2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學真題卷及答案解析

試題PAGE1試題黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)方差為（）A.1 B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.7.國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（）A5 B.4 C.3 D.28.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.59.如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（）

A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點H在邊上（不與點A、D重合），，交正方形外角的平分線于點F，連接交于點M，連接交于點G，交于點N，連接．則下列結(jié)論：①；②點G是的中點；③若點H是的中點，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量億斤，將億用科學記數(shù)法表示為________．12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．13.已知菱形中對角線相交于點O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．18.如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉(zhuǎn)，點為的中點，則的最大值是________．19.矩形中，，，將沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線于點（點P不與點B重合），點的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則長為________．20.如圖，在平面直角坐標系中，正方形頂點M的坐標為，是等邊三角形，點B坐標是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向為）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為，的坐標是；第二次滾動后，的對應點記為，的坐標是；第三次滾動后，的對應點記為，的坐標是；如此下去，……，則的坐標是________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點的坐標；（2）畫出繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標；（3）在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限拋物線上是否存在一點P，使得的面積最大．若存在，請直接寫出點P坐標和的面積最大值；若不存在，請說明理由．24.為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學校要求學生每天堅持體育鍛煉．學校從全體男生中隨機抽取了部分學生，調(diào)查他們的立定跳遠成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠成績合格的男生有多少人？25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點M、N在上，點M在點N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當時，探究如下：由，可知，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當時，如圖②：當時，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進行證明．27.為了增強學生的體質(zhì)，某學校倡導學生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．（1）購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？28.如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊在x軸上，點A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒（），的面積為S．（1）求點A坐標；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當時，點M在y軸上，坐標平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式，運用相關(guān)運算法則求出各選項的結(jié)果后再進行判斷即可．【詳解】解：A、，故選項A計算錯誤，此選項不符合題意；B、，故選項B計算錯誤，此選項不符合題意；C、，此選項計算正確，符合題意；D、，故選項D計算錯誤，此選項不符合題意；故選：C．2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意．故選：B．3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖的知識，主視圖是由4個小正方形組成，而左視圖是由4個小正方形組成，故這個幾何體的底層最少有3個小正方體，第2層最少有1個小正方體．【詳解】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個幾何體的底層最少有1+1+1=3個小正方體，第二層最少有1個小正方體，因此組成這個幾何體的小正方體最少有3+1=4個．故選B．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，意在考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．4.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了方差的計算，解題的關(guān)鍵是方差的計算公式的識記．根據(jù)方差的計算公式，先算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計算即可得到結(jié)果．【詳解】平均數(shù)為：方差為：故選：D．5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，，整理得，，當時，方程無解，當時，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時，或．故選：A．7.國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)購買支筆記本，個碳素筆，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個數(shù)．【詳解】解：設(shè)購買支筆記本，個碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數(shù)，或或或，共有4種不同的購買方案．故選：B．8.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，過點A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點，可得，，進而有，，可得，，則有，問題隨之得解．【詳解】如圖，過點A作，垂足為F，設(shè)，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．9.如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對角線與交于點O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進而由菱形對角線求出邊長，由解三角形即可求出，．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點是的中點，∴A、O、C三點在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．10.如圖，在正方形中，點H在邊上（不與點A、D重合），，交正方形外角的平分線于點F，連接交于點M，連接交于點G，交于點N，連接．則下列結(jié)論：①；②點G是的中點；③若點H是的中點，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】連接，可得，垂直平分，先證明點B、H、D、F四點共圓，即可判斷①；根據(jù)垂直平分，結(jié)合互余可證明，即有，則可判斷②正確；證明，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得，再證明，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點H是的中點，設(shè)，即求出，同理可證明，可得，即可得，進而可判斷③．【詳解】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點B、H、D、F四點共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點G是的中點，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯誤，如圖，③若點H是的中點，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．【點睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識，證明點B、H、D、F四點共圓，，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11.國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學記數(shù)法表示為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】億，億故答案為：12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，且，解得，，故答案為：．13.已知菱形中對角線相交于點O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，依據(jù)正方形的判定定理進行判斷即可.【詳解】解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：；根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的條件為：或．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，∴選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，故答案為：．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個整數(shù)解，這3個整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù)．【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得解得：，，解得，側(cè)面展開圖的圓心角是．故答案為：．18.如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉(zhuǎn)，點為的中點，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出取最大值時B、P、M三點的位置關(guān)系．取的中點M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點，∴．如圖，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．19.矩形中，，，將沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線于點（點P不與點B重合），點的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則長為________．【答案】或或10【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，先根據(jù)點的對稱點落在矩形對角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對應的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出即可．【詳解】解：①點的對稱點落在矩形對角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點的對稱點落在矩形對角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點的對稱點落在矩形對角線延長線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長為或或10．故答案為：或或10．20.如圖，在平面直角坐標系中，正方形頂點M的坐標為，是等邊三角形，點B坐標是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向為）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為，的坐標是；第二次滾動后，的對應點記為，的坐標是；第三次滾動后，的對應點記為，的坐標是；如此下去，……，則的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了點的坐標變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運動方式，依次求出點A的對應點，，，的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：正方形頂點M的坐標為，,是等邊三角形，點B坐標是，等邊三角形高為，由題知，的坐標是；的坐標是；的坐標是；繼續(xù)滾動有，的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個為一組，，的坐標與的坐標一樣為，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查分式的化簡求值及特殊三角函數(shù)值，先對分式進行化簡，然后利用特殊三角函數(shù)值進行代值求解即可．【詳解】解：原式，當時原式．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點的坐標；（2）畫出繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標；（3）在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）【答案】（1）作圖見解析，（2）作圖見解析，（3）【解析】【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點、以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應點，然后順次連接即可；（3）先求出，再由旋轉(zhuǎn)角等于，利用弧長公式即可求出．【小問1詳解】解：如圖，為所求；點的坐標為，【小問2詳解】如圖，為所求；，【小問3詳解】，點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長．23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得的面積最大．若存在，請直接寫出點P坐標和的面積最大值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，點P的坐標是，的面積最大值是【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：（1）將B，C兩點坐標代入函數(shù)解析式，求出b，c的值即可；（2）過點P作軸于點E，設(shè)，且點P在第二象限，根據(jù)可得二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】解：將，代入得，解得：【小問2詳解】解：對于，令則解得，，∴，∴∵，∴，過點P作軸于點E，如圖，設(shè)，且點P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴當時，有最大值，最大值為，此時點P的坐標為24.為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學校要求學生每天堅持體育鍛煉．學校從全體男生中隨機抽取了部分學生，調(diào)查他們的立定跳遠成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠成績合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估計該校立定跳遠成績合格的男生有228人【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)表、中位數(shù)，用樣本估計總體，（1）用A組的頻數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)，即可求得B組的人數(shù)，用C組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的求法，即可求解；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中立定跳遠成績合格的男生人數(shù)所占，即可求解．【小問1詳解】解：被抽取的學生數(shù)為：(人)故（人），，即，故答案為：，；【小問2詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)都在C組，故本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在C組，答案為：C；【小問3詳解】解：（人）答：該校立定跳遠成績合格的男生有人．25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．【答案】（1）30，40（2）的函數(shù)解析式是（3）經(jīng)過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運用，認真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象表示的意義是解題關(guān)鍵．（1）由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為，所用時間為，乙貨車到達配貨站路程為，到達后返回，所用時間為，根據(jù)速度=距離÷時間即可得；（2）甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，由圖象結(jié)合已知條件可知和點，再利用待定系數(shù)法求出y與x的關(guān)系式即可得答案；（3）分兩車到達配貨站之前和乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地后、甲貨車卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案．【小問1詳解】解：由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為105km，所用時間為3.5h，所以甲貨車到達配貨站之前的速度是（）∴乙貨車到達配貨站路程為，到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時間是6h，∴乙貨車速度，故答案為：30；40【小問2詳解】甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點設(shè)∴解得：，∴甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式【小問3詳解】設(shè)甲貨車出發(fā)，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，①兩車到達配貨站之前：，解得：,②乙貨車到達配貨站時開始返回，甲貨車未到達配貨站：，解得：，③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時：，解得：，答：經(jīng)過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點M、N在上，點M在點N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當時，探究如下：由，可知，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當時，如圖②：當時，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進行證明．【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【解析】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，選②，以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②【詳解】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.為了增強學生的體質(zhì)，某學校倡導學生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．（1）購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元（2）共有3種購買方案（3）學校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元【解析】【分析】本