2024-2025學年新教材高中數(shù)學第7章三角函數(shù)7.1.1任意角課后素養(yǎng)落實含解析蘇教版必修第一冊

課后素養(yǎng)落實(二十九)隨意角(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)下列命題中錯誤的是()A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角肯定不相等C．第四象限角肯定是負角D．鈍角比第三象限角小ACD[只有B正確．對于A，如90°角不在任何象限；對于C，如330°角在第四象限但不是負角；對于D，鈍角不肯定比第三象限角?。甝2．(多選題)下列角中與80°終邊相同的是()A．800° B．1160°C．1200° D．1280°AB[與80°終邊相同的角的集合為{α|α＝80°＋k·360°，k∈Z}．取k＝2，得α＝800°.取k＝3得α＝1160°.]3．在0°～360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是()A．120° B．60°C．180° D．240°D[與－120°終邊相同角的集合為{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°.]4．若α是第四象限角，則180°－α所在象限是()A．第四象限 B．第三象限C．其次象限 D．第一象限B[如圖所示，∵α是第四象限角，則－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]5．若角α的終邊與240°角的終邊相同，則eq\f(α,2)的終邊所在象限是()A．其次或第四象限 B．其次或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限A[角α滿意的集合為{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＝k·180°＋120°，k∈Z))))，∴eq\f(α,2)終邊落在其次象限或第四象限．]二、填空題6．已知角α的終邊與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，則α的取值集合為________．{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}[如圖，－80°角與－100°角的終邊關(guān)于y軸對稱，因此α的取值集合為{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．]7．α滿意180°<α<360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么α＝________.270°[5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.]8．若角α＝2021°，則與角α具有相同終邊的最小正角為________，最大負角為________．221°－139°[∵2021°＝5×360°＋221°，∴與角α終邊相同的角的集合為{α|α＝221°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角為221°，最大負角為－139°.]三、解答題9．寫出終邊在如圖所示直線上的角的集合．[解](1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個，即0°和180°，因此全部與0°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而全部與180°角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，終邊落在x軸上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°.因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)終邊在直線y＝x上的角的集合為{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，結(jié)合(2)知，所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．10．已知角x的終邊落在如圖陰影部分區(qū)域(包括邊界)，寫出角x組成的集合．[解](1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．1．(多選題)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的終邊可能落在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限BD[令k＝0，α＝－60°，在第四象限，再令k＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在其次象限．]2．設(shè)集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，則集合M與N的關(guān)系是()A．M∩N＝? B．M?NC．M?N D．M＝NB[對于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；對于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示全部的奇數(shù)，而n表示全部的整數(shù)，∴M?N，故選B.]3．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為________．{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}[如圖所示終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]4．如圖，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))動身，依逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)．已知P在1秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ(0°＜θ＜180°)，經(jīng)過2秒鐘到達第三象限，經(jīng)過14秒后又恰好回到動身點A.則θ的值為________，θ在第________象限．eq\f(540°,7)或eq\f(720°,7)一或二[依據(jù)題意知，14秒后，點P在角14θ＋45°的終邊上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，即θ＝eq\f(k·180°,7)，k∈Z.又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，∴67.5°＜eq\f(k·180°,7)＜112.5°，k∈Z，∴k＝3或k＝4，∴所求θ的值為eq\f(540°,7)或eq\f(720°,7).∵0°＜eq\f(540°,7)＜90°，90°＜eq\f(720°,7)＜180°，∴θ在第一象限或其次象限．]若α是第一象限角，問－α，2α，eq\f(α,3)是第幾象限角？[解]∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，∴－α所在區(qū)域與(－90°，0°)范圍相同，故－α是第四象限角．(2)2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α所在區(qū)域與(0°，180°)范圍相同，故2α是第一、二象限角或終邊在y軸的非負半軸上．(3)k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一：(分類探討)當k＝3n(n∈Z)時，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是其次象限角；當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°