期末考測(cè)試（基礎(chǔ)）

期末考測(cè)試（基礎(chǔ)）一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2021·安徽安慶·高一期末）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．2．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中）在正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角AD1C1C的大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖，連接AD1，BC1，∵正方體ABCDA1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1，∴D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，則∠BC1C為二面角AD1C1C的平面角，等于45°．故選B．3．（2021·北京·首都師大二附高一期末）設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角?4．（2021·浙江·高一期末）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C．5．（2021·浙江浙江·高一期末）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：由正方體性質(zhì)有AB∥NQ，面，面可知：面，排除；B、C：由正方體性質(zhì)有AB∥MQ，面，面可知：面，排除；D：由正方體性質(zhì)易知：直線AB不平行與面MNQ，滿足題意.故選：D6．（2021·江蘇常州·高一期末）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差【答案】A【解析】設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來(lái)平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來(lái)極差可能相等可能變小，D不正確．7．（2021·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末）從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是（）A．所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球 B．所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球C．所取的3個(gè)球都是黑球 D．所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球【答案】B【解析】將事件的結(jié)果分為三類(lèi)：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根據(jù)互斥事件的定義可知，只有事件“所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球”與事件互斥．故選：B．8．（2021·福建寧德·高一期末）《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)田忌的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，齊王的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽產(chǎn)生的基本事件為：，，，，，，，，，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：，，，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：.故選：C.二、多選題（每題至少有2個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2021·海南·白沙黎族自治縣白沙中學(xué)高一期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由正弦定理，所以，又，，所以或.故選：CD.10．（2021·廣東·揭陽(yáng)第一中學(xué)高一期末）已知復(fù)數(shù)則（）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【答案】AD【解析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，故D正確.故選：AD11．（2021·黑龍江·大慶二中高一期末）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若m⊥α，n⊥α，則m∥nB．若m∥n，m∥α，則n∥αC．若m?α，n?β，則m，n是異面直線D．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n是異面直線【答案】AD【解析】由m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，得：對(duì)于A，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得m∥n，故A正確；對(duì)于B，若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m?α，n?β，則m，n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n是異面直線，故D正確.故選：AD.12．（2021·山西·平遙縣第二中學(xué)校高一月考）在中，，，，則角的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等腰三角形，，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為直角三角形，所以.故選：AD三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點(diǎn)，B，D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.【答案】【解析】依題意得，，，，，四邊形ABCD是平行四邊形，，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：14．（2021·吉林·延邊二中高一月考）為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為.已知高一年級(jí)共抽取了人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為_(kāi)__________人.【答案】360【解析】由已知高一年級(jí)抽取的比例為，所以，得，故高三年級(jí)抽取的人數(shù)為．故答案為：36015．（2021·浙江·高一單元測(cè)試）已知隨機(jī)事件，互斥，且，，則________.【答案】0.5【解析】隨機(jī)事件，互斥，,.故答案為：0.5.16．（2021·山西·長(zhǎng)治市潞城區(qū)第一中學(xué)校高一月考）已知向量，，，，若，則的最小值______.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2021·江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué)高一月考）已知復(fù)數(shù)．當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：（Ⅰ）虛數(shù)；（Ⅱ）純虛數(shù)；（Ⅲ）復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】（Ⅰ）且；（Ⅱ）；（Ⅲ），或.【解析】（Ⅰ），，當(dāng)復(fù)數(shù)為虛數(shù)時(shí)，且，所以實(shí)數(shù)且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，，解得，所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上時(shí)，，解得，或，所以，或時(shí)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上18．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）年下半年以來(lái)，各地區(qū)陸續(xù)出臺(tái)了“垃圾分類(lèi)”的相關(guān)管理?xiàng)l例，實(shí)行“垃圾分類(lèi)”能最大限度地減少垃圾處置量，實(shí)現(xiàn)垃圾資源利用，改善垃圾資源環(huán)境，某部門(mén)在某小區(qū)年齡處于歲的人中隨機(jī)地抽取人，進(jìn)行了“垃圾分類(lèi)”相關(guān)知識(shí)掌握和實(shí)施情況的調(diào)查，并把達(dá)到“垃圾分類(lèi)”標(biāo)準(zhǔn)的人稱為“環(huán)保族”，得到如圖示各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).組數(shù)分組“環(huán)保族”人數(shù)占本組的頻率第一組第二組第三組第四組第五組（1）求、、的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）；（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行專訪，并在這人中選取人作為記錄員，求選取的名記錄員中至少有一人年齡在中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意得：；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值為：；（3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采取分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行專訪，從中選：人，分別記為、、、、，從中選：人，分別記為、、、，在這人中選取人作為記錄員，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，選取的名記錄員中至少有一人年齡在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，因此，選取的名記錄員中至少有一人年齡在中的概率.19．（2021·廣東·南方科技大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，（1）若為中點(diǎn)，證明：面（2）若點(diǎn)在面上投影在線段上，，證明：面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，則為中位線，且，又四邊形是直角梯形，，且，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槊妫?，所以?（2）在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，設(shè)點(diǎn)在面上投影在線段上，設(shè)為點(diǎn)，面，面，，又，，面.20．（2021·河北·深州長(zhǎng)江中學(xué)高一期中）已知．（1）若向量，求的值；（2）若向量，證明：．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)樗运裕?）因?yàn)樗?所以21．（2021·重慶市江津中學(xué)校高一月考）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）在正方形ABCD中，，又側(cè)面底面ABCD，側(cè)面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，所以，又，所以平面PCD.（2）取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，則，所以，又在正中，，平面PEF，∵正方形ABCD中，平面PEF，是側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，由平面PAD，，平面PEF，平面PAD，.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)，則，所以，所以,即側(cè)面PBC與底面ABCD