位數(shù)組有2個，則，所以.故選：C.【變式訓練12】、（2022·湖南株洲·一模）（多選題）甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結論正確的是（

）A．、為對立事件 B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.【詳解】因為甲罐中只有紅球和白球，所以A正確；當發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時B發(fā)生的概率為，故B正確；當發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時B發(fā)生的概率為，故D不正確；，故C不正確.故選：AB例2、（2022·湖南·高二課時練習）拋擲紅、藍兩顆骰子，記事件A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率；(2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】先求出所有可能的事件的總數(shù)，及事件，事件，事件包含的基本事件個數(shù)，代入條件概率計算公式，可得答案．(1)解：拋擲紅、藍兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，（A），由于，，，，所以事件的基本事件數(shù)為，（B），事件同時發(fā)生的概率為，，由條件概率公式，得；(2)解：由（1）得．【變式訓練21】、（2022·山東德州·高二期末）已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．(1)現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；(2)現(xiàn)從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.(1)記隨機抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．(2)記事件B為購買的電器合格，記隨機買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機購買一臺電器，買到的是合格品的概率為．重難點題型突破2全概率公式例3.（1）、（2021·全國·高一專題練習）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進行抽樣檢驗，從每批中隨機取出10件來檢驗，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認為該批產(chǎn)品不合格，則一批產(chǎn)品通過檢驗的概率為（

）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652【答案】A【解析】【分析】利用條件概率以及全概率計算公式即可求解.【詳解】以Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通過檢驗，則由題意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故選：A（2）．（2021·全國·高二課時練習）袋中裝有編號為1，2，…，N的N個球，先從袋中任取一球，如該球不是1號球就放回袋中，是1號球就不放回，然后再摸一次，則取到2號球的概率為________．【答案】【解析】【分析】設A＝“第一次取到1號球”，則＝“第一次取到的是非1號球”；B＝“最后取到的是2號球”，分別求出P(A)，P()，且P(B|A)，P(B|)，再根據(jù)全概率公式即可得解.【詳解】解：設A＝“第一次取到1號球”，則＝“第一次取到的是非1號球”；B＝“最后取到的是2號球”，顯然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.故答案為：（3）．（2021·全國·高二課時練習）已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率是0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率是0.05，則在檢查后認為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率為________．(精確到0.001)【答案】0.998【解析】【分析】根據(jù)全概率公式進行求解即可.【詳解】設A＝任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品，B＝任取一產(chǎn)品確是合格品，則A＝BA＋AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.9428，故所求概率為：P(B|A)＝.故答案為：0.998【變式訓練31】、（2021·全國·高二課時練習）設有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)，而且各廠的次品率依次為2%，2%，4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為（

）A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125【答案】A【解析】【分析】利用全概率計算公式即可求解.【詳解】設A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，B表示次品，則P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故選：A．【變式訓練32】、（2021·全國·高一專題練習）（多選題）在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則（

）A．任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B．病人有癥狀S時患疾病D1的概率為0.4C．病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45D．病人有癥狀S時患疾病D3的概率為0.25【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結果.【詳解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由貝葉斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故選：ABC例4．（2022·全國·高二課時練習）學生在做一道有4個選項的選擇題時，如果他不知道問題的正確答案，就做隨機猜測．現(xiàn)從卷面上看題是答對了，試在以下情況下求學生確實知道正確答案的概率．（1）學生知道正確答案和胡亂猜想的概率都是；（2）學生知道正確答案的概率是0.2．【答案】（1）0.8；（2）0.5.【解析】【分析】記事件A為“題答對了”，事件為“知道正確答案”，根據(jù)題意求得，，（1）此時有，由貝葉斯公式即可得出答案；（2）此時有，，由貝葉斯公式即可得出答案.【詳解】解：記事件A為“題答對了”，事件為“知道正確答案”，則按題意有，．（1）此時有，所以由貝葉斯公式得．（2）此時有，，所以由貝葉斯公式得．【變式訓練41】、（2021·全國·高二課時練習）設甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分別為，，．現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人，假設每個人來自三個地區(qū)的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用貝葉斯概率公式可得，即可求概率.【詳解】（1）由題意，所抽取的人感染此病的概率.（2）若分別表示來自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件，∴此人感染此病且來自乙地區(qū)的概率.【變式訓練42】、（2021·全國·高二課時練習）壇子里放著5個相同大小，相同形狀的咸鴨蛋，其中有3個是綠皮的，2個是白皮的．如果不放回地依次拿出2個鴨蛋，求：(1)第一次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】設第一次拿出綠皮鴨蛋為事件，第2次拿到綠皮鴨蛋為事件，則第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋為事件，（1）從5個鴨蛋不放回地依次拿出2個鴨蛋基本事件數(shù)為，，由古典概型可得結果；（2）求得，利用古典概型求解即可；（3）利用（1）、（2），根據(jù)條件概率公式可得結果.【詳解】設第一次拿出綠皮鴨蛋為事件，第2次拿到綠皮鴨蛋為事件，則第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋為事件，（1）從5個鴨蛋不放回地依次拿出2個鴨蛋基本事件數(shù)為，，（2）因為，所以，（3）由（1）（2）可得，在第一次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第二次拿出綠皮鴨蛋的概率為.

四、課堂訓練（30分鐘）1．（2022·山東菏澤·一模）第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳A、人工餐廳B，運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據(jù)題意得：，，，則.故選：A.2．（2022·安徽亳州·高二期末）某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為（

）A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可求出．【詳解】隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為0.0248．故選：C．3．（2022·全國·高二課時練習）設有來自三個地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報名表，其中女生報名表分別為3份、7份和5份，隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后取出兩份，則先取到的一份為女生表的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】【詳解】設A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i個地區(qū)的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.4．（2021·全國·高二課前預習）已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機選一人，則此人恰是色盲的概率是（

）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02625 D．0.02865【答案】C【解析】【分析】【詳解】用事件A，B分別表示隨機選一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.02625.5．（2022·全國·高二課時練習）有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是（

）A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003【答案】A【解析】【分析】設事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解【詳解】設事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3，則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.故選：A6．（2022·全國·高二課時練習）一道考題有4個，要求學生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為．在亂猜時，4個都有機會被他選擇，如果他答對了，則他確實知道正確的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式，結合貝葉斯公式進行求解即可.【詳解】[設A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確”，由全概率公式：．又由貝葉斯公式：．故選：B7．（2021·全國·高一專題練習）已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為（

）(設男子和女子的人數(shù)相等)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設“男子”，“女子”，“這人有色盲”，分別求得,結合公式，即可求解.【詳解】設“男子”，“女子”，“這人有色盲”，則,可得.故選：B.8．（2022·全國·高二課時練習）考慮恰有兩個小孩的家庭.若某家第一個是男孩，則這家有兩個男孩（相當于第二個也是男孩）的概率為______（假定生男生女為等可能）.【答案】##【解析】【分析】利用列舉法求得正確答案.【詳解】依題意，家庭有兩個小孩，基本事件有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共種情況.若家庭第一個是男孩，則事件為（男，男）、（男，女），則第二個也是男孩的概率為.故答案為：9．（2022·全國·高二）2021年5月15日，天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預選著陸區(qū)著陸，我國首次火星探測任務著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學中選出4名同學參加市舉行的“我愛火星”知識競賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為______.【答案】##0.6【解析】【分析】利用條件概率公式即可得到結果.【詳解】設“甲同學被選出”記為事件，“乙同學被選出”記為事件，則在甲同學被選出的情況下，乙同學也被選出的概率.故答案為：10．（2021·全國·高二課時練習）某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15．鄰居記得澆水的概率為0.9．則該人回來植物沒有枯萎的概率為______．【答案】0.785【解析】【分析】根據(jù)題意，結合條件概率計算公式，即可求解.【詳解】記A為事件“植物沒有枯萎”，W為事件“鄰居記得給植物澆水”，則根據(jù)題意，知，，，，因此．故答案為：0.785