工程數(shù)學(xué) 課件 第3、4章 n 維向量與線性方程組、多元函數(shù)微分

第3章

n

維向量與線性方程組第1節(jié)

向量組及其線性組合第2節(jié)

向量組的線性相關(guān)性第3節(jié)

向量組的秩第4節(jié)

齊次線性方程組的解第5節(jié)

非齊次線性方程組的解

第1節(jié)向量組及其線性組合

一、n維向量的概念

定義3.1由n個數(shù)a1,a2,…,an組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個n維向量,數(shù)ai稱為向量的第i個分量(i=1,2,…,n).

注在解析幾何中,我們把“既有大小又有方向的量”稱為向量,并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象.引入坐標系后,又定義了向量的坐標表示式(三個有次序

實數(shù)),此即上面定義的3維向量.因此,當(dāng)n≤3時,n維向量可以把有向線段作為其幾何形象.當(dāng)n>3時,n維向量沒有直觀的幾何形象.

向量可以寫成一行:(a1,a2,…,an);也可以寫成一列:

向量寫成一行時稱為行向量,寫成一列時

稱為列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組.例如,一個m×n矩陣

每一列

組成的向量組a1,a2,…,an稱為矩陣A的列向量組,而由矩陣A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),組成的向量組β1,β2,…,βm稱為矩陣A的行向量組.

根據(jù)上述討論,矩陣A記為A=(a1,a2,…,an)或

這樣,矩陣A就與其列向量組或行向量組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.

矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組,而線性方程組Am×nA=0的全體解當(dāng)r(A)<n時是一個含有無限多個n維列向量的向量組.

我們規(guī)定:

(1)分量全為零的向量,稱為零向量,記作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反數(shù)組成的向量稱為α的負向量,記作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),當(dāng)ai=bi(i=1,2,…,n)時,則稱這兩個向量相等,記作α=β.

定義3.2設(shè)兩個n維向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定義向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常數(shù)k,則常數(shù)與向量α的數(shù)乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及數(shù)與向量的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運算.

注向量的線性運算與行(列)矩陣的運算規(guī)律相同,從而也滿足下列運算規(guī)律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量組的線性組合

定義3.3設(shè)有n維向量組α1,α2,…,αm,對于向量β,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱β是α1,α2,…,αm的線性組合,也稱β可由α1,α2,…,αm線性表示,k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù).

定理3.1向量β可由向量組A:α1,α2,…,αm線性表示的充分必要條件是:矩陣A=(α1,α2,…,αm)與矩陣B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量組間的線性表示

定義3.4設(shè)有兩向量組

若向量組B中的每一個向量都能由向量組A線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示,則稱這兩個向量組等價.

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示,B為這一表示的系數(shù)矩陣.而矩陣C的行向量組能由B的行向量組線性表示,A為這一表示的系數(shù)矩陣.

定理3.2若向量組A可由向量組B線性表示,向量組B可由向量組C線性表示,則向量組A可由向量組C線性表示.

第2節(jié)向量組的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)性概念定義3.5對n維向量組α1,α2,…,αm,若有數(shù)組k1,k2,…,km不全為0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).

注(1)對于單個向量α:若α=0,則α線性相關(guān);若α≠0,則α線性無關(guān).

(2)含有一個向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是此向量為零向量;含有一個向量的向量組線性無關(guān)的充要條件是此向量為非零向量.

(3)兩個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是這兩個向量對應(yīng)分量成比例.

二、線性相關(guān)性的判定

定理3.3向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關(guān)的充要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.

定理3.4若向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān),α1,α2,…,αm,β線性相關(guān),則β可由α1,α2,…,αm線性表示,且表示式唯一.

第3節(jié)向量組的秩

定義3.6設(shè)向量組為A,若:(1)在A中有r個向量α1,α2,…,αr線性無關(guān);(2)在A中任意r+1個向量線性相關(guān)(如果有r+1個向量的話),則稱α1,α2,…,αr為向量組A的一個極大線性無關(guān)組,稱r為向量組A的秩,記作:秩(A)=r.注(1)向量組中的向量都是零向量時,其秩為0

(2)秩(A)=r時,A中任意r個線性無關(guān)的向量都是A的一個極大無關(guān)組.

α1,α2線性無關(guān)?α1,α2是一個極大無關(guān)組.

α1,α3線性無關(guān)?α1,α3是一個極大無關(guān)組.

注一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的.

定理3.7設(shè)r(Am×n)=r≥1,則:

(1)A的行向量組(列向量組)的秩為r;

(2)A中某個行列式Dr≠0?A中Dr所在的r個行向量(列向量)是A的行向量組(列向量組)的極大無關(guān)組.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4節(jié)齊次線性方程組的解

一、齊次線性方程組解的判定一般地,我們把含有m個方程、n個未知量的齊次線性方程組

簡寫成矩陣形式AX=0,其中

對于方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組

二、齊次線性方程組的一般解

例3.11求例3.10中齊次線性方程組的一般解.

三、齊次線性方程組的通解的求法

齊次線性方程組的解有如下性質(zhì)

定理3.10設(shè)A為m×n矩陣,若r(A)=r<n,則方程組AX=0有基礎(chǔ)解系,且基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量;若設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系,則方程組AX=0的通解為

得同解方程組:

此方程組的一般解為

可得r(A)=2<n,則方程組有無窮多解,其同解方程組為

第5節(jié)非齊次線性方程組的解

一、非齊次線性方程組例3.15如圖3.1的網(wǎng)絡(luò)是某市的一些單行道路在一個下午(以每小時車輛數(shù)目計算)的交通流量,計算該網(wǎng)絡(luò)的車流量.

圖3.1

解如圖3.1所示,標記道路交叉口和未知的分支流量,在每個交叉口,令其車輛駛?cè)霐?shù)目等于車輛駛出數(shù)目.

(1)車輛駛?cè)腭偝鰯?shù)目,列表如下:

(2)車輛駛?cè)霐?shù)目等于車輛駛出數(shù)目,列表如下:

(3)車輛總駛?cè)肓康扔谲囕v總駛出量,列表如下:

(4)得到下面方程組:

二、非齊次線性方程組解的判定

方程組的矩陣形式是AX=B,與之對應(yīng)的齊次線性方程組為AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解?r(A,B)=r(A)

三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

性質(zhì)3.3設(shè)η1,η2為AX=B的解,則η1-η2為AX=0的解.

證明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性質(zhì)3.4設(shè)η1為AX=B的解,η2為AX=0的解,則η1+η2為AX=B的解.

證明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的兩條性質(zhì)可以推出非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).

四、非齊次線性方程組通解的求法

定理3.12設(shè)非齊次線性方程組AX=B有解,則其通解為X=η+ξ,其中,η為AX=B的一個特解,ξ是方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0的通解.

若設(shè)矩陣Am×n的秩為r,齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r,則AX=B的通解為

例3.17解例3.15中的非齊次線性方程組

綜上有AX=B的通解是

例3.18解線性方程組

于是得到導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

例3.21求線性方程組

的全部解.

又原方程組對應(yīng)齊次線性方程組導(dǎo)出組的同解方程組為

令x4=-2(這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)),得x1=3,x2=-3,x3=1,于是得到導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為

所以,原方程組的通解為

下面求其導(dǎo)出方程組的一個基礎(chǔ)解系.由于導(dǎo)出方程組是將原方程組的常數(shù)全部改為0得到的,因此可得導(dǎo)出方程組的同解方程組為

即

第4章

多元函數(shù)微分第1節(jié)

多元函數(shù)第2節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)第3節(jié)

全微分第4節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

第1節(jié)多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的定義在很多自然現(xiàn)象和實際問題中，經(jīng)常會遇到多個變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下。例4.1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h之間具有如下關(guān)系：這里有三個變量,V隨著兩個獨立變量r、h的變化而變化.

例4.2具有一定量的理想氣體的壓強p、體積V與絕對溫度T之間具有如下關(guān)系：

這里也有三個變量，p隨著兩個獨立變量T、V的變化而變化。

定義4.1對于變量x、y、z,如果變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取一組數(shù)值，這時變量z按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它們相對應(yīng)，那么就稱z是x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y稱為自變量，z稱為因變量。x、y的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域，記為D；z的變化范圍稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的值域，記為R(f)。

對于二元函數(shù)z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射為f：D→R，如圖4.1所示。

圖4.1

類似地?？梢远x三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及n元函數(shù)u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

定義4.2平面的區(qū)域是指一條或者幾條曲線所圍成的具有連通性的平面的一部分。其中，連通性是指一塊部分平面內(nèi)任意兩點可以用完全屬于這個部分平面的折線連接貫通。如果區(qū)域能夠無限延伸，則稱此區(qū)域是無界的；如果區(qū)域不能夠無限延伸，它就總是被包含在一個范圍更大一點的半徑有限的圓內(nèi)，則稱此區(qū)域是有限的.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。閉區(qū)域是包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，開區(qū)域是不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域，二者統(tǒng)稱為區(qū)域。為方便起見，我們將開區(qū)域內(nèi)的點稱為內(nèi)點，將區(qū)域邊界上的點稱為邊界點。

例4.4求下列函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函數(shù)z=ln(x+y)有意義，應(yīng)有x+y>0，所以函數(shù)的定義域D是位于直線x+y=0上方而不包括這條直線在內(nèi)的半平面，這是一個無界區(qū)域，如圖4.2(a)所示。

(2)要使函數(shù)z=arcsin(x2+y2)有意義，應(yīng)有x2+y2≤1，所以函數(shù)的定義域D是以原點為圓心，以1為半徑的閉圓區(qū)域，如圖4.2(b)所示。

圖4.2

二、二元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，我們用“ε-δ”語言描述二元函數(shù)的極限概念。

正如一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：

第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義4.6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作

定義4.7如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，

記作

其定義式為

類似地，可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

其定義式為

注偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量x的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zx或fx(x,y)；二元函數(shù)z=f(x,y)對于自變量y的偏導(dǎo)數(shù)也可記為zy或fy(x,y)。求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是先將一個自變量固定為常量，再求函數(shù)對于另外一個自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則對于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)依然適用。

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在點(x0,y0)的函數(shù)值，而f'y(x0,y0)就是偏導(dǎo)數(shù)f'y(x,y)在點(x0,y0)的函數(shù)值。

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點。它們的求法也是一元函數(shù)的微分法問題。

二、偏導(dǎo)數(shù)的計算方法

在實際求z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)時，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以仍舊是一元函數(shù)的微分法問題。求時，只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時，只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。

例4.12已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證：

證明因為

所以

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

定義4.8設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

于是在D內(nèi)f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函數(shù)。如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：

同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。

定理4.1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。

第3節(jié)全微分

在實際中，有時需計算當(dāng)兩個自變量都改變時二元函數(shù)z=f(x,y)的改變量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般來說，計算這個改變量比較麻煩，因此我們希望找出計算它的近似公式。該公式應(yīng)滿足：①好算；②有一定的精確度。類似一元函數(shù)的微分概念,引入記號和定義:稱Δz為z=f(x,y)在點(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定義

定義4.9如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示為

其中A、B不依賴于Δx、Δy而僅與x、y有關(guān)，

則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，而稱AΔx+BΔy為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分，記作dz，即

證明設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)處可微分。于是，對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P'(x