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專題15《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中的高考真題訓(xùn)練(滿分120分時間:60分鐘)班級姓名得分一、單項選擇題:(本題共6小題,每小題5分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題意要求的.)1.(2021·浙江高考真題)已知函數(shù),則圖象為如圖的函數(shù)可能是()A. B.C. D.【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.【詳解】對于A,,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除A;對于B,,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除B;對于C,,則,當時,,與圖象不符,排除C.故選:D.2.(2021·全國高考真題(理))設(shè),,.則()A. B. C. D.【答案】B【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定,對于a與c,b與c的大小關(guān)系,將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性,結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c,b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,,由于所以當0<x<2時,,即,,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,即;令,則,,由于,在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以,即,即b<c;綜上,,故選:B.【點睛】本題考查比較大小問題,難度較大,關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進而比較大小,這樣的問題,憑借近似估計計算往往是無法解決的.3.(2021·全國高考真題)若過點可以作曲線的兩條切線,則()A. B.C. D.【答案】D【分析】解法一:根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程,再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象,結(jié)合圖形確定結(jié)果;解法二:畫出曲線的圖象,根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點,對函數(shù)求導(dǎo)得,所以,曲線在點處的切線方程為,即,由題意可知,點在直線上,可得,令,則.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,所以,,由題意可知,直線與曲線的圖象有兩個交點,則,當時,,當時,,作出函數(shù)的圖象如下圖所示:由圖可知,當時,直線與曲線的圖象有兩個交點.故選:D.解法二:畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示,根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選:D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法,其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計,解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上,直觀解決問題的有效方法.4.(2020·全國高考真題(理))若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切,則l的方程為()A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程,再由直線與圓相切的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為,則,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,則直線的斜率,設(shè)直線的方程為,即,由于直線與圓相切,則,兩邊平方并整理得,解得,(舍),則直線的方程為,即.故選:D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用,屬于中檔題.5.(2020·全國高考真題(理))函數(shù)的圖像在點處的切線方程為()A. B.C. D.【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計算出和的值,可得出所求切線的點斜式方程,化簡即可.【詳解】,,,,因此,所求切線的方程為,即.故選:B.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題二、填空題6.(2021·全國高考真題)已知函數(shù),函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直,且分別交y軸于M,N兩點,則取值范圍是_______.【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得,,化簡即可得解.【詳解】由題意,,則,所以點和點,,所以,所以,所以,同理,所以.故答案為:【點睛】關(guān)鍵點點睛:解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件,消去一個變量后,運算即可得解.7.(2021·全國高考真題)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______.①;②當時,;③是奇函數(shù).【答案】(答案不唯一,均滿足)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取,則,滿足①,,時有,滿足②,的定義域為,又,故是奇函數(shù),滿足③.故答案為:(答案不唯一,均滿足)8.(2021·北京高考真題)已知函數(shù),給出下列四個結(jié)論:①若,則有兩個零點;②,使得有一個零點;③,使得有三個零點;④,使得有三個零點.以上正確結(jié)論得序號是_______.【答案】①②④【分析】由可得出,考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形,利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①,當時,由,可得或,①正確;對于②,考查直線與曲線相切于點,對函數(shù)求導(dǎo)得,由題意可得,解得,所以,存在,使得只有一個零點,②正確;對于③,當直線過點時,,解得,所以,當時,直線與曲線有兩個交點,若函數(shù)有三個零點,則直線與曲線有兩個交點,直線與曲線有一個交點,所以,,此不等式無解,因此,不存在,使得函數(shù)有三個零點,③錯誤;對于④,考查直線與曲線相切于點,對函數(shù)求導(dǎo)得,由題意可得,解得,所以,當時,函數(shù)有三個零點,④正確.故答案為:①②④.【點睛】思路點睛:已知函數(shù)的零點或方程的根的情況,求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題,求解此類問題的一般步驟:(1)轉(zhuǎn)化,即通過構(gòu)造函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題;(2)列式,即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式;(3)得解,即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.9.(2021·全國高考真題(理))曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【分析】先驗證點在曲線上,再求導(dǎo),代入切線方程公式即可.【詳解】由題,當時,,故點在曲線上.求導(dǎo)得:,所以.故切線方程為.故答案為:.10.(2020·江蘇高考真題)在平面直角坐標系xOy中,已知,A,B是圓C:上的兩個動點,滿足,則△PAB面積的最大值是__________.【答案】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積,最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為,則所以令(負值舍去)當時,;當時,,因此當時,取最大值,即取最大值為,故答案為:【點睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.11.(2020·全國高考真題(文))設(shè)函數(shù).若,則a=_________.【答案】1【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后得到關(guān)于實數(shù)a的方程,解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得:,則:,據(jù)此可得:,整理可得:,解得:.故答案為:.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則,導(dǎo)數(shù)的計算,方程的數(shù)學(xué)思想等知識,屬于中等題.12.(2020·全國高考真題(文))曲線的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為______________.【答案】【分析】設(shè)切線的切點坐標為,對函數(shù)求導(dǎo),利用,求出,代入曲線方程求出,得到切線的點斜式方程,化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點坐標為,,所以切點坐標為,所求的切線方程為,即.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題13.(2021·全國高考真題)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)從下面兩個條件中選一個,證明:只有一個零點①;②.【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得:,當時,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增;當時,若,則單調(diào)遞增,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞增;當時,若,則單調(diào)遞增,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增;(2)若選擇條件①:由于,故,則,而,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.,由于,,故,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得,題中的結(jié)論成立.若選擇條件②:由于,故,則,當時,,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時,構(gòu)造函數(shù),則,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,注意到,故恒成立,從而有:,此時:,當時,,取,則,即:,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.,由于,,故,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得,題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.14.(2021·北京高考真題)已知函數(shù).(1)若,求在處切線方程;(2)若函數(shù)在處取得極值,求的單調(diào)區(qū)間,以及最大值和最小值.【答案】(1);(2)函數(shù)的增區(qū)間為、,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值為,最小值為.【分析】(1)求出、的值,利用點斜式可得出所求切線的方程;(2)由可求得實數(shù)的值,然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,由此可得出結(jié)果.【詳解】(1)當時,,則,,,此時,曲線在點處的切線方程為,即;(2)因為,則,由題意可得,解得,故,,列表如下:增極大值減極小值增所以,函數(shù)的增區(qū)間為、,單調(diào)遞減區(qū)間為.當時,;當時,.所以,,.15.(2021·浙江高考真題)設(shè)a,b為實數(shù),且,函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,求a的取值范圍;(3)當時,證明:對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,滿足.(注:是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時,在上單調(diào)遞增;時,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為;(2);(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化,然后構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍;(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形,然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1),①若,則,所以在上單調(diào)遞增;②若,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增.綜上可得,時,在上單調(diào)遞增;時,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解,令,則,記,記,又,所以時,時,,則在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,.即實數(shù)的取值范圍是.(3)有2個不同零點,則,故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點,記較大者為,較小者為,,注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,又由知,,要證,只需,且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以只需證,只需證,只需證,,只需證在時為正,由于,故函數(shù)單調(diào)遞增,又,故在時為正,從而題中的不等式得證.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出,從高考來看,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.16.(2021·全國高考真題(理))設(shè)函數(shù),已知是函數(shù)的極值點.(1)求a;(2)設(shè)函數(shù).證明:.【答案】(1);(2)證明見詳解【分析】(1)由題意求出,由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù);(2)由(1)得,且,分類討論和,可等價轉(zhuǎn)化為要證,即證在和上恒成立,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】(1)由,,又是函數(shù)的極值點,所以,解得;(2)由(1)得,,且,當時,要證,,,即證,化簡得;同理,當時,要證,,,即證,化簡得;令,再令,則,,令,,當時,,單減,假設(shè)能取到,則,故;當時,,單增,假設(shè)能取到,則,故;綜上所述,在恒成立【點睛】本題為難題,根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù),第二問解法并不唯一,分類討論對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化的過程,一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題,構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題.17.(2021·全國高考真題(文))設(shè)函數(shù),其中.(1)討論的單調(diào)性;(2)若的圖象與軸沒有公共點,求a的取值范圍.【答案】(1)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;(2).【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)根據(jù)及(1)的單調(diào)性性可得,從而可求a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,又,因為,故,當時,;當時,;所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2)因為且的圖與軸沒有公共點,所以的圖象在軸的上方,由(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得,故即.【點睛】方法點睛:不等式的恒成立問題,往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論,也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題,轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.18.(2021·全國高考真題(理))已知且,函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.【答案】(1)上單調(diào)遞增;上單調(diào)遞減;(2).【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用指數(shù)對數(shù)的運算法則,可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根,即曲線與直線有兩個交
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