2022年全國乙卷理科數(shù)學(xué)模擬卷四

保密★啟用前2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷四（全國乙卷·理科）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．評卷人得分一、單選題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．(本題5分)下列選項中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，即方程有實數(shù)解，當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，由解得的范圍即為“是集合的真子集”成立的充要條件，即為所選選項的真子集，進而可得正確選項.【詳解】若“是集合的真子集”所以，所以方程有實數(shù)解，當(dāng)時，由可得，符合題意，當(dāng)時，由可得，所以且，綜上所述：的充要條件為；即“是集合的真子集”成立充要條件為；所選集合是的必要不充分條件，則應(yīng)是所選集合的真子集，由選項判斷A，B，C都不正確，選項D正確；故選：D.2．(本題5分)設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，若是實數(shù)，則=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由是實數(shù)得到，即得解.【詳解】設(shè)，所以是實數(shù)，所以.所以.故選：D3．(本題5分)已知{an}，{bn}是兩個等差數(shù)列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值為（）A．－6 B．6 C．0 D．10【答案】B【分析】由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an－bn}也是等差數(shù)列，由已知條件可得{an－bn}是常數(shù)列，從而可求得答案【詳解】由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an－bn}也是等差數(shù)列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常數(shù)列，故a10－b10＝6.故選：B.4．(本題5分)已知平面向量的夾角為，且，則（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先求解的平方，因為，利用平面向量相關(guān)的運算法則求解出結(jié)果，開方后求得【詳解】因為向量的夾角為，且，所以，故選：B5．(本題5分)角終邊經(jīng)過點，若把逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的值，由條件可得，由正切的和角公式可得答案.【詳解】角終邊經(jīng)過點,則把逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，所以所以故選：B6．(本題5分)中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧AD長度為弧BC長度的3倍，且，則該曲池的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，，即.故該曲池的體積.故選：B7．(本題5分)恩格爾系數(shù)(Engel’sCoefficien)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.給出三個結(jié)論：①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.其中正確的是（）A．① B．② C．①② D．②③【答案】C【分析】通過對2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖的分析，了解兩者間的相關(guān)性而作出判斷.【詳解】由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟越富裕，結(jié)論②正確；家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問題，收入的大部分用來購買食品，結(jié)論③錯誤.故選：C8．(本題5分)若a?b?c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．若，則a?b?c共面 B．若a?b?c過同一點，則a?b?c共面C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】ABC三項舉出反例即可說明，D選項結(jié)合線線關(guān)系即可判定.【詳解】A設(shè)確定的平面為，當(dāng)時，a?b?c不共面，故A錯誤；B不妨設(shè)a?b?c為三棱錐的三條側(cè)棱所在直線，顯然a?b?c共點，但是a?b?c不共面，故B錯誤；C若為平面內(nèi)的兩條直線，且，顯然滿足，但是不一定平行，故C錯誤；D若，則，故D正確；故選：D.9．(本題5分)一條鐵路有n個車站，為適應(yīng)客運需要，新增了m個車站，且知，客運車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由題意得，化簡計算可得，由于，，可得，從而可求出，經(jīng)驗證可得答案【詳解】原來個車站有種車票，新增了個車站，有種車票，由題意得，即，整理得，∴，∵，，∴，∴，解得，即.當(dāng)時，均不為整數(shù)，只有當(dāng)時，符合題意，∴，故現(xiàn)在有17個車站.故選：C.10．(本題5分)已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，點，，是與圖象的連續(xù)相鄰的三個交點，若是鈍角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)圖象的平移可得，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面幾何的知識即可得出，即可得解.【詳解】由條件可得，，作出兩個函數(shù)圖象，如圖：，，為連續(xù)三交點，(不妨設(shè)在軸下方)，為的中點，.由對稱性可得是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，得，則，所以，要使為鈍角三角形，只需即可，由，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于的不等式，運算即可.11．(本題5分)設(shè)，，則三個數(shù)（）A．都小于4 B．至少有一個不大于4C．都大于4 D．至少有一個不小于4【答案】D【分析】由題意知利用反證法推出矛盾，即可得正確答案．【詳解】假設(shè)三個數(shù)且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，與假設(shè)矛盾；所以假設(shè)不成立，三個數(shù)、、至少有一個不小于4．故選．【點睛】本題考查反證法和基本不等式的應(yīng)用，屬于簡單題．12．(本題5分)如圖所示，，是雙曲線上的三個點，點，關(guān)于原點對稱，線段經(jīng)過右焦點，若且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別設(shè)出坐標(biāo)利用幾何條件將C坐標(biāo)表達出后代入雙曲線方程，整理出離心率表達式，并代入選項驗證即可得解【詳解】由題意可得在直角三角形中，為斜邊上的中線，所以設(shè)且在第一象限，則滿足解得所以,設(shè)因為則,化簡得……則將代入后可分別化簡得即將代入雙曲線方程，可化簡為因為在雙曲線中所以上式為即整理為將選項代入驗證，D選項滿足等式故選：D評卷人得分二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．(本題5分)已知的展開式中x的系數(shù)等于8，則a等于___________．【答案】【分析】把和展開，根據(jù)展開式中的系數(shù)等于8，求出的值．【詳解】解：，所以展開式中的系數(shù)等于，解得或，因為，所以．故答案為：．14．(本題5分)正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是__________．【答案】【分析】將正四面體還原為一個正方體，由正四面體和正方體內(nèi)接同一球求解.【詳解】如圖所示：因為正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為，則正四面體為，設(shè)球的半徑為R，則，解得，所以則正方體的棱長為，所以正四面體的棱長為，故答案為：15．(本題5分)已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式_______________________.【答案】【分析】由已知條件可得，從而有是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而可得，最后利用累加法及等差數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】解：由,得，則，由得，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，也適合上式，所以，故答案為：.16．(本題5分)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過程中，通過對運算體系的研究，最終找到了簡化大數(shù)運算的有效工具，發(fā)明了對數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件．他的朋友布里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對數(shù)，并出版了常用對數(shù)表，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對數(shù)源于指數(shù)”，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號是_______．①在區(qū)間內(nèi)；②是15位數(shù)；③若，則；④若是一個70位正整數(shù)，則．參考數(shù)據(jù)如下表：真數(shù)x235711131719（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279【答案】①④【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求出，由此分析求解即可．【詳解】解：，則，所以，故①正確；因為，所以，即是16位數(shù)，故②錯誤；因為，即，所以，則，則③錯誤；因為，因為是一個70位正整數(shù)，所以，所以，所以，故④正確故答案為：①④評卷人得分三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．)（一）必考題：共60分17．(本題12分)已知△ABC中，asinA=bsinB.（1）證明：a=b；（2）若c=1，acosA=sinC，求△ABC的面積.【答案】（1）證明見詳解1（2）或【分析】（1）利用正弦定理即可得證；（2）利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面積公式可得解.（1）證明：在三角形△ABC中，根據(jù)正弦定理又，即，得證（2）解：由上式可知，根據(jù)正弦定理又，即故或根據(jù)余弦定理有或代入上面式子可得或所以當(dāng)時，當(dāng)時，18．(本題12分)正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實驗中很多隨機變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述．例如，同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)．隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化．為了調(diào)查某水庫的環(huán)境保護情況，在水庫中隨機捕撈了100條魚稱重．經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知．（1）若從水庫中隨機捕撈一條魚，求魚的重量在內(nèi)的概率；（2）從捕撈的100條中隨機挑出6條魚測量體重，6條魚的重量情況如表．重量范圍（單位：）條數(shù)132①為了進一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機選出3條，記隨機選出的3條魚中體重在內(nèi)的條數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若將選剩下的94條魚稱重微標(biāo)記后立即放生，兩周后又隨機捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條．為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進行出售，試估算水庫中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚的條數(shù)．【答案】（1）0.22；（2）①分布列見詳解；1；②47000；4136.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性有，計算后即可得出答案；（2）①隨機變量的所有可能取值為0，1，2，根據(jù)超幾何分布的概率求法求出各種情況的概率，可得到其分布列，再由公式求出數(shù)學(xué)期望；②設(shè)水庫中共有條魚，根據(jù)題意有，先求出，又由（1）可知，從而可求出應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚的條數(shù).（1）解：已知魚的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從水庫中隨機捕撈一條魚，魚的重量在內(nèi)的概率為0.22.（2）解：①挑出6條魚中，體重在內(nèi)有2條，則從6條魚中隨機選出3條，得隨機變量的所有可能取值為0，1，2，；；；所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.②設(shè)水庫中共有條魚，根據(jù)題意有，則（條），所以估計水庫中有47000條魚；由（1）可知，則體重在內(nèi)的魚應(yīng)捕撈（條）.19．(本題12分)如圖，在四棱錐EABCD中，ABCE，AECD，，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）證明：∠AED是銳角；（2）若AE=10，求二面角ABEC的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）延長AB、DC交于點M，結(jié)合已知條件利用線面垂直判定定理和性質(zhì)證明平面，然后利用勾股定理和余弦定理即可證明；（2）結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，然后利用二面角的空間向量公式求解即可.（1）延長AB、DC交于點M，連接EM，如下圖所示：因為，，所以為的中位線，從而，，，所以，故，又因為ABCE，AECD，，，所以平面，平面，因為平面，平面，所以，，因為，所以平面，令，則，，所以，所以是銳角.（2）以為坐標(biāo)原點，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系：由題意可知，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，從而，因為平面，所以是平面的一個法向量，由圖可知，二面角為鈍二面角，故，從而二面角ABEC的余弦值.20．(本題12分)已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓上的一點，的周長為6，過焦點的弦中最短的弦長為3；橢圓的右焦點為拋物線的焦點．（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）過橢圓的右頂點Q的直線l交拋物線于A、B兩點，點O為原點，射線、分別交橢圓于C、D兩點，的面積為，以A、C、D、B為頂點的四邊形的面積為，問是否存在直線l使得？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）橢圓的方程，拋物線的方程為（2）存在直線l，方程為或者．【分析】（1）由焦點三角形周長，通徑和橢圓的關(guān)系式可求，進而求解，；（2）設(shè)l的方程為，設(shè)、、、，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出關(guān)于的韋達定理，再通過直線方程聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合正弦面積公式進一步化簡即可求解.（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程，拋物線的方程為；（2）由題意得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，設(shè)、、、，由，得，∵，∴，∵，∴直線的斜率為，即直線的方程為，由，得，同理可得，，∴，得，所以存在直線l，方程為或者．21．(本題12分)已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的值域；（2）討論極值點的個數(shù).【答案】（1）（2）當(dāng)或時，無極值點，當(dāng)時，有1個極大值點，無極小值點.【分析】（1）通過求導(dǎo)判斷出的單調(diào)性，即可求出的值域；（2）對參數(shù)進行討論，通過討論每種情況下的單調(diào)性，進而判斷出極值的情況.（1）因為，所以，設(shè)，，因為，所以，單調(diào)遞減，則，即，所以在上單調(diào)遞減，，所以的值域為：（2）因為，所以，設(shè)，，因為，則，（1）當(dāng)，即時，，單調(diào)遞減，，即，單調(diào)遞減，無極值，（2）當(dāng)，即時，，單調(diào)遞增，，即，單調(diào)遞增，無極值，（3）當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，則存在，使得，即，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，所以，，①當(dāng)，即時，，即恒成立，即，單調(diào)遞增，無極值，②當(dāng)，即時，，則存在，使得，時，，，單調(diào)遞增，時，，，單調(diào)遞減，是的極大值點，綜上所述，當(dāng)或時，無極值點，當(dāng)時