專題15《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中的高考真題訓(xùn)練-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（2019選擇性）

專題15《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中的高考真題訓(xùn)練（滿分120分時(shí)間：60分鐘）班級姓名得分一、單項(xiàng)選擇題：（本題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）1．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2021·全國高考真題（理））設(shè)，，．則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時(shí),,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.3．（2021·全國高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.4．（2020·全國高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.5．（2020·全國高考真題（理））函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題6．（2021·全國高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.7．（2021·全國高考真題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時(shí)有，滿足②，的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）8．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則有兩個(gè)零點(diǎn)；②，使得有一個(gè)零點(diǎn)；③，使得有三個(gè)零點(diǎn)；④，使得有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．9．（2021·全國高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．10．（2020·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負(fù)值舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.11．（2020·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.12．（2020·全國高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.【答案】【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題13．（2021·全國高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求在處切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.15．（2021·浙江高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時(shí)為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時(shí)為正，從而題中的不等式得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題.17．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.18．（2021·全國高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交