工程數(shù)學(xué) 課件 第5章 多元函數(shù)積分

第5章多元函數(shù)積分第1節(jié)二重積分第2節(jié)二重積分的計算第3節(jié)廣義重積分

第1節(jié)

二

重

積

分

一、

二重積分的概念

1.引例例5.1如圖5.1所示，設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，這里f(x,y)>0且在D

上連續(xù)。這種立體叫作曲頂柱體.現(xiàn)在要求該曲頂柱體的體積V。圖5.1

由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用求曲邊梯形面積的思想方法，即通過

分割：將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域

近似：在每個Δδi

上任取一點(ξi,ηi)(見圖5.1)，則

求和：將上式累加，得

取極限：令Δδi

中的最大直徑λ

趨于0，得

例5.2如圖5.2所示，設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，這里ρ(x,y)>0且在D

上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量

M。圖5.2

2.二重積分的定義

定義5.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D

任意分成n個小閉區(qū)域

其中Δσi

表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個Δσi

上任取一點(ξi,ηi)，作乘積

并作和

二、

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)5.1設(shè)α、β為常數(shù)，則

性質(zhì)5.2

如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上可積，D

被連續(xù)曲線分成D1、D2

兩部分，D=D1∪D2

且D1、D2

無公共內(nèi)點，則f(x,y)在區(qū)域D1、D2

上可積，且

這個性質(zhì)說明二重積分對積分區(qū)域具有可加性。

性質(zhì)5.3如果在D

上，f(x,y)=1，σ為D

的面積，則

性質(zhì)5.4如果在D

上，f(x,y)≤g(x,y)，則有

特殊地,由于

又有

性質(zhì)5.5設(shè)

M、m

分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D

的面積，則有

性質(zhì)5.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域

D

上連續(xù)，σ

是D

的面積，則在D

上至少存在一點(ξ,η)，使得

第2節(jié)

二重積分的計算

二重積分是用和式的極限定義的，對一般的函數(shù)和區(qū)域用定義直接計算二重積分是不可行的。計算二重積分的主要方法是將它化為兩次定積分的計算，稱為累次積分法。

一、

在直角坐標(biāo)系下求二重積分

先從幾何上研究二重積分的計算問題，在討論中我們假定f(x,y)≥0。若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D為X型區(qū)域，它是由直線x=a、x=b

及曲線y=φ1(x)、y=φ2(x)所圍成(圖5.3)，其中函數(shù)φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).X

型區(qū)域的特點是：任何平行于y軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點不多于兩個。圖5.3

求以D

為底，曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(圖5.4)。先計算截面積。在區(qū)間[a,b]上取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面頂柱體所得的截面是一個以區(qū)間[φ1(x0),φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖5.4)所以這個截面的面積為

一般地，過區(qū)間[a,b]上任一點x且平行于yOz

面的平面截曲頂柱體的截面的面積為圖5.4

于是,應(yīng)用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體的體積為

這個體積也就是所求二重積分的值,從而有等式

上式右端的積分是先對y、后對x

的二次積分。就是說,先把x

看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計算從φ1(x)到φ2(x)的定積分：然后把算得的結(jié)果(是x

的函數(shù))再對x

計算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個先對y、后對x

的二次積分也常記為

因此，等式(5.1)也寫成

這就是把二重積分化為先對y、后對x

的二次積分公式。

在上述討論中，我們假定f(x,y)≥0，實際上公式(5.1)的成立并不受此條件的限制。類似地，若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D

為Y

型區(qū)域，它是由直線y=c、y=d及曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所圍成，其中函數(shù)ψ1(x)、ψ2(x)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。同樣Y

型區(qū)域的特點是：任何平行于x

軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點不多于兩個。圖5.5

例5.5計算二重積分其中D

是由直線y=x，x=1及x軸所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.6所示，圖5.6

它既是X

型，又是Y型。若D

看成X

型，則D

可表示為

于是

若將D看成X型,則D可表示為

于是

例5.6

計算二重積分其中D

是由拋物線y=x2

及直線y=x+2所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.7所示，圖5.7

若D

看成X

型，則D可表示為

于是

若將D看成Y型,則由于在區(qū)間[0,1]及[1,4]上x

的積分下限不同,所以要用直線y=1把區(qū)域D分成D1

和D2

兩個部分(圖5.8),其中

于是圖5.8

例5.9求兩個圓柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2

所圍成的立體體積.

解

由對稱性知,所求立體的體積V

是該立體位于第一卦限部分的體積V1的8倍(見圖5.11).圖5.11

立體在第一卦限部分可以看成一個曲頂柱體，它的底為

它的頂是柱面

于是

二、

在極坐標(biāo)系下求二重積分

在平面上選定一點O，從點O

出發(fā)引一條射線Ox，并在射線上規(guī)定一個單位長度，這就得到了極坐標(biāo)系(如圖5.12)，其中點P

稱為極點，射線Ox

稱為極軸。

平面上每一點

M

都可以用它的極徑r

和極角θ來確定其位置，稱有序數(shù)對(r,θ)為點

M

的極坐標(biāo)。圖5.12

如果我們將直角坐標(biāo)系中的原點O

和x軸的正半軸選為極坐標(biāo)系中的極點和極軸，如圖5.13所示，則平面上點M

的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(r,θ)有以下的關(guān)系圖5.13

在二重積分的定義中，若函數(shù)f(x,y)可積，則二重積分的存在與區(qū)域D

的劃分無關(guān)。在直角坐標(biāo)系中，我們是用平行于x

軸和y

軸的兩組直線來分割區(qū)域D的，此時面積元素dσ=dxdy。所以有

在極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)是(r,θ)，r=常數(shù)，是一簇圓心在極點的同心圓；θ=常數(shù),是一簇從極點出發(fā)的射線。我們用上述的同心圓和射線將區(qū)域

D

分成多個小區(qū)域，如圖5.14所示，其中，任一小區(qū)域Δσ

是由極角為θ

和θ+Δθ

的兩射線與半徑為r和r+Δr的兩圓弧所圍成的區(qū)域，則由扇形面積公式得圖5.14

在極坐標(biāo)系下計算二重積分，仍然需要化為二次積分來計算，通常是按先r后θ的順序進行，下面分三種情況予以介紹。

(1)極點O

在區(qū)域D之外，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r1(θ)，r=r2(θ)所圍成，如圖5.15所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.15

(2)極點O

在區(qū)域D

的邊界上，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r(θ)所圍成，如圖5.16所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.16

(3)極點O

在區(qū)域D

內(nèi)部，且

D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(θ)，如圖5.17所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.17

例5.10計算二重積分其中D

是由圓x2+y2=a2(a>0)圍成的閉區(qū)域.

解

由于區(qū)域D

在極坐標(biāo)系下表示為

所以

例5.11

計算二重積分其中D

是由圓x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所圍成的閉區(qū)域。

解

積分區(qū)域D是由兩個圓所圍成的圓環(huán)，在極坐標(biāo)系下表示為

于是

例5.12

計算二重積分其中D

是第一象限中同時滿足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的點所組成的區(qū)域.

所以得圖5.18

第3節(jié)

廣

義

重

積

分

和一元函數(shù)類似，二重積分也可以推廣到無界區(qū)域上的廣義二重積分，它在概率統(tǒng)計中是一種廣泛應(yīng)用的積分形式。

定義5.2

設(shè)函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域