人教A版山西省2023-2024學年高二上學期1月期末質量檢測數學試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山西省2023-2024學年高二上學期1月期末質量檢測數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數滿足，則復數的模為（

）A．2 B． C． D．3．下列說法中，正確的是（

）A．數列可表示為集合B．數列與數列是相同的數列C．數列的第項為D．數列可記為4．若函數，則（

）A．0 B． C． D．5．若，且，則（

）A． B． C． D．6．已知半徑為1的圓經過點，其圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．37．已知公差不為0的等差數列滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．28．已知函數，若，則下列式子大小關系正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列通項公式中，對應的數列是遞增數列的是（

）A． B．C． D．10．2023年7月31日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造業(yè)采購經理指數（PMI）如下圖所示：則下列說法正確的是（

）A．從2022年7月到2023年7月，這13個月的制造業(yè)采購經理指數（PMI）的極差為B．2023年7月份，制造業(yè)采購經理指數（PMI）為，比上月上升0.3個百分點C．從2023年1月到2023年7月，這7個月的制造業(yè)采購經理指數（PMI）的第71百分位數為D．從2022年7月到2022年12月，這6個月的制造業(yè)采購經理指數（PMI）的平均數約為11．已知正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，則下列說法正確的是（

）A．直線與平面所成角的余弦值為B．平面截球所得的截面面積為C．球的體積為D．球心到平面的距離為12．已知為雙曲線的左、右焦點，為平面上一點，若，則（

）A．當為雙曲線上一點時，的面積為4B．當點坐標為時，C．當在雙曲線上，且點的橫坐標為時，的離心率為D．當點在第一象限且在雙曲線上時，若的周長為，則直線的斜率為三、填空題13．設單位向量的夾角的余弦值為，則.14．已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當取最小值時，點的坐標為.15．某市舉辦花展，園方挑選紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、芮三人，每人1盆，則甲沒有拿到白色鮮花的概率是.16．若存在實數使得，則的值為.四、解答題17．已知函數，且為極值點.(1)求實數的值；(2)判斷是極大值點還是極小值點，并分別求出極大值與極小值.18．已知的內角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)設是邊上一點，為角平分線且，求的值．19．已知數列，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.20．如圖，在直四棱柱中，，與相交于點，，為線段上一點，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.21．已知函數.(1)證明：；(2)設，求證：對任意的，都有成立.22．已知橢圓的長軸長為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設是經過橢圓下頂點的兩條直線，與橢圓相交于另一點與圓相交于另一點，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，證明：直線經過定點.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D2．B3．C4．A5．B6．D7．C8．A9．AD10．BCD11．ACD12．ABD13．/14．【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，過點作垂直準線交于點，則，所以，當且僅當、、三點共線時取等號，即平行于軸時取最小值，此時，則，即，所以.故答案為：15．【解析】設事件為甲拿到白色鮮花，根據題意有紅色、黃色、白色鮮花各1盆，分別贈送給甲、乙、丙三人，每人1盆，甲、乙、丙三人拿到白色鮮花的概率相等，都為，所以，則甲沒有拿到白色鮮花的概率．故答案為：．16．【解析】因為，所以，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增；所以，可得，所以，即，當且僅當，即時等號成立，又，所以，故，此時的值為.故答案為：.17．(1)(2)答案見解析【解析】（1），因為為函數的極值點，所以，解得，經檢驗符合題意，所以；（2）由（1）得，，當或時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以為極大值點，極大值為，為極小值點，極小值為.18．(1)(2)【解析】（1）解：由正弦定理得，即，利用余弦定理可知，因為，所以；（2）在中，，所以，即，因為為角平分線，所以，所以，由余弦定理，得，則，因此．19．(1)v(2)【解析】（1）因為，當時，，兩式相減，得，則，當時，，則，滿足上式，所以.（2）由（1）得，所以，則，兩式相減，得，所以.20．(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為，所以，所以，又為線段上一點，且，所以，在中，又平面，平面，所以平面.（2）在直四棱柱中，平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角的大小為，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．21．(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【解析】（1）設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，于是有，即.（2）要證明成立，即證明成立，即證明成立，也就是證明成立，因為，所以原問題就是證明成立，由，設，即證明，也就是證明成立，設，所以當時，函數單調遞增，即有，從而成立.2